Номер 7, страница 101, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник Акпаева, Лебедева

ТЫ ИССЛЕДОВАТЕЛЬ

7. Найди количество двузначных и трёхзначных чисел, которые можно составить из цифр 2, 6, 0, 3 согласно условию.

В записи числа не используются одинаковые цифры, количество десятков больше или равно 3.

Для решения этой задачи необходимо найти количество всех двузначных и трёхзначных чисел, которые можно составить из цифр {2, 6, 0, 3}, соблюдая два условия:

1. Все цифры в числе должны быть различными.

2. Количество десятков в числе должно быть больше или равно 3.

"Количество десятков" в числе $\text{N}$ — это результат целочисленного деления числа $\text{N}$ на 10, то есть $\lfloor N/10 \rfloor$. Таким образом, второе условие можно записать как $\lfloor N/10 \rfloor \ge 3$.

Разобьем решение на два этапа: сначала для двузначных чисел, затем для трёхзначных.

1. Двузначные числа

Для двузначного числа, которое можно записать как $\overline{AB}$, количество десятков равно его первой цифре $\text{A}$. Следовательно, условие выглядит как $A \ge 3$.

Из предложенных цифр {2, 6, 0, 3} этому условию удовлетворяют только 3 и 6.

• Если первая цифра $A = 3$, то для второй цифры $\text{B}$ остаются варианты {2, 6, 0}, так как цифры не должны повторяться. Это дает нам 3 числа: 30, 32, 36.

• Если первая цифра $A = 6$, то для второй цифры $\text{B}$ остаются варианты {2, 0, 3}. Это дает нам еще 3 числа: 60, 62, 63.

Итого, существует $3 + 3 = 6$ двузначных чисел, удовлетворяющих условиям.

2. Трёхзначные числа

Для трёхзначного числа $\overline{ABC}$ количество десятков составляет $10A + B$. Условие принимает вид $10A + B \ge 3$.

Первая цифра $\text{A}$ не может быть нулем. Возможные значения для $\text{A}$: 2, 3, 6.

• Если первая цифра $A = 2$, условие становится $10 \cdot 2 + B \ge 3$, или $20 + B \ge 3$. Это неравенство выполняется для любой цифры $\text{B}$, так как наименьшее значение $\text{B}$ равно 0. Значит, нам нужно найти все трёхзначные числа, начинающиеся с 2, с неповторяющимися цифрами. На второе место ($\text{B}$) можно выбрать любую из оставшихся 3-х цифр {0, 3, 6}, а на третье ($\text{C}$) — любую из 2-х оставшихся. Количество таких чисел: $1 \times 3 \times 2 = 6$.

• Если первая цифра $A = 3$, условие $10 \cdot 3 + B \ge 3$, или $30 + B \ge 3$, также выполняется всегда. По аналогии, количество таких чисел равно $1 \times 3 \times 2 = 6$.

• Если первая цифра $A = 6$, условие $10 \cdot 6 + B \ge 3$, или $60 + B \ge 3$, также выполняется всегда. Количество таких чисел равно $1 \times 3 \times 2 = 6$.

Итого, существует $6 + 6 + 6 = 18$ трёхзначных чисел, удовлетворяющих условиям.

Общее количество

Суммарное количество двузначных и трёхзначных чисел равно сумме найденных значений: $6 + 18 = 24$.

Ответ: 24.