Страница 57, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2 Дорофеев, Миракова

1 Сравни.

5 м 50 см

3 дм$^2$ 300 см$^2$

8 ч 500 мин

2 дм 20 м

7 дм$^2$ 70 см$^2$

240 мин 4 ч

5 м ... 50 см

2 Билет для проезда в городском автобусе стоит 23 р. Руководителю группы надо купить 20 билетов для экскурсантов. Сколько сдачи получит руководитель с 500 р.?

Чтобы определить, сколько сдачи получит руководитель, необходимо выполнить два действия: сначала рассчитать общую стоимость всех билетов, а затем вычесть эту сумму из 500 рублей.

1. Найдем общую стоимость 20 билетов.
Для этого умножим стоимость одного билета (23 р.) на количество билетов (20):
$23 \times 20 = 460$ (рублей).
Таким образом, общая стоимость 20 билетов составляет 460 рублей.

2. Рассчитаем сдачу.
У руководителя было 500 рублей. Вычтем из этой суммы общую стоимость билетов, чтобы найти сдачу:
$500 - 460 = 40$ (рублей).

Ответ: руководитель получит 40 рублей сдачи.

3 Выполни вычисления удобным способом.

$654 - (289 + 354)$ $128 \cdot 3 + 172 \cdot 3$ $796 : 4 - 596 : 4$

$728 - (453 - 153)$ $5 \cdot 178 - 5 \cdot 108$ $459 : 3 + 141 : 3$

654 – (289 + 354)

Для удобства вычислений раскроем скобки, используя правило вычитания суммы из числа: $a - (b + c) = a - b - c$. Затем сгруппируем числа так, чтобы вычисления были проще.

$654 - (289 + 354) = 654 - 289 - 354 = (654 - 354) - 289$

$654 - 354 = 300$

$300 - 289 = 11$

Ответ: 11

728 – (453 – 153)

В этом примере удобнее сначала выполнить действие в скобках, так как числа легко вычитаются друг из друга.

$453 - 153 = 300$

Теперь выполним основное вычитание:

$728 - 300 = 428$

Ответ: 428

128 · 3 + 172 · 3

Воспользуемся распределительным свойством умножения относительно сложения ($a \cdot c + b \cdot c = (a + b) \cdot c$) и вынесем общий множитель 3 за скобки.

$128 \cdot 3 + 172 \cdot 3 = (128 + 172) \cdot 3$

Сначала выполним сложение в скобках:

$128 + 172 = 300$

Затем выполним умножение:

$300 \cdot 3 = 900$

Ответ: 900

5 · 178 – 5 · 108

Воспользуемся распределительным свойством умножения относительно вычитания ($a \cdot c - b \cdot c = (a - b) \cdot c$) и вынесем общий множитель 5 за скобки.

$5 \cdot 178 - 5 \cdot 108 = 5 \cdot (178 - 108)$

Сначала выполним вычитание в скобках:

$178 - 108 = 70$

Затем выполним умножение:

$5 \cdot 70 = 350$

Ответ: 350

796 : 4 – 596 : 4

Используем свойство деления разности на число ($(a - b) : c = a : c - b : c$), применив его в обратном порядке.

$796 : 4 - 596 : 4 = (796 - 596) : 4$

Сначала выполним вычитание в скобках:

$796 - 596 = 200$

Затем выполним деление:

$200 : 4 = 50$

Ответ: 50

459 : 3 + 141 : 3

Используем свойство деления суммы на число ($(a + b) : c = a : c + b : c$), применив его в обратном порядке.

$459 : 3 + 141 : 3 = (459 + 141) : 3$

Сначала выполним сложение в скобках:

$459 + 141 = 600$

Затем выполним деление:

$600 : 3 = 200$

Ответ: 200

4 Один насос работал 4 ч, выкачивая 158 вёдер воды в час, а другой — 3 ч, выкачивая 169 вёдер воды в час. Какой из насосов выкачал больше воды и на сколько вёдер?

Для того чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо сначала вычислить, какой общий объем воды выкачал каждый насос, а затем сравнить полученные значения.

