Номер 5.61, страница 173 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.61. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, сторона основания которого равна $\text{a}$, а боковое ребро $\text{b}$.

Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} H$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

В основании правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник со стороной $a$. Его площадь $S_{осн}$ вычисляется по формуле: $S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.

Высота $H$ правильной пирамиды опускается в центр ее основания. Для равностороннего треугольника этот центр является центром описанной окружности. Рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются высота пирамиды $H$ и радиус описанной окружности $R$, а гипотенузой — боковое ребро $b$. По теореме Пифагора: $H^2 + R^2 = b^2$.

Радиус $R$ окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной $a$, равен $R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Теперь можем найти высоту $H$: $H^2 = b^2 - R^2 = b^2 - \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2 = b^2 - \frac{a^2}{3} = \frac{3b^2 - a^2}{3}$. Отсюда $H = \sqrt{\frac{3b^2 - a^2}{3}} = \frac{\sqrt{3b^2 - a^2}}{\sqrt{3}}$.

Подставим найденные выражения для $S_{осн}$ и $H$ в формулу объема: $V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{\sqrt{3b^2 - a^2}}{\sqrt{3}}$.

Сократив $\sqrt{3}$, получаем итоговый результат: $V = \frac{a^2 \sqrt{3b^2 - a^2}}{12}$.

Ответ: $V = \frac{a^2 \sqrt{3b^2 - a^2}}{12}$.