Номер 5.62, страница 173 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.62. Найдите объем шара, описанного около куба с ребром $\text{a}$.

Пусть ребро куба равно $a$. Шар является описанным около куба, если все вершины куба лежат на поверхности шара. В этом случае центр шара совпадает с центром куба, а диаметр шара равен главной диагонали куба.

Найдем длину главной диагонали куба $d$. Сначала найдем диагональ $d_г$ одной из граней куба. По теореме Пифагора для квадрата со стороной $a$: $d_г^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$, откуда $d_г = a\sqrt{2}$.

Главная диагональ куба $d$, диагональ грани $d_г$ и ребро куба $a$ образуют прямоугольный треугольник. Снова применяем теорему Пифагора: $d^2 = d_г^2 + a^2 = (a\sqrt{2})^2 + a^2 = 2a^2 + a^2 = 3a^2$. Таким образом, главная диагональ куба $d = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$.

Диаметр $D$ описанного шара равен главной диагонали куба: $D = d = a\sqrt{3}$.

Радиус $R$ шара равен половине его диаметра: $R = \frac{D}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Объем шара $V$ вычисляется по формуле: $V = \frac{4}{3}\pi R^3$.

Подставим найденное значение радиуса $R$ в эту формулу: $V = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{a^3 \cdot (\sqrt{3})^3}{2^3} = \frac{4}{3}\pi \frac{a^3 \cdot 3\sqrt{3}}{8}$.

Сократим и упростим выражение: $V = \frac{4 \cdot 3 \cdot \pi \cdot a^3 \cdot \sqrt{3}}{3 \cdot 8} = \frac{12\pi a^3 \sqrt{3}}{24} = \frac{\pi a^3 \sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi a^3 \sqrt{3}}{2}$