1. Расчет объема воды для первого насоса

Первый насос работал 4 часа с производительностью 158 вёдер в час. Чтобы найти общий объем, необходимо умножить время работы на производительность:

$4 \text{ ч} \times 158 \text{ вёдер/час} = 632 \text{ ведра}$

Таким образом, первый насос выкачал 632 ведра воды.

2. Расчет объема воды для второго насоса

Второй насос работал 3 часа с производительностью 169 вёдер в час. Вычислим общий объем для него:

$3 \text{ ч} \times 169 \text{ вёдер/час} = 507 \text{ вёдер}$

Таким образом, второй насос выкачал 507 вёдер воды.

3. Сравнение и нахождение разницы

Теперь сравним объемы воды, выкачанные обоими насосами:

$632 \text{ ведра} > 507 \text{ вёдер}$

Сравнение показывает, что первый насос выкачал больше воды. Чтобы найти, на сколько именно больше, вычтем из большего объема меньший:

$632 - 507 = 125 \text{ вёдер}$

Ответ: Первый насос выкачал на 125 вёдер воды больше, чем второй.

5 На 40 лошадей отпускают в день 320 кг сена, на всех поровну. Сколько сена надо выдать в день одной корове, если на трёх лошадей отпускают столько же килограммов сена, сколько и на двух коров?

Для решения задачи необходимо выполнить несколько шагов:

1. Найдём, сколько килограммов сена в день получает одна лошадь.
Известно, что на 40 лошадей отпускают 320 кг сена, причём на всех поровну. Чтобы узнать норму для одной лошади, нужно общее количество сена разделить на количество лошадей:
$320 \div 40 = 8$ (кг)
Таким образом, одна лошадь получает 8 кг сена в день.

2. Узнаем, сколько сена в день получают три лошади.
Зная норму для одной лошади, мы можем рассчитать, сколько сена нужно трём лошадям:
$8 \times 3 = 24$ (кг)

3. Найдём, сколько сена в день нужно выдать одной корове.
По условию задачи, на трёх лошадей отпускают столько же сена, сколько и на двух коров. Это значит, что две коровы получают 24 кг сена в день.
Чтобы найти норму для одной коровы, нужно это количество разделить на 2:
$24 \div 2 = 12$ (кг)

Ответ: в день одной корове надо выдать 12 кг сена.

6 Начерти квадрат MNPK, длина стороны которого равна 3 см. Раздели его по линиям клеток на 9 равных частей. Найди площадь одной такой части.

Для решения этой задачи необходимо выполнить несколько шагов. Сначала найдем общую площадь всего квадрата MNPK, а затем, зная, что его разделили на 9 равных частей, найдем площадь одной такой части.

1. Нахождение площади квадрата MNPK.

Длина стороны квадрата $a$ равна 3 см. Площадь квадрата ($S$) вычисляется по формуле:

$S = a \times a = a^2$

Подставим в формулу значение длины стороны:

$S_{MNPK} = 3 \text{ см} \times 3 \text{ см} = 9 \text{ см}^2$

Таким образом, общая площадь квадрата MNPK составляет 9 квадратных сантиметров.

2. Нахождение площади одной части.

Квадрат разделен на 9 равных частей. Чтобы найти площадь одной части, нужно общую площадь квадрата разделить на количество частей:

$S_{части} = S_{MNPK} \div 9$

$S_{части} = 9 \text{ см}^2 \div 9 = 1 \text{ см}^2$

Каждая из 9 равных частей является квадратом со стороной 1 см, так как сторона исходного квадрата (3 см) делится на 3 равных отрезка. Площадь такого маленького квадрата также равна $1 \text{ см} \times 1 \text{ см} = 1 \text{ см}^2$, что подтверждает правильность вычислений.

Ответ: $1 \text{ см}^2$.

$700 - 50 \cdot 4 + 180$ $830 - 75 : 3 \cdot 4 - 50$ $136 \cdot 5$

$500 + 240 : 6 - 200$ $200 - 60 \cdot 8 : 3 + 300$ $680 : 2$

700 - 50 · 4 + 180

Для решения этого выражения необходимо соблюдать порядок действий: сначала выполняем умножение, а затем вычитание и сложение слева направо.

