Номер 5.76, страница 174 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.76. Высота конуса объемом $\text{V}$ разделена на три равные части. Через точки деления параллельно основанию проведены плоскости, которые делят конус на три части. Найдите объем средней части.

Пусть $V$ – объем исходного конуса, $H$ – его высота, а $R$ – радиус его основания. Объем конуса вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$.

Высота конуса разделена на три равные части. Через точки деления, находящиеся на расстоянии $\frac{1}{3}H$ и $\frac{2}{3}H$ от вершины, проведены плоскости, параллельные основанию. Эти плоскости отсекают от исходного конуса два меньших конуса, которые подобны исходному.

Обозначим три получившиеся части, считая от вершины: верхняя, средняя и нижняя.

Верхняя часть представляет собой конус, высота которого $h_1 = \frac{1}{3}H$. Этот конус подобен исходному с коэффициентом подобия $k_1 = \frac{h_1}{H} = \frac{H/3}{H} = \frac{1}{3}$.

Отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента подобия. Следовательно, объем верхней части $V_1$ составляет: $\frac{V_1}{V} = k_1^3 = (\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{27}$, откуда $V_1 = \frac{1}{27}V$.

Верхняя и средняя части вместе образуют конус, высота которого $h_2 = \frac{2}{3}H$. Этот конус также подобен исходному с коэффициентом подобия $k_2 = \frac{h_2}{H} = \frac{2H/3}{H} = \frac{2}{3}$.

Объем этого конуса, $V_{1+2}$, равен: $\frac{V_{1+2}}{V} = k_2^3 = (\frac{2}{3})^3 = \frac{8}{27}$, откуда $V_{1+2} = \frac{8}{27}V$.

Объем средней части $V_2$ можно найти как разность объемов конуса, состоящего из верхней и средней частей, и объема верхней части: $V_2 = V_{1+2} - V_1 = \frac{8}{27}V - \frac{1}{27}V = \frac{7}{27}V$.

Ответ: $\frac{7}{27}V$