Номер 2, страница 244 - гдз по химии 11 класс учебник Еремин, Кузьменко

Параграф 52. Электронные конфигурации атомов. Глава 5. Строение вещества - номер 2, страница 244.

Условие.

2. Объясните, почему максимальное число электронов, имеющих главное квантовое число n, равно $2n^2$.

Решение.

Решение 2.

Решение

Максимальное число электронов на энергетическом уровне, определяемом главным квантовым числом $n$, выводится из правил квантовой механики и принципа Паули. Состояние каждого электрона в атоме описывается уникальным набором из четырёх квантовых чисел:

• Главное квантовое число ($n$): определяет энергетический уровень (электронную оболочку) и может принимать любые целые положительные значения: $n = 1, 2, 3, \dots$.
• Орбитальное (азимутальное) квантовое число ($l$): определяет форму атомной орбитали (подуровень). Для заданного $n$ оно может принимать целые значения от $0$ до $n-1$. То есть, всего $n$ возможных значений.
• Магнитное квантовое число ($m_l$): определяет ориентацию орбитали в пространстве. Для заданного $l$ оно может принимать $2l+1$ целых значений от $-l$ до $+l$ (включая $0$).
• Спиновое квантовое число ($m_s$): характеризует собственный момент импульса электрона (спин). Оно может принимать только два значения: $+1/2$ и $-1/2$.

Согласно принципу Паули, в одном атоме не может быть двух электронов с одинаковым набором всех четырёх квантовых чисел. Это означает, что каждая уникальная комбинация ($n, l, m_l, m_s$) соответствует одному возможному состоянию для электрона.

Чтобы найти максимальное число электронов для данного главного квантового числа $n$, нужно посчитать общее количество возможных уникальных наборов квантовых чисел.

1. Для заданного $n$ орбитальное число $l$ принимает значения $0, 1, 2, \dots, n-1$.

2. Для каждого значения $l$ (подуровня) магнитное число $m_l$ может принимать $2l+1$ значений. Это соответствует числу орбиталей на данном подуровне.

3. На каждой орбитали (определяемой парой $n$ и $l$ и конкретным значением $m_l$) может находиться не более двух электронов, так как спиновое число $m_s$ может иметь только два значения ($+1/2$ и $-1/2$).

Таким образом, общее число электронных состояний (и, следовательно, максимальное число электронов) на уровне $n$ равно сумме числа электронов на всех его подуровнях (от $l=0$ до $l=n-1$):

$N_{max} = \sum_{l=0}^{n-1} (\text{число орбиталей для } l) \times (\text{число электронов на орбитали})$

$N_{max} = \sum_{l=0}^{n-1} (2l+1) \times 2 = 2 \sum_{l=0}^{n-1} (2l+1)$

Выражение в скобках представляет собой сумму числа орбиталей на всех подуровнях. Эта сумма равна сумме первых $n$ нечетных чисел:

$\sum_{l=0}^{n-1} (2l+1) = (2 \cdot 0 + 1) + (2 \cdot 1 + 1) + \dots + (2(n-1)+1) = 1 + 3 + \dots + (2n-1)$

Сумма первых $n$ нечетных чисел равна $n^2$. Следовательно, общее число орбиталей на уровне $n$ равно $n^2$.

Подставляя это в исходную формулу для $N_{max}$, получаем:

$N_{max} = 2 \times n^2 = 2n^2$

Примеры:

• Для $n=1$: $l=0$, $m_l=0$. Орбиталь одна (1s). На ней 2 электрона. Всего $2 \cdot 1^2 = 2$ электрона.
• Для $n=2$: $l=0$ (s-подуровень, 1 орбиталь, 2 электрона) и $l=1$ (p-подуровень, 3 орбитали, 6 электронов). Всего $2+6=8$ электронов. Формула дает $2 \cdot 2^2 = 8$ электронов.
• Для $n=3$: $l=0$ (s, 2e), $l=1$ (p, 6e), $l=2$ (d, 5 орбиталей, 10e). Всего $2+6+10=18$ электронов. Формула дает $2 \cdot 3^2 = 18$ электронов.

Ответ: Максимальное число электронов, имеющих главное квантовое число $n$, равно $2n^2$, потому что для каждого $n$ существует $n^2$ уникальных атомных орбиталей (сумма $(2l+1)$ по всем возможным значениям $l$ от $0$ до $n-1$), и на каждой из этих орбиталей, согласно принципу Паули, может находиться не более двух электронов с противоположными спинами.