1. Умножение: $50 \cdot 4 = 200$

2. Вычитание: $700 - 200 = 500$

3. Сложение: $500 + 180 = 680$

$700 - 50 \cdot 4 + 180 = 700 - 200 + 180 = 500 + 180 = 680$

Ответ: 680

830 - 75 : 3 · 4 - 50

Здесь порядок действий следующий: сначала деление и умножение слева направо, затем вычитание слева направо.

1. Деление: $75 : 3 = 25$

2. Умножение: $25 \cdot 4 = 100$

3. Первое вычитание: $830 - 100 = 730$

4. Второе вычитание: $730 - 50 = 680$

$830 - 75 : 3 \cdot 4 - 50 = 830 - 25 \cdot 4 - 50 = 830 - 100 - 50 = 680$

Ответ: 680

Сравнение значений выражений первой строки:

Значение первого выражения равно 680, значение второго выражения также равно 680.
$680 = 680$, следовательно, $700 - 50 \cdot 4 + 180 = 830 - 75 : 3 \cdot 4 - 50$.

500 + 240 : 6 - 200

Сначала выполняем деление, затем сложение и вычитание слева направо.

1. Деление: $240 : 6 = 40$

2. Сложение: $500 + 40 = 540$

3. Вычитание: $540 - 200 = 340$

$500 + 240 : 6 - 200 = 500 + 40 - 200 = 540 - 200 = 340$

Ответ: 340

200 - 60 · 8 : 3 + 300

Сначала выполняем умножение и деление слева направо, а затем вычитание и сложение слева направо.

1. Умножение: $60 \cdot 8 = 480$

2. Деление: $480 : 3 = 160$

3. Вычитание: $200 - 160 = 40$

4. Сложение: $40 + 300 = 340$

$200 - 60 \cdot 8 : 3 + 300 = 200 - 480 : 3 + 300 = 200 - 160 + 300 = 340$

Ответ: 340

Сравнение значений выражений второй строки:

Значение первого выражения равно 340, значение второго выражения также равно 340.
$340 = 340$, следовательно, $500 + 240 : 6 - 200 = 200 - 60 \cdot 8 : 3 + 300$.

136 · 5

Выполняем умножение.

$136 \cdot 5 = 680$

Ответ: 680

680 : 2

Выполняем деление.

$680 : 2 = 340$

Ответ: 340

Сравнение значений выражений третьей строки:

Значение первого выражения равно 680, а второго — 340.
$680 > 340$, следовательно, $136 \cdot 5 > 680 : 2$.

8 В магазин привезли 6 кусков сливочного масла, по 24 кг в куске, и столько же по массе шоколадного масла в восьми кусках. Найди массу одного куска шоколадного масла.

1. Находим общую массу сливочного масла.

В магазин привезли 6 кусков сливочного масла, масса каждого из которых составляет 24 кг. Чтобы найти общую массу, необходимо количество кусков умножить на массу одного куска:

$6 \times 24 = 144$ (кг)

Следовательно, общая масса сливочного масла равна 144 кг.

2. Находим массу одного куска шоколадного масла.

По условию задачи, общая масса шоколадного масла такая же, как и общая масса сливочного, то есть 144 кг. Это масло было расфасовано в 8 кусков. Чтобы найти массу одного куска шоколадного масла, нужно общую массу разделить на количество кусков:

$144 / 8 = 18$ (кг)

Ответ: 18 кг.

9 Начерти отрезок $AB$ длиной $9$ см. Поставь на нём точки $C$ и $D$ так, чтобы отрезок $AC$ был в $2$ раза короче отрезка $CD$, а отрезок $DB$ — в $3$ раза длиннее отрезка $CD$.

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть длина отрезка CD равна $x$ см. Исходя из условий задачи, выразим длины остальных отрезков через $x$.

1. Отрезок AC в 2 раза короче отрезка CD. Следовательно, его длина составляет:

$AC = \frac{CD}{2} = \frac{x}{2}$ см.

2. Отрезок DB в 3 раза длиннее отрезка CD. Следовательно, его длина составляет:

$DB = 3 \cdot CD = 3x$ см.

Точки C и D лежат на отрезке AB, поэтому общая длина отрезка AB равна сумме длин его частей: AC, CD и DB.

