Номер 5.46, страница 172 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.46. Точка R делит отрезок PQ в отношении $3:2$. Найдите координаты точки R, если $P(4; -4; 1)$, $Q(8; -2; 7)$.

Для нахождения координат точки $R$, которая делит отрезок $PQ$ в отношении $m:n$, используются формулы деления отрезка в заданном отношении. Если концы отрезка имеют координаты $P(x_P; y_P; z_P)$ и $Q(x_Q; y_Q; z_Q)$, то координаты точки $R(x_R; y_R; z_R)$ вычисляются следующим образом:

$x_R = \frac{n \cdot x_P + m \cdot x_Q}{m + n}$

$y_R = \frac{n \cdot y_P + m \cdot y_Q}{m + n}$

$z_R = \frac{n \cdot z_P + m \cdot z_Q}{m + n}$

В условиях задачи дано:

- Координаты точки $P(4; -4; 1)$, откуда $x_P=4, y_P=-4, z_P=1$.

- Координаты точки $Q(8; -2; 7)$, откуда $x_Q=8, y_Q=-2, z_Q=7$.

- Отношение, в котором точка $R$ делит отрезок $PQ$, равно $3:2$. Это означает, что $PR:RQ = 3:2$, поэтому $m=3$ и $n=2$.

Теперь подставим эти значения в формулы для вычисления каждой из координат точки $R$.

Абсцисса (координата $x$) точки $R$:

$x_R = \frac{2 \cdot 4 + 3 \cdot 8}{3 + 2} = \frac{8 + 24}{5} = \frac{32}{5} = 6.4$

Ордината (координата $y$) точки $R$:

$y_R = \frac{2 \cdot (-4) + 3 \cdot (-2)}{3 + 2} = \frac{-8 - 6}{5} = \frac{-14}{5} = -2.8$

Аппликата (координата $z$) точки $R$:

$z_R = \frac{2 \cdot 1 + 3 \cdot 7}{3 + 2} = \frac{2 + 21}{5} = \frac{23}{5} = 4.6$

Таким образом, координаты искомой точки $R$ равны $(6.4; -2.8; 4.6)$.

Ответ: $R(6.4; -2.8; 4.6)$