Номер 4, страница 238 - гдз по химии 11 класс учебник Еремин, Кузьменко

Параграф 51. Элементарные понятия квантовой механики. Глава 5. Строение вещества - номер 4, страница 238.

Условие.

4. Оцените минимальную неопределённость скорости электрона в атоме водорода. Указание. Если неизвестна область локализации электрона в атоме, то неопределённость его координаты можно принять равной радиусу атома.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Неопределенность координаты электрона в атоме водорода, согласно указанию, принимается равной радиусу атома (радиусу Бора):
$Δx \approx a_0 = 5.29 \times 10^{-11}$ м
Масса электрона:
$m_e = 9.11 \times 10^{-31}$ кг
Приведенная постоянная Планка:
$\hbar = 1.054 \times 10^{-34}$ Дж·с

Найти:

Минимальная неопределенность скорости электрона $Δv_{min}$.

Решение:

Для оценки минимальной неопределенности скорости электрона воспользуемся соотношением неопределенностей Гейзенберга для координаты и импульса:

$Δx \cdot Δp \ge \frac{\hbar}{2}$

где $Δx$ — неопределенность координаты, $Δp$ — неопределенность импульса, а $\hbar$ — приведенная постоянная Планка.

Минимальное значение произведения неопределенностей равно $\frac{\hbar}{2}$.

$Δx \cdot Δp_{min} = \frac{\hbar}{2}$

Неопределенность импульса $Δp$ связана с неопределенностью скорости $Δv$ через массу электрона $m_e$:

$Δp = m_e \cdot Δv$

Подставим это выражение в соотношение неопределенностей:

$Δx \cdot (m_e \cdot Δv) \ge \frac{\hbar}{2}$

Отсюда можно выразить минимальную неопределенность скорости $Δv_{min}$:

$Δv_{min} = \frac{\hbar}{2 \cdot m_e \cdot Δx}$

Согласно указанию в задаче, примем неопределенность положения электрона $Δx$ равной радиусу атома водорода (радиусу Бора $a_0$):

$Δx \approx a_0 = 5.29 \times 10^{-11}$ м

Подставим числовые значения в формулу для $Δv_{min}$:

$Δv_{min} = \frac{1.054 \times 10^{-34} \text{ Дж·с}}{2 \cdot (9.11 \times 10^{-31} \text{ кг}) \cdot (5.29 \times 10^{-11} \text{ м})}$

$Δv_{min} \approx \frac{1.054 \times 10^{-34}}{9.64 \times 10^{-41}} \text{ м/с} \approx 1.09 \times 10^6 \text{ м/с}$

Ответ: Минимальная неопределенность скорости электрона в атоме водорода составляет примерно $1.09 \times 10^6$ м/с.