$AB = AC + CD + DB$

По условию, длина отрезка AB равна 9 см. Подставим в уравнение известные нам значения и выражения:

$9 = \frac{x}{2} + x + 3x$

Теперь решим полученное уравнение. Для удобства сложения приведем все слагаемые к общему знаменателю 2:

$9 = \frac{1}{2}x + \frac{2}{2}x + \frac{6}{2}x$

Сложим коэффициенты при $x$:

$9 = (\frac{1+2+6}{2})x$

$9 = \frac{9}{2}x$

Чтобы найти $x$, нужно 9 разделить на $\frac{9}{2}$ (или умножить на $\frac{2}{9}$):

$x = 9 \cdot \frac{2}{9} = 2$

Мы нашли, что длина отрезка CD равна 2 см.

Теперь можем найти длины двух других отрезков:

• Длина отрезка AC: $AC = \frac{x}{2} = \frac{2}{2} = 1$ см.
• Длина отрезка DB: $DB = 3x = 3 \cdot 2 = 6$ см.

Чтобы выполнить построение, нужно начертить отрезок AB длиной 9 см, затем от точки A отложить 1 см и поставить точку C. После этого от точки C отложить 2 см и поставить точку D. Оставшийся отрезок DB будет иметь длину 6 см.

Проверка: $AC + CD + DB = 1 + 2 + 6 = 9$ см. Это соответствует длине отрезка AB.

Ответ: Чтобы выполнить условие задачи, нужно на отрезке AB длиной 9 см поставить точку C на расстоянии 1 см от точки A, а точку D — на расстоянии 2 см от точки C (или 3 см от точки А). Длины получившихся отрезков будут: AC = 1 см, CD = 2 см, DB = 6 см.

4 Самый короткий день в году — 22 декабря. В этот день солнце восходит в Москве в 8 ч 28 мин, а заходит в 15 ч 29 мин. Сколько времени продолжается в Москве самый короткий день?

Чтобы найти продолжительность самого короткого дня, необходимо из времени захода солнца вычесть время восхода.

Время захода солнца: 15 ч 29 мин.
Время восхода солнца: 8 ч 28 мин.

Произведем вычитание. Сначала вычтем минуты, затем часы:
$15 \text{ ч } 29 \text{ мин} - 8 \text{ ч } 28 \text{ мин} = (15-8) \text{ ч } (29-28) \text{ мин} = 7 \text{ ч } 1 \text{ мин}$.

Таким образом, самый короткий день в Москве продолжается 7 часов 1 минуту.

Ответ: 7 ч 1 мин.

5 Запиши выражения и вычисли их значения.

1) К произведению чисел $2743 \times 8$ прибавить произведение чисел $10624 \times 5$.

2) Из произведения чисел $46028 \times 6$ вычесть произведение чисел $27401 \times 4$.

3) Произведение чисел $5376 \times 9$ увеличить на $14009$.

4) Произведение чисел $30582 \times 9$ уменьшить на $9706$.

1) К произведению чисел 2 743 и 8 прибавить произведение чисел 10 624 и 5.

Сначала запишем выражение. "Произведение чисел 2 743 и 8" записывается как $2743 \cdot 8$. "Произведение чисел 10 624 и 5" записывается как $10624 \cdot 5$. Нужно сложить эти два произведения.

Выражение: $2743 \cdot 8 + 10624 \cdot 5$.

Теперь вычислим его значение, соблюдая порядок действий (сначала умножение, потом сложение):

1. Найдем первое произведение: $2743 \cdot 8 = 21944$.

2. Найдем второе произведение: $10624 \cdot 5 = 53120$.

3. Сложим полученные результаты: $21944 + 53120 = 75064$.

Ответ: $75064$.

2) Из произведения чисел 46 028 и 6 вычесть произведение чисел 27 401 и 4.

Запишем выражение. "Произведение чисел 46 028 и 6" — это $46028 \cdot 6$. "Произведение чисел 27 401 и 4" — это $27401 \cdot 4$. Нужно из первого произведения вычесть второе.

Выражение: $46028 \cdot 6 - 27401 \cdot 4$.

Вычислим значение по действиям:

1. Первое произведение: $46028 \cdot 6 = 276168$.

