Номер 5.63, страница 173 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.63. Образующая конуса наклонена к основанию под углом $\phi$. Найдите отношение объема вписанного в него шара к объему конуса.

Пусть $R$ — радиус основания конуса, $H$ — его высота, а $L$ — образующая. Пусть $r$ — радиус вписанного в конус шара. Угол наклона образующей к основанию равен $\phi$.

Объем конуса $V_{к}$ и объем вписанного шара $V_{ш}$ вычисляются по формулам: $V_{к} = \frac{1}{3}\pi R^2 H$ $V_{ш} = \frac{4}{3}\pi r^3$

Искомое отношение объемов: $\frac{V_{ш}}{V_{к}} = \frac{\frac{4}{3}\pi r^3}{\frac{1}{3}\pi R^2 H} = \frac{4r^3}{R^2 H}$

Рассмотрим осевое сечение конуса. Это равнобедренный треугольник с основанием $2R$, высотой $H$ и боковыми сторонами $L$. Угол при основании этого треугольника равен $\phi$. Из прямоугольного треугольника, образованного высотой $H$, радиусом основания $R$ и образующей $L$, мы можем найти связь между $H$ и $R$: $\tan \phi = \frac{H}{R} \implies H = R \tan \phi$

Центр вписанного шара лежит на оси конуса, а его сечение является окружностью, вписанной в осевое сечение конуса. Радиус этой окружности равен $r$. Радиус вписанной в треугольник окружности можно найти по-разному. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $H$, радиусом основания $R$ и образующей $L$. Центр вписанного шара находится на высоте $H$ на расстоянии $r$ от основания.

В осевом сечении центр вписанной окружности (центр шара) является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами $H$ и $R$. Угол между гипотенузой $L$ и катетом $R$ равен $\phi$. Центр вписанного шара $I$ находится на высоте на расстоянии $r$ от основания (катета $R$). Расстояние от центра $I$ до гипотенузы $L$ также равно $r$. Из треугольника, образованного отрезком высоты $(H-r)$, радиусом $r$ и частью образующей, получаем: $\sin(90^\circ - \phi) = \frac{r}{H-r}$ $\cos \phi = \frac{r}{H-r}$ $r = (H-r)\cos\phi = H\cos\phi - r\cos\phi$ $r(1+\cos\phi) = H\cos\phi$ $r = \frac{H\cos\phi}{1+\cos\phi}$

Подставим $H = R \tan \phi$: $r = \frac{(R \tan \phi)\cos\phi}{1+\cos\phi} = \frac{R \frac{\sin\phi}{\cos\phi}\cos\phi}{1+\cos\phi} = R\frac{\sin\phi}{1+\cos\phi}$

Используя формулы половинного угла: $\sin\phi = 2\sin(\phi/2)\cos(\phi/2)$ $1+\cos\phi = 2\cos^2(\phi/2)$ Получаем: $r = R\frac{2\sin(\phi/2)\cos(\phi/2)}{2\cos^2(\phi/2)} = R\tan(\phi/2)$

Теперь подставим выражения для $H$ и $r$ в формулу для отношения объемов: $\frac{V_{ш}}{V_{к}} = \frac{4(R\tan(\phi/2))^3}{R^2 (R\tan\phi)} = \frac{4R^3\tan^3(\phi/2)}{R^3\tan\phi} = \frac{4\tan^3(\phi/2)}{\tan\phi}$

Используем формулу тангенса двойного угла $\tan\phi = \frac{2\tan(\phi/2)}{1-\tan^2(\phi/2)}$: $\frac{V_{ш}}{V_{к}} = \frac{4\tan^3(\phi/2)}{\frac{2\tan(\phi/2)}{1-\tan^2(\phi/2)}} = \frac{4\tan^3(\phi/2)(1-\tan^2(\phi/2))}{2\tan(\phi/2)} = 2\tan^2(\phi/2)(1-\tan^2(\phi/2))$

Другой вариант представления ответа, без использования половинных углов, получается подстановкой $r=R\frac{\sin\phi}{1+\cos\phi}$ и $H=R\frac{\sin\phi}{\cos\phi}$: $\frac{V_{ш}}{V_{к}} = \frac{4(R\frac{\sin\phi}{1+\cos\phi})^3}{R^2(R\frac{\sin\phi}{\cos\phi})} = \frac{4R^3\frac{\sin^3\phi}{(1+\cos\phi)^3}}{R^3\frac{\sin\phi}{\cos\phi}} = 4\frac{\sin^2\phi \cos\phi}{(1+\cos\phi)^3}$ Оба ответа эквивалентны.

Ответ: $\frac{4\sin^2\phi \cos\phi}{(1+\cos\phi)^3}$ или $2\tan^2(\frac{\phi}{2})(1-\tan^2(\frac{\phi}{2}))$.