Номер 5.64, страница 173 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.64. Отношение площади осевого сечения цилиндра к площади его основания равно $4:\pi$. Найдите угол между диагональю осевого сечения и основанием цилиндра.

Пусть $r$ – радиус основания цилиндра, а $h$ – его высота.

Площадь основания цилиндра, которое является кругом, вычисляется по формуле $S_{осн} = \pi r^2$.

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник со сторонами, равными высоте цилиндра $h$ и диаметру его основания $d = 2r$. Следовательно, площадь осевого сечения $S_{сеч}$ равна $S_{сеч} = d \cdot h = 2r \cdot h$.

По условию задачи, отношение площади осевого сечения к площади основания равно $4:\pi$: $\frac{S_{сеч}}{S_{осн}} = \frac{4}{\pi}$.

Подставим выражения для площадей в данное соотношение: $\frac{2rh}{\pi r^2} = \frac{4}{\pi}$.

Упростим полученное уравнение, сократив общие множители $\pi$ и $r$ (так как $r \neq 0$): $\frac{2h}{r} = 4$.

Из этого равенства найдем соотношение между высотой и радиусом цилиндра: $2h = 4r$, $h = 2r$.

Это означает, что высота цилиндра равна его диаметру ($h=d$), а осевое сечение является квадратом.

Угол между диагональю осевого сечения и основанием цилиндра — это угол $\alpha$ в прямоугольном треугольнике. Катетами этого треугольника являются высота цилиндра $h$ (противолежащий катет для угла $\alpha$) и диаметр основания $d=2r$ (прилежащий катет), а гипотенузой — диагональ осевого сечения.

Тангенс угла $\alpha$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему: $\tan(\alpha) = \frac{h}{d} = \frac{h}{2r}$.

Используя найденное соотношение $h = 2r$, получаем: $\tan(\alpha) = \frac{2r}{2r} = 1$.

Угол, тангенс которого равен 1, это $45^\circ$. Таким образом, $\alpha = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.