Номер 5.73, страница 174 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.73. Найдите объем цилиндра, вписанного в правильную ше- стиугольную призму, каждое ребро которой равно $\text{a}$.

По условию, дана правильная шестиугольная призма, каждое ребро которой равно $a$. Это означает, что сторона основания (правильного шестиугольника) равна $a$, и высота призмы также равна $a$.

В эту призму вписан цилиндр. Высота вписанного цилиндра $h$ равна высоте призмы. Таким образом, $h = a$.

Основание цилиндра представляет собой круг, вписанный в основание призмы, то есть в правильный шестиугольник со стороной $a$. Радиус $r$ этого круга равен радиусу окружности, вписанной в правильный шестиугольник.

Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной $a$, можно найти как высоту одного из шести равносторонних треугольников, на которые можно разбить этот шестиугольник. Сторона каждого такого треугольника равна $a$.

Высота равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $h_{\triangle} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Следовательно, радиус основания цилиндра $r$ равен:

$r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Объем цилиндра $V$ вычисляется по формуле $V = \pi r^2 h$. Подставим найденные значения $r$ и $h$:

$V = \pi \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 \cdot a = \pi \cdot \frac{a^2 \cdot 3}{4} \cdot a = \frac{3\pi a^3}{4}$

Ответ: $V = \frac{3\pi a^3}{4}$