Номер 5, страница 132, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник Дорофеев, Миракова

5. Какие свойства диагоналей прямоугольника ты знаешь?

Прямоугольник — это четырехугольник, у которого все углы прямые. Он является частным случаем параллелограмма, поэтому его диагонали обладают как общими свойствами диагоналей параллелограмма, так и своими уникальными.

1. Диагонали прямоугольника равны.

Это ключевое свойство, отличающее прямоугольник от многих других параллелограммов. Если у прямоугольника стороны равны $a$ и $b$, то длину любой из его диагоналей ($d$) можно найти по теореме Пифагора, так как диагональ является гипотенузой прямоугольного треугольника со катетами $a$ и $b$. Таким образом, $d^2 = a^2 + b^2$, или $d = \sqrt{a^2 + b^2}$. Поскольку обе диагонали являются гипотенузами равных прямоугольных треугольников, их длины равны.

2. Диагонали прямоугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Это свойство наследуется от параллелограмма. Если диагонали $AC$ и $BD$ прямоугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$, то эта точка является серединой для каждой из них. То есть, $AO = OC$ и $BO = OD$.

3. Точка пересечения диагоналей равноудалена от всех вершин.

Это свойство вытекает из двух предыдущих. Поскольку диагонали равны ($AC = BD$) и делятся точкой пересечения $O$ пополам, то все четыре отрезка, соединяющие точку $O$ с вершинами, равны между собой: $AO = OC = BO = OD$. Это означает, что точка пересечения диагоналей является центром окружности, описанной около прямоугольника.

4. Диагонали делят прямоугольник на четыре равнобедренных треугольника.

Так как отрезки от точки пересечения до вершин равны ($AO=BO=CO=DO$), то треугольники, образованные диагоналями и сторонами прямоугольника, являются равнобедренными. При этом треугольники, лежащие друг против друга, равны ($\triangle AOB \cong \triangle COD$ и $\triangle BOC \cong \triangle DOA$).

Ответ:
Основные свойства диагоналей прямоугольника:
1. Диагонали равны по длине.
2. Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
3. Точка пересечения диагоналей равноудалена от всех вершин и является центром описанной окружности.