Номер 24, страница 171 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

24. Какое тело называется усеченным конусом? Какие его элементы вы знаете? По каким формулам вычисляются площади боковой и полной поверхностей усеченного конуса?

Какое тело называется усеченным конусом?

Усеченный конус — это геометрическое тело, которое образуется при пересечении конуса плоскостью, параллельной его основанию. Часть конуса, расположенная между его основанием и этой секущей плоскостью, и есть усеченный конус. Другое определение: усеченный конус — это тело, полученное в результате вращения прямоугольной трапеции вокруг ее боковой стороны, которая перпендикулярна основаниям трапеции.

Ответ: Усеченный конус – это часть конуса, заключенная между его основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию.

Какие его элементы вы знаете?

К основным элементам усеченного конуса относятся:

• Основания: это два круга, лежащие в параллельных плоскостях. Больший круг называется нижним основанием, а меньший — верхним основанием.
• Радиусы оснований: радиус нижнего основания (обозначается $R$) и радиус верхнего основания (обозначается $r$).
• Высота: это отрезок, соединяющий центры оснований и перпендикулярный им (для прямого усеченного конуса). Длина этого отрезка, обозначаемая как $h$, является расстоянием между плоскостями оснований.
• Образующая: это отрезок, соединяющий соответствующие точки на окружностях оснований. Длина образующей обозначается как $l$. Все образующие усеченного конуса равны. Высота, образующая и радиусы связаны через теорему Пифагора: $l = \sqrt{h^2 + (R-r)^2}$.
• Боковая поверхность: это поверхность, которая образуется движением образующей при вращении.

Ответ: Основные элементы усеченного конуса: верхнее и нижнее основания, их радиусы ($r$ и $R$), высота ($h$), образующая ($l$) и боковая поверхность.

По каким формулам вычисляются площади боковой и полной поверхностей усеченного конуса?

Площадь боковой и полной поверхностей усеченного конуса вычисляются с использованием его радиусов ($R$ и $r$) и образующей ($l$).

Площадь боковой поверхности ($S_{бок}$) вычисляется как произведение числа $\pi$ на сумму радиусов оснований и на длину образующей:

$S_{бок} = \pi (R + r) l$

Площадь полной поверхности ($S_{полн}$) представляет собой сумму площади боковой поверхности и площадей обоих оснований (верхнего и нижнего):

$S_{полн} = S_{бок} + S_{верхн.осн.} + S_{нижн.осн.}$

Площадь верхнего основания: $S_{верхн.осн.} = \pi r^2$

Площадь нижнего основания: $S_{нижн.осн.} = \pi R^2$

Подставив все значения в формулу, получаем:

$S_{полн} = \pi (R + r) l + \pi r^2 + \pi R^2 = \pi ((R + r) l + r^2 + R^2)$

Ответ: Площадь боковой поверхности вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi (R + r) l$, а площадь полной поверхности — по формуле $S_{полн} = \pi (R + r) l + \pi R^2 + \pi r^2$.