Номер 6, страница 234 - гдз по химии 11 класс учебник Еремин, Кузьменко

Параграф 50. Ядро атома. Ядерные реакции. Глава 5. Строение вещества - номер 6, страница 234.

Условие.

6. Природный уран представляет собой смесь изотопов $^{238}\text{U}$ (99,3%, $T_{1/2} = 4,5$ млрд лет) и $^{235}\text{U}$ (0,7%, $T_{1/2} = 700$ млн лет). Считая, что при рождении Земли исходное число атомов обоих изотопов урана было одинаковым ($^{235}\text{U} : ^{238}\text{U} = 1 : 1$), оцените возраст Земли.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Современное содержание изотопа ${}^{238}\text{U}$: $c_{238} = 99,3\%$
Период полураспада ${}^{238}\text{U}$: $T_{1/2, 238} = 4,5 \text{ млрд лет}$
Современное содержание изотопа ${}^{235}\text{U}$: $c_{235} = 0,7\%$
Период полураспада ${}^{235}\text{U}$: $T_{1/2, 235} = 700 \text{ млн лет}$
Начальное условие: число атомов ${}^{238}\text{U}$ и ${}^{235}\text{U}$ было одинаковым, $N_{0,238} = N_{0,235}$.

Перевод данных в систему СИ (хотя для решения задачи удобнее использовать "годы"):

$T_{1/2, 238} = 4,5 \times 10^9 \text{ лет} \approx 4,5 \times 10^9 \cdot 3,15 \times 10^7 \text{ с} \approx 1,42 \times 10^{17} \text{ с}$
$T_{1/2, 235} = 700 \times 10^6 \text{ лет} = 0,7 \times 10^9 \text{ лет} \approx 0,7 \times 10^9 \cdot 3,15 \times 10^7 \text{ с} \approx 2,21 \times 10^{16} \text{ с}$

Найти:

Возраст Земли $t$.

Решение:

Закон радиоактивного распада гласит, что число нераспавшихся ядер $N$ изменяется со временем $t$ по экспоненциальному закону: $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$, где $N_0$ — начальное число ядер, а $\lambda$ — постоянная распада. Постоянная распада $\lambda$ связана с периодом полураспада $T_{1/2}$ соотношением $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$.
Пусть $t$ — искомый возраст Земли. В момент ее образования ($t=0$) число атомов каждого изотопа было одинаковым, обозначим его $N_0$. Тогда количество атомов каждого изотопа, оставшееся к настоящему времени, можно выразить так:
Для ${}^{238}\text{U}$: $N_{238}(t) = N_0 e^{-\lambda_{238} t}$
Для ${}^{235}\text{U}$: $N_{235}(t) = N_0 e^{-\lambda_{235} t}$
Отношение числа атомов этих изотопов в настоящее время определяется их процентным содержанием: $\frac{N_{235}(t)}{N_{238}(t)} = \frac{0,7\%}{99,3\%} = \frac{0,7}{99,3}$
Теперь разделим уравнение для $N_{235}(t)$ на уравнение для $N_{238}(t)$: $\frac{N_{235}(t)}{N_{238}(t)} = \frac{N_0 e^{-\lambda_{235} t}}{N_0 e^{-\lambda_{238} t}} = e^{(\lambda_{238} - \lambda_{235})t}$
Приравняем правые части двух последних выражений и прологарифмируем обе стороны: $\ln\left(\frac{0,7}{99,3}\right) = (\lambda_{238} - \lambda_{235})t$
Отсюда выражаем время $t$: $t = \frac{\ln(0,7/99,3)}{\lambda_{238} - \lambda_{235}}$
Подставим выражения для постоянных распада через периоды полураспада: $t = \frac{\ln(0,7/99,3)}{\frac{\ln 2}{T_{1/2, 238}} - \frac{\ln 2}{T_{1/2, 235}}} = \frac{1}{\ln 2} \cdot \frac{\ln(0,7/99,3)}{\frac{1}{T_{1/2, 238}} - \frac{1}{T_{1/2, 235}}}$
Чтобы работать с положительными величинами, преобразуем выражение: $t = \frac{1}{\ln 2} \cdot \frac{-\ln(99,3/0,7)}{-(\frac{1}{T_{1/2, 235}} - \frac{1}{T_{1/2, 238}})} = \frac{\ln(99,3/0,7)}{\ln 2 \cdot \left(\frac{1}{T_{1/2, 235}} - \frac{1}{T_{1/2, 238}}\right)}$
Подставим значения периодов полураспада в годах ($T_{1/2, 238} = 4,5 \times 10^9$ лет, $T_{1/2, 235} = 0,7 \times 10^9$ лет): $t = \frac{\ln(99,3/0,7)}{\ln 2 \cdot \left(\frac{1}{0,7 \times 10^9} - \frac{1}{4,5 \times 10^9}\right)} = \frac{\ln(141,86)}{\ln 2 \cdot \frac{1}{10^9} \left(\frac{1}{0,7} - \frac{1}{4,5}\right)}$
Выполним вычисления: $t = \frac{4,955}{0,693 \cdot \frac{1}{10^9} \left(\frac{4,5 - 0,7}{0,7 \cdot 4,5}\right)} = \frac{4,955 \cdot 10^9}{0,693 \cdot \left(\frac{3,8}{3,15}\right)} \approx \frac{4,955 \cdot 10^9}{0,693 \cdot 1,206} \approx \frac{4,955 \cdot 10^9}{0,836} \approx 5,93 \times 10^9 \text{ лет}$
Таким образом, оценка возраста Земли на основе данных предположений составляет примерно 5,93 миллиарда лет.

Ответ: $t \approx 5,93 \text{ млрд лет}$.