Номер 5.71, страница 174 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.71. Найдите площадь осевого сечения усеченного конуса, если площади оснований равны $Q_1$ и $Q_2$, а площадь боковой поверхности – $Q_3$.

Обозначим радиусы оснований усеченного конуса как $R$ и $r$ (пусть $R \ge r$), образующую как $l$ и высоту как $h$.

Площади оснований $Q_1$ и $Q_2$ - это площади кругов с радиусами $R$ и $r$. Без ограничения общности, пусть $Q_1$ - площадь большего основания, а $Q_2$ - меньшего.

$Q_1 = \pi R^2 \implies R^2 = \frac{Q_1}{\pi}$

$Q_2 = \pi r^2 \implies r^2 = \frac{Q_2}{\pi}$

Площадь боковой поверхности усеченного конуса $Q_s$ вычисляется по формуле:

$Q_s = \pi (R+r) l$

Отсюда можно выразить произведение $(R+r)l$:

$(R+r)l = \frac{Q_s}{\pi}$

Осевое сечение усеченного конуса является равнобокой трапецией. Основания этой трапеции равны диаметрам оснований конуса, то есть $2R$ и $2r$. Боковые стороны трапеции равны образующей конуса $l$. Высота трапеции равна высоте конуса $h$.

Площадь осевого сечения $S_{сеч}$ равна площади этой трапеции:

$S_{сеч} = \frac{2R + 2r}{2} h = (R+r)h$

Чтобы найти высоту $h$, рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой $h$, частью большего радиуса $(R-r)$ и образующей $l$ (которая является гипотенузой). По теореме Пифагора:

$l^2 = h^2 + (R-r)^2 \implies h^2 = l^2 - (R-r)^2$

$h = \sqrt{l^2 - (R-r)^2}$

Подставим это выражение для $h$ в формулу площади сечения:

$S_{сеч} = (R+r)\sqrt{l^2 - (R-r)^2}$

Возведем обе части в квадрат для удобства преобразований:

$S_{сеч}^2 = (R+r)^2 (l^2 - (R-r)^2) = (R+r)^2 l^2 - (R+r)^2 (R-r)^2$

Рассмотрим каждое слагаемое отдельно.

Первое слагаемое: $(R+r)^2 l^2 = ((R+r)l)^2$. Из формулы для площади боковой поверхности мы знаем, что $(R+r)l = \frac{Q_s}{\pi}$. Следовательно:

$((R+r)l)^2 = \left(\frac{Q_s}{\pi}\right)^2 = \frac{Q_s^2}{\pi^2}$

Второе слагаемое: $(R+r)^2 (R-r)^2 = ((R+r)(R-r))^2 = (R^2 - r^2)^2$. Используя выражения для $R^2$ и $r^2$ через $Q_1$ и $Q_2$:

$(R^2 - r^2)^2 = \left(\frac{Q_1}{\pi} - \frac{Q_2}{\pi}\right)^2 = \left(\frac{Q_1 - Q_2}{\pi}\right)^2 = \frac{(Q_1 - Q_2)^2}{\pi^2}$

Теперь подставим оба выражения обратно в формулу для $S_{сеч}^2$:

$S_{сеч}^2 = \frac{Q_s^2}{\pi^2} - \frac{(Q_1 - Q_2)^2}{\pi^2} = \frac{Q_s^2 - (Q_1 - Q_2)^2}{\pi^2}$

Наконец, извлечем квадратный корень, чтобы найти $S_{сеч}$:

$S_{сеч} = \sqrt{\frac{Q_s^2 - (Q_1 - Q_2)^2}{\pi^2}} = \frac{\sqrt{Q_s^2 - (Q_1 - Q_2)^2}}{\pi}$

Ответ: $ \frac{\sqrt{Q_s^2 - (Q_1 - Q_2)^2}}{\pi} $