2. Второе произведение: $27401 \cdot 4 = 109604$.

3. Вычтем из первого результата второй: $276168 - 109604 = 166564$.

Ответ: $166564$.

3) Произведение чисел 5 376 и 9 увеличить на 14 009.

Запишем выражение. "Произведение чисел 5 376 и 9" — это $5376 \cdot 9$. "Увеличить на 14 009" означает прибавить это число.

Выражение: $5376 \cdot 9 + 14009$.

Вычислим значение по действиям:

1. Найдем произведение: $5376 \cdot 9 = 48384$.

2. Увеличим результат на 14 009: $48384 + 14009 = 62393$.

Ответ: $62393$.

4) Произведение чисел 30 582 и 9 уменьшить на 9 706.

Запишем выражение. "Произведение чисел 30 582 и 9" — это $30582 \cdot 9$. "Уменьшить на 9 706" означает вычесть это число.

Выражение: $30582 \cdot 9 - 9706$.

Вычислим значение по действиям:

1. Найдем произведение: $30582 \cdot 9 = 275238$.

2. Уменьшим результат на 9 706: $275238 - 9706 = 265532$.

Ответ: $265532$.

6 Из двенадцати одинаковых кубиков с ребром длиной 5 см сложили фигуру в форме прямоугольного параллелепипеда, как показано на рисунке.

Эту фигуру покрасили со всех сторон синей краской. Какую площадь покрасили?

Для того чтобы определить, какую площадь покрасили, необходимо найти площадь полной поверхности получившейся фигуры. Фигура представляет собой прямоугольный параллелепипед, сложенный из 12 кубиков.

1. Определим размеры параллелепипеда.
Из рисунка видно, что фигура имеет следующие размеры в кубиках:
- Длина: 3 кубика
- Ширина: 2 кубика
- Высота: 2 кубика
Ребро каждого кубика равно 5 см. Следовательно, размеры параллелепипеда в сантиметрах равны:
- Длина $a = 3 \times 5 = 15$ см
- Ширина $b = 2 \times 5 = 10$ см
- Высота $c = 2 \times 5 = 10$ см

2. Вычислим площадь поверхности параллелепипеда.
Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:
$S = 2 \times (ab + ac + bc)$
Подставим значения размеров в формулу:
$S = 2 \times (15 \times 10 + 15 \times 10 + 10 \times 10)$
$S = 2 \times (150 + 150 + 100)$
$S = 2 \times 400$
$S = 800$ см²

Таким образом, общая площадь, которую покрасили, составляет 800 см².
Ответ: 800 см².

7 Один каменщик уложил за день 2 350 кирпичей, а другой — на 147 кирпичей больше. Сколько кирпичей эти каменщики могут уложить вдвоём за 5 дней, укладывая в день такое же количество кирпичей?

Для того чтобы решить задачу, необходимо выполнить несколько шагов:

1. Узнаем, сколько кирпичей уложил за день второй каменщик.

По условию, первый каменщик уложил 2350 кирпичей, а второй — на 147 кирпичей больше. Следовательно, чтобы найти количество кирпичей, уложенных вторым каменщиком, нужно сложить эти два числа:

$2350 + 147 = 2497$ (кирпичей)

Таким образом, второй каменщик уложил за день 2497 кирпичей.

2. Узнаем, сколько кирпичей уложили оба каменщика вместе за один день.

Для этого сложим количество кирпичей, которое уложил каждый из них за день:

$2350 + 2497 = 4847$ (кирпичей)

Вместе за один день они укладывают 4847 кирпичей.

3. Узнаем, сколько кирпичей они уложат вдвоём за 5 дней.

Поскольку каждый день они укладывают одинаковое количество кирпичей, нужно их общую дневную выработку умножить на 5 дней:

$4847 \times 5 = 24235$ (кирпичей)

Задачу можно также решить одним выражением:

$(2350 + (2350 + 147)) \times 5 = 24235$ (кирпичей)

Ответ: 24235 кирпичей.

8 За день на почте отправили 216 писем. Из них три четверти составили обычные письма, а остальные — заказные. Сколько было заказных писем?

Для решения этой задачи можно использовать два способа.

