Страница 132, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2 Дорофеев, Миракова

6. Вычисли значения выражений.

$712 \cdot 306 + 158314 : 26$

$800 \cdot 100 - 32490 : 57 + 10486 : 98$

$28 \cdot (80067 - 53296) + 6302$

$4428 : 123 - (32 \cdot 816 - 26000) : 14$

$290268 : 36 + 514 \cdot 407$

$(8032 - 595) : 37 \cdot 50 - 10000 : 40$

$(90705 - 48 \cdot 160) : 25 + 4986$

$(20655 : 85 + 757) \cdot (6370 : 182 - 29)$

712 · 306 + 158 314 : 26
Для решения этого выражения необходимо соблюдать порядок действий: сначала выполняются умножение и деление (слева направо), а затем сложение.
1) Выполним умножение: $712 \cdot 306 = 217\;872$.
2) Выполним деление: $158\;314 : 26 = 6\;089$.
3) Выполним сложение результатов: $217\;872 + 6\;089 = 223\;961$.
Ответ: 223 961

28 · (80 067 - 53 296) + 6 302
Порядок действий: сначала вычисления в скобках, затем умножение, затем сложение.
1) Выполним вычитание в скобках: $80\;067 - 53\;296 = 26\;771$.
2) Умножим результат на 28: $28 \cdot 26\;771 = 749\;588$.
3) Прибавим 6 302: $749\;588 + 6\;302 = 755\;890$.
Ответ: 755 890

290 268 : 36 + 514 · 407
Сначала выполняем деление и умножение (слева направо), затем сложение.
1) Выполним деление: $290\;268 : 36 = 8\;063$.
2) Выполним умножение: $514 \cdot 407 = 209\;298$.
3) Сложим полученные результаты: $8\;063 + 209\;298 = 217\;361$.
Ответ: 217 361

(90 705 - 48 · 160) : 25 + 4 986
Порядок действий: сначала умножение в скобках, затем вычитание в скобках, затем деление, и в конце сложение.
1) Выполним умножение в скобках: $48 \cdot 160 = 7\;680$.
2) Выполним вычитание в скобках: $90\;705 - 7\;680 = 83\;025$.
3) Разделим результат на 25: $83\;025 : 25 = 3\;321$.
4) Прибавим 4 986: $3\;321 + 4\;986 = 8\;307$.
Ответ: 8 307

800 · 100 - 32 490 : 57 + 10 486 : 98
Сначала выполняем умножение и деление (слева направо), затем вычитание и сложение (слева направо).
1) Выполним умножение: $800 \cdot 100 = 80\;000$.
2) Выполним первое деление: $32\;490 : 57 = 570$.
3) Выполним второе деление: $10\;486 : 98 = 107$.
4) Выполним вычитание и сложение: $80\;000 - 570 + 107 = 79\;430 + 107 = 79\;537$.
Ответ: 79 537

4 428 : 123 - (32 · 816 - 26 000) : 14
Порядок действий: сначала вычисления в скобках (умножение, затем вычитание), затем деление слева и деление справа, и в конце вычитание.
1) Умножение в скобках: $32 \cdot 816 = 26\;112$.
2) Вычитание в скобках: $26\;112 - 26\;000 = 112$.
3) Первое деление: $4\;428 : 123 = 36$.
4) Второе деление: $112 : 14 = 8$.
5) Вычитание: $36 - 8 = 28$.
Ответ: 28

(8 032 - 595) : 37 · 50 - 10 000 : 40
Порядок действий: вычитание в скобках, затем деление и умножение слева направо, затем деление справа, и в конце вычитание.
1) Вычитание в скобках: $8\;032 - 595 = 7\;437$.
2) Деление результата скобок: $7\;437 : 37 = 201$.
3) Умножение: $201 \cdot 50 = 10\;050$.
4) Деление: $10\;000 : 40 = 250$.
5) Вычитание: $10\;050 - 250 = 9\;800$.
Ответ: 9 800

(20 655 : 85 + 757) · (6 370 : 182 - 29)
Сначала выполняем действия в каждой паре скобок (сначала деление, потом сложение/вычитание), затем перемножаем результаты.
1) В первых скобках деление: $20\;655 : 85 = 243$.
2) В первых скобках сложение: $243 + 757 = 1\;000$.
3) Во вторых скобках деление: $6\;370 : 182 = 35$.
4) Во вторых скобках вычитание: $35 - 29 = 6$.
5) Умножаем результаты из скобок: $1\;000 \cdot 6 = 6\;000$.
Ответ: 6 000

1. В каждом многоугольнике на чертеже проведено по одной диагонали. Запиши обозначения этих диагоналей. Запиши обозначения диагоналей, которые ещё можно провести.

