Номер 5.68, страница 173 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.68. Образующая конуса равна диаметру основания. Найдите отношение боковой поверхности конуса к боковой поверхности пирамиды, вписанной в него.

Для решения задачи введем обозначения и выполним расчеты для конуса и вписанной в него пирамиды.

1. Параметры и площадь боковой поверхности конуса.

Пусть $R$ — радиус основания конуса, $D$ — диаметр основания, а $l$ — образующая конуса.

По условию задачи, образующая равна диаметру основания: $l = D = 2R$.

Площадь боковой поверхности конуса ($S_{кон}$) вычисляется по формуле: $S_{кон} = \pi R l$.

Подставив наше условие $l = 2R$, получаем: $S_{кон} = \pi R (2R) = 2\pi R^2$.

2. Параметры и площадь боковой поверхности вписанной пирамиды.

Пирамида, вписанная в конус, имеет ту же вершину, что и конус, а ее основанием является многоугольник, вписанный в окружность основания конуса. Боковые ребра такой пирамиды равны образующей конуса $l$.

Для определенности рассмотрим правильную $n$-угольную пирамиду, вписанную в конус. Основанием такой пирамиды является правильный $n$-угольник.

Боковая поверхность пирамиды ($S_{пир}$) состоит из $n$ одинаковых равнобедренных треугольников. Основание каждого такого треугольника — это сторона $a_n$ правильного $n$-угольника, а боковые стороны — это боковые ребра пирамиды, равные $l$.

Найдем площадь одного такого треугольника (одной боковой грани). Его высота, которая также является апофемой пирамиды (обозначим ее $h_a$), может быть найдена по теореме Пифагора: $h_a = \sqrt{l^2 - (a_n/2)^2}$.

Сторона правильного $n$-угольника, вписанного в окружность радиуса $R$, выражается формулой: $a_n = 2R \sin(\frac{\pi}{n})$.

Подставим $l=2R$ и выражение для $a_n$ в формулу для апофемы: $h_a = \sqrt{(2R)^2 - (R \sin(\frac{\pi}{n}))^2} = \sqrt{4R^2 - R^2 \sin^2(\frac{\pi}{n})} = R\sqrt{4 - \sin^2(\frac{\pi}{n})}$.

Площадь одной боковой грани равна: $S_{грань} = \frac{1}{2} a_n h_a = \frac{1}{2} \cdot 2R \sin(\frac{\pi}{n}) \cdot R\sqrt{4 - \sin^2(\frac{\pi}{n})} = R^2 \sin(\frac{\pi}{n}) \sqrt{4 - \sin^2(\frac{\pi}{n})}$.

Полная площадь боковой поверхности пирамиды — это сумма площадей $n$ граней: $S_{пир} = n \cdot S_{грань} = n R^2 \sin(\frac{\pi}{n}) \sqrt{4 - \sin^2(\frac{\pi}{n})}$.

3. Нахождение отношения площадей.

Теперь найдем отношение площади боковой поверхности конуса к площади боковой поверхности вписанной пирамиды: $\frac{S_{кон}}{S_{пир}} = \frac{2\pi R^2}{n R^2 \sin(\frac{\pi}{n}) \sqrt{4 - \sin^2(\frac{\pi}{n})}} = \frac{2\pi}{n \sin(\frac{\pi}{n}) \sqrt{4 - \sin^2(\frac{\pi}{n})}}$.

Как видно из полученной формулы, искомое отношение зависит от числа сторон $n$ многоугольника, лежащего в основании пирамиды. Например:

• Для треугольной пирамиды ($n=3$): отношение равно $\frac{8\pi}{3\sqrt{39}}$.
• Для четырехугольной пирамиды ($n=4$): отношение равно $\frac{\pi}{\sqrt{7}}$.

Поскольку в условии задачи не указан тип вписанной пирамиды (т.е. число сторон ее основания), а полученное отношение зависит от этого параметра, задача в данной формулировке не имеет единственного численного решения. Если бы ответ не зависел от выбора пирамиды, он был бы одинаков для любого $n$.

Можно отметить, что если рассмотреть предельный случай, когда число сторон основания пирамиды стремится к бесконечности ($n \to \infty$), то пирамида "приближается" к конусу. В этом пределе: $n \sin(\frac{\pi}{n}) \to \pi$ и $\sin^2(\frac{\pi}{n}) \to 0$. Тогда отношение стремится к: $\lim_{n \to \infty} \frac{2\pi}{n \sin(\frac{\pi}{n}) \sqrt{4 - \sin^2(\frac{\pi}{n})}} = \frac{2\pi}{\pi \sqrt{4-0}} = \frac{2\pi}{2\pi} = 1$.

Ответ: Задача в предложенной формулировке не имеет однозначного решения, так как отношение боковых поверхностей зависит от формы многоугольника, лежащего в основании вписанной пирамиды (в частности, от числа его сторон $n$). Формула для отношения в случае правильной $n$-угольной пирамиды: $\frac{2\pi}{n \sin(\frac{\pi}{n}) \sqrt{4 - \sin^2(\frac{\pi}{n})}}$.