Номер 9, страница 170 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9. Каким свойством обладают диагонали параллелепипеда? Для каких видов параллелепипедов справедлива обобщенная теорема Пифагора?

Каким свойством обладают диагонали параллелепипеда?

Главное свойство диагоналей любого параллелепипеда (включая наклонные) заключается в том, что все четыре его диагонали пересекаются в одной точке и этой точкой делятся пополам. Эта точка является центром симметрии параллелепипеда.

Кроме того, существует важное соотношение, связывающее длины диагоналей и ребер параллелепипеда: сумма квадратов длин четырех диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов длин всех его двенадцати ребер. Если $a$, $b$, $c$ — длины трех ребер, выходящих из одной вершины, а $d_1, d_2, d_3, d_4$ — длины четырех диагоналей, то справедливо следующее равенство: $d_1^2 + d_2^2 + d_3^2 + d_4^2 = 4(a^2 + b^2 + c^2)$. Это соотношение является пространственным аналогом тождества параллелограмма.

Ответ: Все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

Для каких видов параллелепипедов справедлива обобщенная теорема Пифагора?

Обобщенной теоремой Пифагора для параллелепипеда называют формулу, выражающую квадрат длины его диагонали ($d$) через квадраты трех его измерений (длины $a$, ширины $b$ и высоты $c$): $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$.

Данная теорема справедлива для прямоугольного параллелепипеда. Прямоугольный параллелепипед — это параллелепипед, все грани которого являются прямоугольниками. Это означает, что все его двугранные углы прямые, а ребра, выходящие из одной вершины, взаимно перпендикулярны.

Справедливость формулы можно доказать, дважды применив обычную теорему Пифагора. Сначала найдем квадрат диагонали основания ($d_{осн}$). Так как основание — это прямоугольник со сторонами $a$ и $b$, то $d_{осн}^2 = a^2 + b^2$. Затем рассмотрим прямоугольный треугольник, который образуют диагональ основания $d_{осн}$, боковое ребро $c$ и диагональ самого параллелепипеда $d$. Так как боковое ребро в прямоугольном параллелепипеде перпендикулярно основанию, этот треугольник является прямоугольным. По теореме Пифагора, $d^2 = d_{осн}^2 + c^2$. Подставив в это равенство выражение для $d_{осн}^2$, получаем искомую формулу: $d^2 = (a^2 + b^2) + c^2 = a^2 + b^2 + c^2$.

Поскольку все четыре диагонали прямоугольного параллелепипеда равны по длине, эта формула верна для любой из них. Частным случаем прямоугольного параллелепипеда является куб, у которого все ребра равны ($a=b=c$), и для него теорема также верна.

Ответ: Обобщенная теорема Пифагора ($d^2 = a^2 + b^2 + c^2$) справедлива для прямоугольных параллелепипедов.