Номер 5.74, страница 174 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.74. Центры граней куба являются вершинами октаэдра. Найдите отношение объемов куба и октаэдра.

Пусть длина ребра куба равна $a$. Тогда объем куба $V_{куб}$ вычисляется по формуле:

$V_{куб} = a^3$

Вершины октаэдра находятся в центрах шести граней куба. Октаэдр представляет собой две правильные четырехугольные пирамиды, соединенные своими основаниями. Основание этих пирамид — это квадрат, вершины которого являются центрами четырех боковых граней куба. Две оставшиеся вершины октаэдра (вершины пирамид) являются центрами верхней и нижней граней куба.

Рассмотрим квадрат в основании пирамид. Его диагонали соединяют центры противоположных граней куба. Длина каждой такой диагонали равна длине ребра куба, то есть $a$. Площадь квадрата ($S_{осн}$) можно найти через его диагонали:

$S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{a^2}{2}$

Высота каждой из двух пирамид ($h$) равна расстоянию от центра куба до центра его грани, что составляет половину длины ребра куба:

$h = \frac{a}{2}$

Объем одной пирамиды ($V_{пир}$) вычисляется по формуле:

$V_{пир} = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2}{2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^3}{12}$

Поскольку октаэдр состоит из двух таких пирамид, его объем ($V_{окт}$) равен:

$V_{окт} = 2 \cdot V_{пир} = 2 \cdot \frac{a^3}{12} = \frac{a^3}{6}$

Теперь найдем искомое отношение объемов куба и октаэдра:

$\frac{V_{куб}}{V_{окт}} = \frac{a^3}{\frac{a^3}{6}} = a^3 \cdot \frac{6}{a^3} = 6$

Ответ: 6.