Номер 5.75, страница 174 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.75. Основанием пирамиды является равнобокая трапеция, основания которой равны 3 м и 5 м, а боковая сторона – 7 м. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей пирамиды. Найдите объем пирамиды, если большее боковое ребро равно 10 м.

Для нахождения объема пирамиды используется формула $V = \frac{1}{3}S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Нахождение площади основания.

Основанием пирамиды является равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD=5$ м и $BC=3$ м, и боковыми сторонами $AB=CD=7$ м. Для вычисления площади трапеции необходимо найти ее высоту.

Проведем из вершин $B$ и $C$ высоты $BK$ и $CM$ к большему основанию $AD$. Так как трапеция равнобокая, треугольники $ABK$ и $DCM$ равны. Отрезки $AK$ и $MD$ также равны. Четырехугольник $KBCM$ является прямоугольником, поэтому $KM = BC = 3$ м.

Длину отрезка $AK$ можно найти как полуразность оснований:

$AK = \frac{AD - BC}{2} = \frac{5 - 3}{2} = 1$ м.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ABK$. По теореме Пифагора найдем высоту трапеции $h = BK$:

$h^2 = AB^2 - AK^2 = 7^2 - 1^2 = 49 - 1 = 48$

$h = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$ м.

Площадь основания (трапеции) равна:

$S_{осн} = \frac{AD + BC}{2} \cdot h = \frac{5 + 3}{2} \cdot 4\sqrt{3} = 4 \cdot 4\sqrt{3} = 16\sqrt{3}$ м$^2$.

2. Нахождение высоты пирамиды.

Пусть $S$ — вершина пирамиды. По условию, ее высота $SO$ опускается в точку $O$ пересечения диагоналей основания $AC$ и $BD$. Длина бокового ребра, например $SA$, связана с высотой $H=SO$ и расстоянием $AO$ соотношением $SA^2 = H^2 + AO^2$ из прямоугольного треугольника $SOA$.

Боковое ребро будет больше, если расстояние от точки $O$ до соответствующей вершины основания больше. Треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle COB$, образованные диагоналями, подобны (по двум углам). Коэффициент подобия равен отношению оснований: $k = \frac{AD}{BC} = \frac{5}{3}$.

Из подобия следует, что $\frac{AO}{CO} = \frac{DO}{BO} = \frac{5}{3}$. Это означает, что отрезки $AO$ и $DO$, ведущие к вершинам большего основания, длиннее отрезков $CO$ и $BO$. Следовательно, боковые ребра $SA$ и $SD$ являются большими. По условию, их длина равна 10 м.

Чтобы найти высоту $H$, нам нужно найти длину отрезка $AO$. Для этого сначала найдем длину диагонали $AC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AMC$, где $CM$ — высота трапеции, $CM = 4\sqrt{3}$ м. Длина отрезка $AM = AD - MD = 5 - 1 = 4$ м.

По теореме Пифагора в $\triangle AMC$:

$AC^2 = AM^2 + CM^2 = 4^2 + (4\sqrt{3})^2 = 16 + 16 \cdot 3 = 16 + 48 = 64$.

Отсюда $AC = \sqrt{64} = 8$ м.

Диагональ $AC$ точкой $O$ делится в отношении $AO/CO = 5/3$. Так как $AC = AO + CO = 8$, мы можем найти $AO$:

$AO = AC \cdot \frac{5}{5+3} = 8 \cdot \frac{5}{8} = 5$ м.

Теперь из прямоугольного треугольника $SOA$ найдем высоту пирамиды $H=SO$:

$H^2 = SA^2 - AO^2 = 10^2 - 5^2 = 100 - 25 = 75$.

$H = \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$ м.

3. Вычисление объема пирамиды.

Подставим найденные значения площади основания $S_{осн}$ и высоты $H$ в формулу объема:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 16\sqrt{3} \cdot 5\sqrt{3} = \frac{1}{3} \cdot (16 \cdot 5) \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot 80 \cdot 3 = 80$ м$^3$.

Ответ: 80 м$^3$.