Номер 7, страница 73, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник Акпаева, Лебедева

ТЫ ИССЛЕДОВАТЕЛЬ

7. Реши задачу с помощью кругов Эйлера.

В многодетной семье дети любят фрукты. Яблоки любят 7 де-тей, абрикосы - 6 детей, виноград - 5, яблоки и абрикосы - 4, яблоки и виноград - 3, абрикосы и виноград - 2. И только один любит абрикосы, яблоки и виноград. Сколько детей в семье?

Для решения задачи воспользуемся методом, основанным на кругах Эйлера. Обозначим множества детей, которые любят определенные фрукты:

Я: множество детей, любящих яблоки. По условию, $|Я| = 7$.

А: множество детей, любящих абрикосы. По условию, $|А| = 6$.

В: множество детей, любящих виноград. По условию, $|В| = 5$.

Также известны размеры пересечений этих множеств:

Любят яблоки и абрикосы: $|Я \cap А| = 4$.

Любят яблоки и виноград: $|Я \cap В| = 3$.

Любят абрикосы и виноград: $|А \cap В| = 2$.

Любят все три вида фруктов: $|Я \cap А \cap В| = 1$.

Наша цель — найти общее количество детей, то есть размер объединения всех трех множеств, что обозначается как $|Я \cup А \cup В|$.

Будем рассуждать последовательно, заполняя диаграмму Эйлера из центра к краям.

1. В самом центре диаграммы, где пересекаются все три круга, находятся дети, которые любят все три фрукта. Их количество равно $|Я \cap А \cap В| = 1$.

2. Далее найдем количество детей, которые любят ровно по два вида фруктов:

- Только яблоки и абрикосы любят: $|Я \cap А| - |Я \cap А \cap В| = 4 - 1 = 3$ ребенка.

- Только яблоки и виноград любят: $|Я \cap В| - |Я \cap А \cap В| = 3 - 1 = 2$ ребенка.

- Только абрикосы и виноград любит: $|А \cap В| - |Я \cap А \cap В| = 2 - 1 = 1$ ребенок.

3. Теперь вычислим, сколько детей любят только один вид фруктов:

- Только яблоки: из общего числа любителей яблок ($\text{7}$) вычитаем всех, кто любит яблоки в сочетании с другими фруктами. Это те, кто любит только яблоки и абрикосы (3), только яблоки и виноград (2), и все три фрукта (1). Получаем: $7 - 3 - 2 - 1 = 1$ ребенок.

- Только абрикосы: из общего числа любителей абрикосов ($\text{6}$) вычитаем тех, кто любит абрикосы в сочетании с другими фруктами. Получаем: $6 - 3 - 1 - 1 = 1$ ребенок.

- Только виноград: из общего числа любителей винограда ($\text{5}$) вычитаем тех, кто любит виноград в сочетании с другими фруктами. Получаем: $5 - 2 - 1 - 1 = 1$ ребенок.

4. Наконец, чтобы найти общее число детей в семье, сложим количество детей во всех полученных непересекающихся группах:

(только яблоки) + (только абрикосы) + (только виноград) + (только яблоки и абрикосы) + (только яблоки и виноград) + (только абрикосы и виноград) + (все три фрукта).

Общее число детей = $1 + 1 + 1 + 3 + 2 + 1 + 1 = 10$.

Этот же результат можно получить, используя формулу включений-исключений для трех множеств:

$|Я \cup А \cup В| = |Я| + |А| + |В| - (|Я \cap А| + |Я \cap В| + |А \cap В|) + |Я \cap А \cap В|$

Подставив значения, получим: $7 + 6 + 5 - (4 + 3 + 2) + 1 = 18 - 9 + 1 = 10$.

Ответ: 10