Номер 13, страница 45, часть 2 - гдз по математике 3 класс учебное пособие - тетрадь Петерсон

Урок 16. Симметрия. Часть 2 - номер 13, страница 45.

Условие 2024.

13* Арифметические ребусы

а) $ \begin{array}{c} O X O X O \\ + A X A X A \\ \hline O X O X O X \end{array} $

б) $ AB \cdot A = CCC $

Решение 2 (2024).

а)

В данном ребусе на сложение одинаковые буквы обозначают одинаковые цифры, а разные буквы — разные цифры. Запишем пример в виде:

$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c@{}c} & O & X & O & X & O \\ + & A & X & A & X & A \\ \hline O & X & O & X & O & X \end{array} $

1. Сумма `OXOXOX` является шестизначным числом, а слагаемые `OXOXO` и `AXAXA` — пятизначными. Это означает, что при сложении в старшем разряде (десятки тысяч) произошел перенос `1` в следующий разряд (сотни тысяч).
2. Старшая цифра суммы `O` как раз и является этим переносом. Следовательно, $O=1$.
3. Так как все буквы обозначают разные цифры, то $X \ne 1$ и $A \ne 1$.
4. Рассмотрим сложение в столбике для разряда десятков тысяч (пятый столбец слева): $O + A + c_4 = X + 10 \cdot 1$, где $c_4$ — это перенос из разряда тысяч. Подставив $O=1$, получаем $1 + A + c_4 = X + 10$, или $A + c_4 = X + 9$.
5. Перенос $c_4$ из предыдущего разряда (тысяч) может быть равен 0 или 1 (так как максимальная сумма в разряде тысяч $X+X+c_3$ не превышает $9+9+1=19$). Максимальное значение для цифры $A$ равно 9. Таким образом, максимальное значение левой части уравнения $A+c_4$ равно $9+1=10$.
6. Из этого следует, что $X + 9 \le 10$, откуда $X \le 1$.
7. Учитывая, что $X$ — это цифра и $X \ne O = 1$, единственной возможностью остается $X=0$.
8. Теперь, когда мы знаем, что $X=0$, вернемся к уравнению из разряда тысяч (четвертый столбец): $X + X + c_3 = O + 10 \cdot c_4$. Подставляя $X=0$ и $O=1$, получаем $0 + 0 + c_3 = 1 + 10 \cdot c_4$, то есть $c_3 = 1 + 10c_4$.
9. Поскольку $c_3$ и $c_4$ — это переносы (цифры 0, 1 или 2), единственное решение этого уравнения — это $c_4=0$ и $c_3=1$.
10. Наконец, найдем $A$ из уравнения $A + c_4 = X + 9$ (из шага 4). Подставляя $X=0$ и $c_4=0$, получаем $A + 0 = 0 + 9$, откуда $A=9$.
11. Таким образом, мы определили все цифры: $O=1, X=0, A=9$. Все они различны, что соответствует условию. Проверим решение, выполнив сложение: $10101 + 90909 = 101010$. Результат $101010$ соответствует шаблону $OXOXOX$.

Ответ: $10101 + 90909 = 101010$ ($O=1, X=0, A=9$).

б)

Решим ребус $AB \cdot A = CCC$, где A, B, C — различные цифры, и $A \ne 0$.

1. Запись $AB$ обозначает двузначное число $10A + B$. Запись $CCC$ обозначает трехзначное число $100C + 10C + C = 111C$.
2. Уравнение можно переписать в виде: $(10A + B) \cdot A = 111C$.
3. Разложим число 111 на простые множители: $111 = 3 \cdot 37$.
4. Получаем уравнение: $(10A + B) \cdot A = 3 \cdot 37 \cdot C$.
5. Число 37 — простое. Это означает, что один из множителей в левой части уравнения, то есть либо $A$, либо $(10A + B)$, должен делиться на 37.
6. $A$ — это однозначная цифра от 1 до 9, поэтому $A$ не может делиться на 37.
7. Следовательно, на 37 должно делиться двузначное число $AB = 10A + B$.
8. Найдем все двузначные числа, кратные 37: $37 \cdot 1 = 37$ и $37 \cdot 2 = 74$.
9. Рассмотрим два возможных случая:
Случай 1: $AB = 37$. Тогда $A=3, B=7$. Подставим $A=3$ в исходное уравнение: $37 \cdot 3 = 111$. Получили число вида $CCC$, значит $C=1$. Проверяем, что все цифры $A=3, B=7, C=1$ различны. Условие выполняется.
Случай 2: $AB = 74$. Тогда $A=7, B=4$. Подставим $A=7$ в исходное уравнение: $74 \cdot 7 = 518$. Результат $518$ не является числом вида $CCC$, так как его цифры различны. Этот случай не подходит.
10. Единственным решением является первый случай.

Ответ: $37 \cdot 3 = 111$ ($A=3, B=7, C=1$).

Условие 2020-2022.

13* Арифметические ребусы

a) $\begin{array}{r}O X O X O \\+ A X A X A \\\hlineO X O X O X\end{array}$

б) $ \overline{AB} \cdot A = \overline{CCC} $

Решение 2020-2022.