Номер 5, страница 234 - гдз по химии 11 класс учебник Еремин, Кузьменко

Параграф 50. Ядро атома. Ядерные реакции. Глава 5. Строение вещества - номер 5, страница 234.

Условие.

5. При археологических раскопках были найдены останки, содержание $^{14}C$ в которых составляет 25% от нормального. Каков возраст останков?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Отношение текущего количества ядер $^{14}C$ к начальному: $\frac{N}{N_0} = 25\% = 0.25$
Период полураспада $^{14}C$: $T_{1/2} = 5730 \text{ лет}$

$T_{1/2} = 5730 \text{ лет} \cdot 365.25 \frac{\text{дней}}{\text{год}} \cdot 24 \frac{\text{ч}}{\text{день}} \cdot 3600 \frac{\text{с}}{\text{ч}} \approx 1.808 \times 10^{11} \text{ с}$

Найти:

Возраст останков, $t$

Решение:

Для определения возраста археологических находок используется метод радиоуглеродного анализа, который основан на законе радиоактивного распада. Закон радиоактивного распада описывает, как количество радиоактивных ядер уменьшается со временем. Формула закона выглядит следующим образом:

$N = N_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}}$

В этой формуле $N$ – это количество ядер радиоактивного изотопа $^{14}C$ в настоящее время в останках; $N_0$ – первоначальное количество ядер $^{14}C$ в момент, когда организм был жив; $t$ – время, прошедшее с момента гибели организма, то есть искомый возраст останков; $T_{1/2}$ – период полураспада $^{14}C$, который для углерода-14 составляет примерно 5730 лет.

Из условия задачи нам известно, что содержание $^{14}C$ в найденных останках составляет 25% от нормального (первоначального). Это означает, что отношение текущего количества ядер к начальному $\frac{N}{N_0}$ равно 0.25, что эквивалентно дроби $\frac{1}{4}$.

$\frac{N}{N_0} = 0.25 = \frac{1}{4}$

Подставим это значение в формулу закона радиоактивного распада:

$\frac{1}{4} = 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}}$

Представим дробь $\frac{1}{4}$ в виде степени с основанием 2. Так как $4 = 2^2$, то $\frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$. Теперь наше уравнение принимает вид:

$2^{-2} = 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}}$

Поскольку основания степеней в обеих частях уравнения равны (равны 2), мы можем приравнять их показатели:

$-2 = -\frac{t}{T_{1/2}}$

Умножив обе части на -1, получим:

$2 = \frac{t}{T_{1/2}}$

Отсюда выражаем искомое время $t$:

$t = 2 \cdot T_{1/2}$

Это означает, что возраст останков равен двум периодам полураспада углерода-14. Теперь подставим известное значение периода полураспада $T_{1/2} = 5730$ лет и вычислим возраст:

$t = 2 \cdot 5730 \text{ лет} = 11460 \text{ лет}$

Таким образом, с момента гибели организма прошло два периода полураспада. После первого периода (5730 лет) осталось бы 50% $^{14}C$, а после второго периода (еще 5730 лет) – половина от 50%, то есть 25%, что соответствует условию задачи.

Ответ: возраст останков составляет 11460 лет.