Номер 5, страница 238 - гдз по химии 11 класс учебник Еремин, Кузьменко

Параграф 51. Элементарные понятия квантовой механики. Глава 5. Строение вещества - номер 5, страница 238.

Условие.

5. Не проводя вычислений, расположите следующие частицы в порядке увеличения минимальной неопределённости их скорости, $\Delta v_{\text{мин}}$:

а) электрон в молекуле H₂;

б) атом водорода в молекуле H₂;

в) протон в ядре атома углерода;

г) молекула H₂ в нанотрубке;

д) молекула O₂ в комнате шириной 5 м.

Решение.

Решение 2.

Для решения данной задачи необходимо использовать принцип неопределенности Гейзенберга. Он устанавливает фундаментальный предел точности одновременного измерения пары сопряженных величин, таких как координата и импульс. Математически для минимальной неопределенности это соотношение выглядит так:

$\Delta x \cdot \Delta p_{\text{мин}} = \frac{\hbar}{2}$

Здесь $\Delta x$ — неопределенность положения частицы, $\Delta p_{\text{мин}}$ — минимальная неопределенность ее импульса, а $\hbar$ — приведенная постоянная Планка.

Поскольку импульс $p$ связан с массой $m$ и скоростью $v$ как $p = mv$, неопределенность импульса можно выразить через неопределенность скорости $\Delta v$: $\Delta p = m \Delta v$. Тогда для минимальной неопределенности скорости получаем:

$\Delta v_{\text{мин}} = \frac{\hbar}{2 m \Delta x}$

Из этой формулы следует, что минимальная неопределенность скорости обратно пропорциональна произведению массы частицы ($m$) на неопределенность ее положения ($\Delta x$). Неопределенность положения $\Delta x$ можно принять равной характерному размеру области, в которой находится частица.

Чтобы расположить частицы в порядке увеличения минимальной неопределенности их скорости ($\Delta v_{\text{мин}}$), нужно расположить их в порядке уменьшения произведения $m \cdot \Delta x$. Проанализируем это произведение для каждого случая.

а) электрон в молекуле H₂

Частица — электрон. Его масса $m_e$ является наименьшей среди всех рассматриваемых частиц. Электрон делокализован в пределах всей молекулы водорода H₂, поэтому неопределенность его положения $\Delta x_a$ имеет порядок размера молекулы, то есть $\approx 10^{-10}$ м.

б) атом водорода в молекуле H₂

Частица — атом водорода. Его масса $m_H$ (практически равная массе протона $m_p$) почти в 2000 раз больше массы электрона. Атом в молекуле совершает колебания около своего равновесного положения. Пространство, доступное для его движения, определяется амплитудой этих колебаний, которая значительно меньше размера всей молекулы, $\Delta x_б \approx 10^{-11}$ м.

в) протон в ядре атома углерода

Частица — протон. Его масса $m_p$ такая же, как у атома водорода. Протон находится внутри ядра атома углерода. Размер ядра — это чрезвычайно малая величина, $\Delta x_в \approx 10^{-15}$ м. Это самая сильная степень локализации частицы в задаче.

г) молекула H₂ в нанотрубке

Частица — молекула водорода H₂. Ее масса $m_{H_2} \approx 2m_p$. Молекула заперта в нанотрубке, и неопределенность ее положения в поперечном направлении $\Delta x_г$ определяется диаметром нанотрубки, который составляет порядка нескольких нанометров, $\approx 10^{-9}$ м.

д) молекула O₂ в комнате шириной 5 м

Частица — молекула кислорода O₂. Ее масса $m_{O_2} \approx 32m_p$ — самая большая в списке. Частица может находиться в любой точке комнаты, поэтому неопределенность ее положения $\Delta x_д$ имеет макроскопическую величину — 5 м.

Теперь сравним произведения $m \cdot \Delta x$ для всех случаев.

• д) молекула O₂ в комнате: Обладает самой большой массой и несоизмеримо большей областью локализации (макроскопической, 5 м). Произведение $m \cdot \Delta x$ здесь будет самым большим.
• г) молекула H₂ в нанотрубке: Масса меньше, чем у O₂, а область локализации ($ \approx 10^{-9}$ м) на много порядков меньше. Произведение $m \cdot \Delta x$ будет значительно меньше, чем в случае (д).
• б) атом водорода в молекуле H₂: Масса примерно в 2 раза меньше, чем у молекулы H₂, но область локализации, ограниченная амплитудой колебаний ($\approx 10^{-11}$ м), на два порядка меньше, чем в случае (г). Поэтому произведение $m \cdot \Delta x$ будет меньше.
• а) электрон в молекуле H₂: Масса электрона чрезвычайно мала (в ~2000 раз меньше массы атома H), в то время как область локализации ($\approx 10^{-10}$ м) всего на порядок больше, чем у атома H. Малый множитель массы приводит к тому, что произведение $m \cdot \Delta x$ будет значительно меньше, чем в случае (б).
• в) протон в ядре атома углерода: Масса протона велика (как у атома H), но он заперт в чрезвычайно малой области — ядре ($\approx 10^{-15}$ м). Этот крошечный размер $\Delta x$ приводит к самому маленькому значению произведения $m \cdot \Delta x$ из всех случаев.

Таким образом, расположив произведения $m \cdot \Delta x$ в порядке убывания, получаем: д > г > б > а > в.

Поскольку $\Delta v_{\text{мин}}$ обратно пропорциональна $m \cdot \Delta x$, то порядок возрастания минимальной неопределенности скорости будет обратным.

Ответ: д, г, б, а, в.