Способ 1

1. Сначала найдем количество обычных писем. Они составляют три четверти от общего числа писем, которое равно $216$.

Чтобы найти $\frac{3}{4}$ от $216$, нужно разделить общее количество на $4$ и умножить на $3$.

$216 \div 4 = 54$ (письма) — составляет одна четвертая часть всех писем.

$54 \times 3 = 162$ (письма) — это количество обычных писем.

2. Теперь, чтобы найти количество заказных писем, нужно из общего количества писем вычесть количество обычных писем.

$216 - 162 = 54$ (письма).

Ответ: 54 заказных письма.

Способ 2

1. Сначала определим, какую долю от всех писем составляют заказные письма.

Если все письма принять за единицу ($1$), а обычные письма составляют $\frac{3}{4}$ от этого количества, то доля заказных писем будет:

$1 - \frac{3}{4} = \frac{4}{4} - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$

Таким образом, заказные письма составляют одну четверть от всех отправленных писем.

2. Теперь найдем количество заказных писем, вычислив $\frac{1}{4}$ от общего числа писем, равного $216$.

$216 \div 4 = 54$ (письма).

Ответ: 54 заказных письма.

9 Вычисли площадь прямоугольника с периметром 120 дм, ширина которого составляет $1\frac{1}{10}$ периметра. Какую часть длины этого прямоугольника составляет его ширина?

Вычисли площадь прямоугольника

1. Сначала найдем ширину прямоугольника. По условию задачи, она составляет $\frac{1}{10}$ от периметра. Периметр $P = 120$ дм.

Ширина $w = \frac{1}{10} \cdot P = \frac{1}{10} \cdot 120 = 12$ дм.

2. Теперь найдем длину прямоугольника. Формула периметра: $P = 2 \cdot (l + w)$, где $l$ - длина, а $w$ - ширина. Сумма длины и ширины (полупериметр) составляет:

$l + w = \frac{P}{2} = \frac{120}{2} = 60$ дм.

Зная ширину, можем вычислить длину:

$l = 60 - w = 60 - 12 = 48$ дм.

3. Наконец, вычислим площадь прямоугольника ($S$) по формуле $S = l \cdot w$:

$S = 48 \cdot 12 = 576$ дм².

Ответ: 576 дм².

Какую часть длины этого прямоугольника составляет его ширина?

Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо найти отношение ширины ($w$) к длине ($l$).

$w = 12$ дм.
$l = 48$ дм.

Составим дробь и сократим её:

$\frac{w}{l} = \frac{12}{48} = \frac{12 \div 12}{48 \div 12} = \frac{1}{4}$

Ответ: ширина составляет $\frac{1}{4}$ часть длины.

10 Задумали число. При делении его на 25 получился остаток 10. Число увеличили в 2 раза. Какой теперь получится остаток при делении его на 25?

Обозначим задуманное число через $x$. По условию задачи, при делении этого числа на 25 в остатке получается 10. Это можно записать с помощью формулы деления с остатком:

$x = 25 \cdot k + 10$

где $k$ — это неполное частное (любое целое неотрицательное число).

Далее, задуманное число увеличили в 2 раза. Новое число будет равно $2x$. Подставим в это выражение нашу формулу для $x$:

$2x = 2 \cdot (25 \cdot k + 10)$

Раскроем скобки, умножив каждый член в скобках на 2:

$2x = 2 \cdot 25k + 2 \cdot 10$

$2x = 50k + 20$

Теперь нам нужно найти остаток от деления полученного числа $2x$ на 25. Рассмотрим выражение $50k + 20$.

Слагаемое $50k$ делится на 25 без остатка, поскольку $50 = 2 \cdot 25$. Таким образом, мы можем переписать это слагаемое как:

$50k = 25 \cdot (2k)$

Подставим это обратно в выражение для $2x$:

$2x = 25 \cdot (2k) + 20$

Полученное выражение имеет вид $a = b \cdot q + r$, где $a$ — делимое ($2x$), $b$ — делитель (25), $q$ — частное ($2k$), а $r$ — остаток (20). Так как остаток $r=20$ меньше делителя $b=25$, то это и есть искомый остаток.

Ответ: 20