Для четырёхугольника A F K L:

Проведенная диагональ: $AK$

Диагональ, которую можно ещё провести: $FL$

Для пятиугольника B S D O E:

Проведенная диагональ: $BO$

Диагонали, которые можно ещё провести: $BD, SE, SO, DE$

Запиши обозначения этих диагоналей.

Диагональ — это отрезок, соединяющий две несоседние вершины многоугольника.
В первом многоугольнике (четырехугольнике AFKL) проведен отрезок, соединяющий несоседние вершины A и K. Обозначение этой диагонали: AK.
Во втором многоугольнике (пятиугольнике BEODS) проведен отрезок, соединяющий несоседние вершины B и O. Обозначение этой диагонали: BO.
Ответ: AK, BO.

Запиши обозначения диагоналей, которые ещё можно провести.

В четырехугольнике AFKL всего можно провести две диагонали. Одна диагональ (AK) уже проведена. Другая диагональ соединяет вторую пару несоседних вершин — F и L. Следовательно, можно провести диагональ FL.
В пятиугольнике BEODS общее число диагоналей можно найти по формуле $d = \frac{n(n-3)}{2}$, где $n$ — число вершин. Для пятиугольника ($n=5$) общее число диагоналей равно $d = \frac{5(5-3)}{2} = 5$. Одна диагональ (BO) уже проведена. Остальные диагонали, которые можно провести, соединяют другие пары несоседних вершин. Для пятиугольника S-D-O-E-B это диагонали: SO, SE, DE, DB.
Ответ: FL, SO, SE, DE, DB.

2. В четырёхугольнике MBCD проведена диагональ MC. Какую ещё диагональ можно провести в этом четырёхугольнике? Сколько всего диагоналей можно провести в четырёхугольнике?

Какую ещё диагональ можно провести в этом четырёхугольнике?
Диагональ — это отрезок, который соединяет две несоседние вершины многоугольника. В четырёхугольнике MBCD вершинами являются точки M, B, C и D. Вершина M является соседней для вершин B и D, но несоседней для вершины C. Аналогично, вершина B является несоседней для вершины D. Пары несоседних вершин в этом четырёхугольнике — это (M, C) и (B, D).
Поскольку диагональ MC, соединяющая вершины M и C, уже проведена, то можно провести еще одну диагональ, которая соединит другую пару несоседних вершин — B и D.
Ответ: BD.

Сколько всего диагоналей можно провести в четырёхугольнике?
В любом четырёхугольнике 4 вершины. Каждая вершина соединена сторонами с двумя соседними вершинами и может быть соединена диагональю только с одной, противоположной (несоседней) вершиной. Так как пар несоседних вершин в четырёхугольнике всего две (в нашем случае это M и C, а также B и D), то и диагоналей можно провести ровно две.
Количество диагоналей $D$ в многоугольнике с $n$ вершинами можно найти по формуле:
$D = \frac{n(n-3)}{2}$
Для четырёхугольника $n=4$, поэтому:
$D = \frac{4(4-3)}{2} = \frac{4 \cdot 1}{2} = 2$
Таким образом, в любом четырёхугольнике можно провести 2 диагонали.
Ответ: 2.

3. Сколько диагоналей можно провести в пятиугольнике? Выполни чертёж.
Какую фигуру образуют эти диагонали?

Сколько диагоналей можно провести в пятиугольнике?
Диагональ — это отрезок, который соединяет две несоседние вершины многоугольника. У пятиугольника 5 вершин. Из каждой вершины можно провести диагонали к $5 - 3 = 2$ другим вершинам (нельзя провести диагональ к самой вершине и к двум соседним).
Если умножить количество вершин (5) на количество диагоналей, выходящих из каждой вершины (2), получим $5 \times 2 = 10$.
При таком способе подсчёта каждая диагональ учитывается дважды (например, диагональ из вершины А в С и из С в А — это одна и та же диагональ). Поэтому результат нужно разделить на 2:
$10 \div 2 = 5$
Также можно воспользоваться общей формулой для нахождения количества диагоналей $D$ в $n$-угольнике:
$D = \frac{n(n-3)}{2}$
Для пятиугольника, где $n=5$:
$D = \frac{5(5-3)}{2} = \frac{5 \times 2}{2} = 5$
Ответ: В пятиугольнике можно провести 5 диагоналей.

Выполни чертёж.
На чертеже показан пятиугольник и все 5 его диагоналей, проведённых синим цветом.

Ответ: Чертёж выполнен.

Какую фигуру образуют эти диагонали?
Проведённые диагонали пересекаются внутри пятиугольника и образуют фигуру "пятиконечная звезда" (также известную как пентаграмма). В самом центре, в области пересечения диагоналей, образуется новый, меньший по размеру пятиугольник.
Ответ: Диагонали в пятиугольнике образуют пятиконечную звезду (пентаграмму).

4. Как называется четырёхугольник, диагонали которого равны и точкой пересечения делятся пополам?

Для определения вида четырёхугольника проанализируем его свойства, указанные в условии.

1. Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
Это свойство является одним из основных признаков параллелограмма. Если в выпуклом четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырёхугольник является параллелограммом.

2. Диагонали равны.
Теперь добавим к нашему параллелограмму второе условие: его диагонали должны быть равны. Это является отличительным свойством прямоугольника.

Доказательство:
Рассмотрим параллелограмм $ABCD$, у которого диагонали $AC$ и $BD$ равны ($AC = BD$).

Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle DCA$. У них:
- Сторона $AD$ — общая.
- Стороны $AB$ и $DC$ равны, так как они являются противолежащими сторонами параллелограмма ($AB = DC$).
- Диагонали $BD$ и $AC$ равны по условию ($BD = AC$).

Следовательно, треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle DCA$ равны по трём сторонам (третий признак равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует и равенство их соответствующих углов, а именно $\angle BAD = \angle CDA$.
В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Поэтому $\angle BAD + \angle CDA = 180^\circ$.
Поскольку эти углы равны, то каждый из них равен $180^\circ / 2 = 90^\circ$.

Параллелограмм, у которого все углы прямые, называется прямоугольником.

Ответ: Прямоугольник.

5. Какие свойства диагоналей прямоугольника ты знаешь?

Прямоугольник — это четырехугольник, у которого все углы прямые. Он является частным случаем параллелограмма, поэтому его диагонали обладают как общими свойствами диагоналей параллелограмма, так и своими уникальными.

1. Диагонали прямоугольника равны.

Это ключевое свойство, отличающее прямоугольник от многих других параллелограммов. Если у прямоугольника стороны равны $a$ и $b$, то длину любой из его диагоналей ($d$) можно найти по теореме Пифагора, так как диагональ является гипотенузой прямоугольного треугольника со катетами $a$ и $b$. Таким образом, $d^2 = a^2 + b^2$, или $d = \sqrt{a^2 + b^2}$. Поскольку обе диагонали являются гипотенузами равных прямоугольных треугольников, их длины равны.

2. Диагонали прямоугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Это свойство наследуется от параллелограмма. Если диагонали $AC$ и $BD$ прямоугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$, то эта точка является серединой для каждой из них. То есть, $AO = OC$ и $BO = OD$.

3. Точка пересечения диагоналей равноудалена от всех вершин.

Это свойство вытекает из двух предыдущих. Поскольку диагонали равны ($AC = BD$) и делятся точкой пересечения $O$ пополам, то все четыре отрезка, соединяющие точку $O$ с вершинами, равны между собой: $AO = OC = BO = OD$. Это означает, что точка пересечения диагоналей является центром окружности, описанной около прямоугольника.

4. Диагонали делят прямоугольник на четыре равнобедренных треугольника.

Так как отрезки от точки пересечения до вершин равны ($AO=BO=CO=DO$), то треугольники, образованные диагоналями и сторонами прямоугольника, являются равнобедренными. При этом треугольники, лежащие друг против друга, равны ($\triangle AOB \cong \triangle COD$ и $\triangle BOC \cong \triangle DOA$).

Ответ:
Основные свойства диагоналей прямоугольника:
1. Диагонали равны по длине.
2. Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
3. Точка пересечения диагоналей равноудалена от всех вершин и является центром описанной окружности.

6. Попробуй определить на глаз, какой из данных углов на чертеже является острым; прямым; тупым. Проверь свою догадку с помощью чертёжного угольника.

Чтобы определить вид каждого угла, сначала оценим их визуально, а затем проверим догадку с помощью чертёжного угольника. Прямой угол угольника равен $90^\circ$. Угол, который меньше $90^\circ$, называется острым. Угол, который больше $90^\circ$, называется тупым. Угол, равный $90^\circ$, называется прямым.

1

Визуальная оценка: Угол 1 выглядит шире, чем прямой угол. Вероятно, это тупой угол.
Проверка угольником: Приложим вершину прямого угла чертёжного угольника к вершине угла 1 и совместим одну из его сторон со стороной угла. Вторая сторона угла 1 окажется снаружи от второй стороны угольника. Это подтверждает, что угол 1 больше, чем $90^\circ$.
Ответ: тупой.

2

Визуальная оценка: Угол 2 выглядит заметно уже, чем прямой угол. Скорее всего, это острый угол.
Проверка угольником: Приложим угольник к углу 2 так же, как и в предыдущем случае. Вторая сторона угла 2 окажется внутри прямого угла угольника. Это означает, что угол 2 меньше, чем $90^\circ$.
Ответ: острый.

3

Визуальная оценка: Угол 3 очень похож на прямой угол, как угол в квадрате или у листа бумаги.
Проверка угольником: Приложим угольник к углу 3. Мы увидим, что обе стороны угла 3 полностью совпадают со сторонами прямого угла на угольнике. Это означает, что угол 3 в точности равен $90^\circ$.
Ответ: прямой.