Номер 1, страница 4, часть 3 - гдз по математике 3 класс учебник Акпаева, Лебедева

1. Рассмотри буквенные обозначения свойств и поясни на своих примерах. Используй образцы доказательств каждого свойства.

Переместительное свойство умножения

$a \cdot b = b \cdot a$

$4 \cdot 2 = 2 \cdot 4$

Сочетательное свойство умножения

$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$

$(3 \cdot 2) \cdot 4 = 3 \cdot (2 \cdot 4)$

Распределительное свойство умножения относительно сложения (вычитания)

$(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$

$(a - b) \cdot c = a \cdot c - b \cdot c$

$(4 + 2) \cdot 3 = 4 \cdot 3 + 2 \cdot 3 = 18$

$(4 - 2) \cdot 3 = 4 \cdot 3 - 2 \cdot 3 = 6$

Деление произведения на число

$(a \cdot b) : c = (a : c) \cdot b = (b : c) \cdot a$

$(3 \cdot 6) : 3 = (3 : 3) \cdot 6 = 6$

$(3 \cdot 6) : 3 = (6 : 3) \cdot 3 = 6$

Деление суммы на число

$(a + b) : c = a : c + b : c$

$(8 + 4) : 2 = 12 : 2 = 6$

$(8 + 4) : 2 = 8 : 2 + 4 : 2 = 4 + 2 = 6$

Свойства умножения и деления применяются для удобства вычислений.

Переместительное свойство умножения

Это свойство гласит, что от перестановки множителей произведение не меняется. Формула: $a \cdot b = b \cdot a$.

Рассмотрим на примере, где $a=7$, а $b=5$.

Вычислим произведение $a \cdot b$: $7 \cdot 5 = 35$.

Теперь поменяем множители местами и вычислим $b \cdot a$: $5 \cdot 7 = 35$.

Результаты равны, следовательно, $7 \cdot 5 = 5 \cdot 7$. Свойство подтверждается.

Ответ: $35=35$.

Сочетательное свойство умножения

Это свойство говорит о том, что при умножении трех и более чисел их можно группировать в любом порядке. Результат при этом не изменится. Формула: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$.

Рассмотрим на примере, где $a=5$, $b=4$, $c=2$.

Сначала сгруппируем первые два множителя: $(5 \cdot 4) \cdot 2 = 20 \cdot 2 = 40$.

Теперь сгруппируем вторые два множителя: $5 \cdot (4 \cdot 2) = 5 \cdot 8 = 40$.

Результаты одинаковы, значит, свойство верно.

Ответ: $40=40$.

Распределительное свойство умножения относительно сложения (вычитания)

Это свойство позволяет умножить сумму или разность на число. Для этого нужно умножить на это число каждое слагаемое (или уменьшаемое и вычитаемое) и сложить (или вычесть) полученные результаты. Формулы: $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$ и $(a - b) \cdot c = a \cdot c - b \cdot c$.

Пример на сложение: проверим на числах $a=6$, $b=3$, $c=5$.

Способ 1: $(6 + 3) \cdot 5 = 9 \cdot 5 = 45$.

Способ 2: $6 \cdot 5 + 3 \cdot 5 = 30 + 15 = 45$.

Пример на вычитание: проверим на числах $a=9$, $b=4$, $c=2$.

Способ 1: $(9 - 4) \cdot 2 = 5 \cdot 2 = 10$.

Способ 2: $9 \cdot 2 - 4 \cdot 2 = 18 - 8 = 10$.

В обоих случаях результаты совпали, что доказывает свойство.

Ответ: для сложения $45=45$, для вычитания $10=10$.

Деление произведения на число

Чтобы разделить произведение двух чисел на третье число, можно разделить на это число один из множителей (если это возможно без остатка) и результат умножить на второй множитель. Формула: $(a \cdot b) : c = (a : c) \cdot b = (b : c) \cdot a$.

Рассмотрим на примере, как вычислить $(4 \cdot 15) : 5$.

Способ 1 (прямое вычисление): $(4 \cdot 15) : 5 = 60 : 5 = 12$.

Способ 2 (с использованием свойства): множитель 15 делится на 5. Разделим его: $(15 : 5) \cdot 4 = 3 \cdot 4 = 12$.

Результаты совпадают, что делает этот способ удобным для вычислений.

Ответ: $12=12$.

Деление суммы на число

Чтобы разделить сумму на число, можно разделить на это число каждое слагаемое и полученные результаты сложить. Формула: $(a + b) : c = a : c + b : c$. Это свойство применимо, когда каждое слагаемое делится на это число без остатка.

Рассмотрим на примере $(20 + 8) : 4$.

Способ 1 (прямое вычисление): $(20 + 8) : 4 = 28 : 4 = 7$.

Способ 2 (с использованием свойства): разделим каждое слагаемое на 4. $20 : 4 + 8 : 4 = 5 + 2 = 7$.

Результаты равны, свойство подтверждается.

Ответ: $7=7$.