Номер 5.77, страница 174 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.77. Около шара описана правильная треугольная призма, около которой описан другой шар. Найдите отношение объемов этих шаров.

Пусть $r$ — радиус меньшего шара (вписанного в призму), а $R$ — радиус большего шара (описанного около призмы). Объемы шаров, $V_r$ и $V_R$, пропорциональны кубам их радиусов. Искомое отношение объемов равно: $\frac{V_R}{V_r} = \frac{\frac{4}{3}\pi R^3}{\frac{4}{3}\pi r^3} = (\frac{R}{r})^3$. Таким образом, задача сводится к нахождению отношения радиусов $\frac{R}{r}$.

Рассмотрим связь радиусов с параметрами правильной треугольной призмы. Шар с радиусом $r$ вписан в призму, то есть он касается ее оснований и боковых граней. Из условия касания оснований следует, что высота призмы $h$ равна диаметру этого шара: $h = 2r$.

Из условия касания боковых граней следует, что сечение шара плоскостью, параллельной основаниям и проходящей через центр, является большим кругом радиуса $r$, который вписан в основание призмы. Основание — это равносторонний треугольник. Пусть его сторона равна $a$. Радиус вписанной в него окружности $r_{осн}$ равен $r$. Связь между ними: $r = r_{осн} = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.

Шар с радиусом $R$ описан около призмы, то есть все вершины призмы лежат на его поверхности. Центр этого шара совпадает с центром призмы. Радиус $R$ равен расстоянию от центра призмы до любой из ее вершин.

Это расстояние можно найти как гипотенузу в прямоугольном треугольнике, катетами которого являются половина высоты призмы ($\frac{h}{2}$) и радиус окружности, описанной около основания ($R_{осн}$). По теореме Пифагора: $R^2 = (\frac{h}{2})^2 + R_{осн}^2$.

Мы знаем, что $\frac{h}{2} = r$. Для равностороннего треугольника радиус описанной окружности $R_{осн}$ вдвое больше радиуса вписанной окружности $r_{осн}$. Поскольку $r_{осн} = r$, получаем $R_{осн} = 2r$.

Подставим найденные значения в формулу для $R$: $R^2 = r^2 + (2r)^2 = r^2 + 4r^2 = 5r^2$. Отсюда $R = \sqrt{5r^2} = r\sqrt{5}$.

Теперь найдем отношение радиусов: $\frac{R}{r} = \frac{r\sqrt{5}}{r} = \sqrt{5}$.

Наконец, вычислим искомое отношение объемов: $\frac{V_R}{V_r} = (\frac{R}{r})^3 = (\sqrt{5})^3 = 5\sqrt{5}$.

Ответ: $5\sqrt{5}$.