Номер 15, страница 8, часть 2 - гдз по математике 2 класс учебник Петерсон

(15)* Обведи каждую из данных фигур, не отрывая карандаша от бумаги и не проходя по одной линии дважды.

Для решения этой задачи используется принцип из теории графов, который позволяет определить, можно ли начертить фигуру одним росчерком, не отрывая карандаша и не проходя по одной линии дважды. Правило основано на подсчете количества линий, сходящихся в каждой точке их пересечения или окончания (такие точки называют вершинами).

Степень вершины — это количество линий, которые к ней подходят.

• Четная вершина — вершина, в которой сходится четное число линий (2, 4, 6 и т.д.).
• Нечетная вершина — вершина, в которой сходится нечетное число линий (1, 3, 5 и т.д.).

Фигуру можно начертить одним росчерком, если она удовлетворяет одному из условий:

1. Все ее вершины — четные. В этом случае путь можно начать в любой вершине и закончить в той же самой вершине.
2. Она имеет ровно две нечетные вершины. В этом случае путь необходимо начать в одной из нечетных вершин, а закончить в другой.

Если в фигуре больше двух нечетных вершин, начертить ее одним росчерком невозможно.

Рассмотрим каждую из предложенных фигур.

Фигура 1

Эта фигура представляет собой простой треугольник. Она имеет 3 вершины (в каждом углу). В каждой вершине сходятся 2 линии. Таким образом, степень каждой вершины равна 2. Все три вершины являются четными. Количество нечетных вершин — 0.

Согласно правилу, такую фигуру можно начертить одним росчерком. Начать можно в любой вершине и, обойдя контур, вернуться в нее же.

Пример пути: Начать в левом нижнем углу, провести линию к верхней вершине, оттуда — к правому нижнему углу и вернуться в исходную точку.

Ответ: Да, возможно. У фигуры 0 нечетных вершин.

Фигура 2

Эта фигура — треугольник с линией, проведенной из верхней вершины к основанию. Пронумеруем ее вершины:

1. Верхняя вершина.
2. Левая нижняя вершина.
3. Правая нижняя вершина.
4. Точка на основании, куда проведена линия из верхней вершины.

Подсчитаем степени вершин:

• Вершина 1 (верхняя): сходятся 3 линии. Степень нечетная.
• Вершина 2 (левая нижняя): сходятся 2 линии. Степень четная.
• Вершина 3 (правая нижняя): сходятся 2 линии. Степень четная.
• Вершина 4 (на основании): сходятся 3 линии. Степень нечетная.

В этой фигуре ровно две нечетные вершины (1 и 4). Следовательно, ее можно начертить, если начать движение в одной из этих вершин и закончить в другой.

Пример пути (начиная с вершины 1): Провести линию из вершины 1 в вершину 2, затем в 4, из 4 в 3, из 3 вернуться в 1 и закончить путь линией из 1 в 4. Последовательность вершин: 1 → 2 → 4 → 3 → 1 → 4.

Ответ: Да, возможно. У фигуры 2 нечетные вершины, путь должен начинаться в одной из них и заканчиваться в другой.

Фигура 3

Эта фигура — треугольник, разделенный двумя линиями из верхней вершины на три меньших треугольника. Пронумеруем вершины:

1. Верхняя вершина.
2. Левая нижняя вершина.
3. Правая нижняя вершина.
4. Левая точка на основании.
5. Правая точка на основании.

Подсчитаем степени вершин:

• Вершина 1 (верхняя): сходятся 4 линии. Степень четная.
• Вершина 2 (левая нижняя): сходятся 2 линии. Степень четная.
• Вершина 3 (правая нижняя): сходятся 2 линии. Степень четная.
• Вершина 4 (левая на основании): сходятся 3 линии. Степень нечетная.
• Вершина 5 (правая на основании): сходятся 3 линии. Степень нечетная.

Фигура имеет две нечетные вершины (4 и 5). Значит, ее можно нарисовать одним росчерком, начав в вершине 4 и закончив в вершине 5 (или наоборот).

Пример пути (начиная с вершины 4): Последовательность обхода вершин 4 → 2 → 1 → 3 → 5 → 4 → 1 → 5.

Ответ: Да, возможно. У фигуры 2 нечетные вершины, и путь должен их соединять.

Фигура 4

Эта фигура — большой треугольник с вписанным в него перевернутым треугольником. Пронумеруем вершины:

1. Верхняя вершина большого треугольника.
2. Левая нижняя вершина большого треугольника.
3. Правая нижняя вершина большого треугольника.
4. Вершина на левой стороне (середина стороны).
5. Вершина на основании (середина основания).
6. Вершина на правой стороне (середина стороны).

Подсчитаем степени вершин:

• Вершины 1, 2, 3 (углы большого треугольника): в каждой сходятся 2 линии. Степень четная.
• Вершины 4, 5, 6 (углы внутреннего треугольника): в каждой сходятся 4 линии. Степень четная.

Все 6 вершин этой фигуры являются четными. Количество нечетных вершин — 0. Это значит, что фигуру можно начертить, начав в любой точке и закончив в ней же.

Пример пути (начиная с вершины 1): Последовательность обхода вершин 1 → 4 → 2 → 5 → 3 → 6 → 4 → 5 → 6 → 1.

Ответ: Да, возможно. У фигуры 0 нечетных вершин, поэтому путь можно начать и закончить в любой точке.