Номер 2, страница 49, часть 3 - гдз по математике 2 класс учебник Петерсон

2 a) Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 2 см, 4 см и 3 см. Объясни по рисункам смысл выражений, и вычисли. Что ты замечаешь?

$(4 \cdot 2) \cdot 3 = \dots (\text{см}^3)$

$(2 \cdot 3) \cdot 4 = \dots (\text{см}^3)$

б) Что общего и различного в выражениях: $(4 \cdot 2) \cdot 3$ и $4 \cdot (2 \cdot 3)$? Почему они равны? Запиши это равенство с помощью букв и сделай вывод.

$(4 \cdot 2) \cdot 3 = 4 \cdot (2 \cdot 3)$

$(a \cdot b) \cdot c = \dots$

а)

Выражение $(4 \cdot 2) \cdot 3$ соответствует вычислению объема прямоугольного параллелепипеда, показанного на первом рисунке. Сначала вычисляется произведение $(4 \cdot 2)$, которое представляет собой площадь основания параллелепипеда с длиной 4 см и шириной 2 см. Эта площадь равна $4 \cdot 2 = 8 \text{ см}^2$. На рисунке видно, что в нижнем слое находится 8 кубиков объемом 1 см³ каждый. Затем эта площадь умножается на высоту, равную 3 см. Это значит, что мы берем 3 таких слоя по 8 кубиков. Таким образом, мы находим общий объем.

Вычисление: $(4 \cdot 2) \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24 \text{ (см}^3\text{)}$.

Выражение $(2 \cdot 3) \cdot 4$ соответствует вычислению объема того же параллелепипеда, но повернутого, как на втором рисунке (или вычисленного в другом порядке). В данном случае, произведение $(2 \cdot 3)$ можно интерпретировать как площадь боковой грани исходного параллелепипеда (или основания повернутого) с размерами 2 см и 3 см. Эта площадь равна $2 \cdot 3 = 6 \text{ см}^2$. На втором рисунке видно, что в одном слое такого сечения находится 6 кубиков. Затем эта площадь умножается на третье измерение – 4 см. Это значит, что мы берем 4 таких слоя по 6 кубиков. Таким образом, мы также находим общий объем.

Вычисление: $(2 \cdot 3) \cdot 4 = 6 \cdot 4 = 24 \text{ (см}^3\text{)}$.

Можно заметить, что оба выражения дают одинаковый результат. Это означает, что объем прямоугольного параллелепипеда не зависит от того, в каком порядке перемножать его измерения (длину, ширину и высоту).

Ответ: $(4 \cdot 2) \cdot 3 = 24 \text{ см}^3$; $(2 \cdot 3) \cdot 4 = 24 \text{ см}^3$. Смысл выражений — вычисление объема прямоугольного параллелепипеда. Первое выражение — это произведение площади основания $(4 \cdot 2)$ на высоту $3$. Второе — произведение площади грани $(2 \cdot 3)$ на третье измерение $4$. Замечание: результаты вычислений равны.

б)

Анализ выражений $(4 \cdot 2) \cdot 3$ и $4 \cdot (2 \cdot 3)$:

Общее: в обоих выражениях используются одни и те же множители (числа 4, 2 и 3) и выполняется одна и та же операция (умножение). Результаты вычислений для этих выражений равны: $8 \cdot 3 = 24$ и $4 \cdot 6 = 24$.

Различное: порядок выполнения действий, который определяется скобками. В первом выражении $(4 \cdot 2) \cdot 3$ сначала выполняется умножение $4 \cdot 2$. Во втором выражении $4 \cdot (2 \cdot 3)$ сначала выполняется умножение $2 \cdot 3$. То есть, группировка множителей разная.

Выражения равны благодаря сочетательному свойству умножения. Это свойство гласит, что результат умножения не зависит от способа группировки множителей.

Запишем это равенство с помощью букв, где $a$, $b$ и $c$ — произвольные числа. В нашем случае $a=4$, $b=2$, $c=3$.

$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$

Вывод: Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел. Значение произведения не меняется от перестановки скобок.

Ответ: Общим в выражениях являются множители и результат, а различным — порядок действий (группировка множителей). Они равны из-за сочетательного свойства умножения. В буквенном виде это свойство записывается как $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$. Вывод: результат умножения не зависит от способа группировки множителей.