Ребус на полях, страница 16, часть 1 - гдз по математике 4 класс учебник Моро, Бантова

Умножение и деление. Числа от 1 до 1000. ч. 1 - страница 16.

РЕБУСЫ:

Ход рассуждений:

Чтобы в произведении на месте единиц был 0, надо любое число умножить на 0. Но второй множитель не может быть нулём, так как и произведение было бы ноль. Поэтому 0 мы пишем в разряде единиц в первом множителе. Произведение второго множителя и десятков в первом множителе должно быть 8. Значит на этих местах надо записать 4 и 2 (4 ∙ 2 = 8 или 4 ∙ 2 = 8). Далее умножаем 1 сотню первого множителя на второй множитель и записываем получившуюся цифру в произведение в разряд сотен.

Второй вариант ответа:

Данный ребус представляет собой задачу на умножение столбиком, где некоторые цифры заменены на звёздочки. Расшифруем его шаг за шагом.

Запишем пример в алгебраическом виде. Трёхзначное число, начинающееся на 1, обозначим как $1AB$, а двузначный множитель — как $CD$. Первая строчка результата, которая видна в ребусе, — это первый частичный продукт умножения $1AB$ на последнюю цифру множителя $D$. Этот продукт равен $*80$, обозначим его как $E80$.

Таким образом, наша задача разбивается на несколько этапов:

1. Найти числа $1AB$, $D$ и $E$ из уравнения $1AB \times D = E80$.
2. Найти цифру $C$ и восстановить весь пример целиком.

1. Нахождение первого частичного произведения

Нам нужно решить уравнение в цифрах: $$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c} & 1 & A & B \\ \times & & & D \\ \hline E & 8 & 0 \\ \end{array} $$

Для решения подобных ребусов часто предполагается, что все зашифрованные цифры (включая те, что уже даны) различны. В нашем случае это означает, что цифры, скрытые за звёздочками $A, B, D, E$, должны быть уникальны и не должны равняться уже известным цифрам $1, 8, 0$.

Таким образом, для $A, B, D, E$ мы можем использовать только цифры из множества $\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 9\}$.

• Анализ последней цифры: Произведение $1AB \times D$ оканчивается на 0. Это означает, что произведение последних цифр $B \times D$ также должно оканчиваться на 0. Возможные пары $(B, D)$ из нашего доступного множества $\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 9\}$:
  • $D=5$, тогда $B$ должно быть чётным: $B \in \{2, 4, 6\}$.
  • $B=5$, тогда $D$ должно быть чётным: $D \in \{2, 4, 6\}$.
• Анализ предпоследней цифры: Предпоследняя цифра результата (цифра десятков) равна 8. Она формируется из последней цифры произведения $A \times D$ с добавлением переноса из разряда единиц (от произведения $B \times D$). Обозначим перенос как $k_1$. Тогда $(A \times D + k_1) \pmod{10} = 8$.

Давайте переберём возможные варианты:

Случай 1: $D = 5$.

• Если $B=2$, то $B \times D = 2 \times 5 = 10$. Перенос $k_1=1$. Условие для десятков: $(A \times 5 + 1) \pmod{10} = 8$. Это значит, что $A \times 5$ должно оканчиваться на 7, что невозможно.
• Если $B=4$, то $B \times D = 4 \times 5 = 20$. Перенос $k_1=2$. Условие для десятков: $(A \times 5 + 2) \pmod{10} = 8$. Это значит, что $A \times 5$ должно оканчиваться на 6, что невозможно.
• Если $B=6$, то $B \times D = 6 \times 5 = 30$. Перенос $k_1=3$. Условие для десятков: $(A \times 5 + 3) \pmod{10} = 8$. Это значит, что $A \times 5$ должно оканчиваться на 5, что возможно, если $A$ — нечётная цифра. $A \in \{3, 7, 9\}$ (так как 1 и 5 уже заняты или будут заняты). Проверим эти $A$:
  • $A=3$: $136 \times 5 = 680$. Цифры $A,B,D,E$ это $\{3,6,5,6\}$. Цифра 6 повторяется. Не подходит.
  • $A=7$: $176 \times 5 = 880$. Цифра $E=8$, но 8 уже есть в условии. Не подходит.
  • $A=9$: $196 \times 5 = 980$. Цифры $A,B,D,E$ это $\{9,6,5,9\}$. Цифра 9 повторяется. Не подходит.

Случай 2: $B = 5$.

• Если $D=2$, то $B \times D = 5 \times 2 = 10$. Перенос $k_1=1$. Условие для десятков: $(A \times 2 + 1) \pmod{10} = 8$. Значит, $A \times 2$ должно оканчиваться на 7, что невозможно.
• Если $D=4$, то $B \times D = 5 \times 4 = 20$. Перенос $k_1=2$. Условие для десятков: $(A \times 4 + 2) \pmod{10} = 8$. Значит, $A \times 4$ должно оканчиваться на 6. Это возможно, если $A=4$ или $A=9$.
  • $A=4$: $D$ уже равно 4. Цифры не уникальны. Не подходит.
  • $A=9$: $195 \times 4$. Проверим: $195 \times 4 = 780$. Здесь $A=9, B=5, D=4, E=7$. Все эти цифры $\{9, 5, 4, 7\}$ уникальны и не входят в множество данных цифр $\{1, 8, 0\}$. Этот вариант нам подходит.
• Если $D=6$, то $B \times D = 5 \times 6 = 30$. Перенос $k_1=3$. Условие для десятков: $(A \times 6 + 3) \pmod{10} = 8$. Значит, $A \times 6$ должно оканчиваться на 5, что невозможно.

Таким образом, единственное решение, удовлетворяющее условию уникальности цифр, это $195 \times 4 = 780$.

Отсюда мы нашли:

• Множимое: 195
• Последняя цифра множителя: 4
• Первое частичное произведение: 780

2. Восстановление полного примера

Теперь мы знаем, что пример выглядит так:

$$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c} & & 1 & 9 & 5 \\ \times & & C & 4 \\ \hline & 7 & 8 & 0 \\ \multicolumn{4}{@{}l}{\dots} \\ \end{array} $$

Нам осталось найти цифру $C$. Она должна быть отлична от всех уже использованных цифр: $\{1, 9, 5, 4, 7, 8, 0\}$.Оставшиеся доступные цифры для $C$: $\{2, 3, 6\}$.

Часто в таких "красивых" математических ребусах есть дополнительное неявное условие: в полной записи решения должны использоваться все 10 цифр от 0 до 9. Проверим, какой из вариантов для $C$ приводит к такому результату.

• Если $C=2$ (множитель 24): $$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c@{}c} & & & 1 & 9 & 5 \\ & & \times & & 2 & 4 \\ \hline & & & 7 & 8 & 0 \\ & & 3 & 9 & 0 & \\ \hline & & 4 & 6 & 8 & 0 \\ \end{array} $$ Давайте посмотрим на все цифры, задействованные в этой записи: $1,9,5$ (множимое), $2,4$ (множитель), $7,8,0$ (первое произведение), $3,9,0$ (второе произведение), $4,6,8,0$ (итог). Множество всех уникальных цифр: $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. Все 10 цифр использованы! Это очень сильный признак того, что мы нашли верное решение.
• Если $C=3$ (множитель 34): $195 \times 34 = 6630$. В записи этого решения (195, 34, 780, 585, 6630) отсутствует цифра 2.
• Если $C=6$ (множитель 64): $195 \times 64 = 12480$. В записи этого решения (195, 64, 780, 1170, 12480) отсутствует цифра 3.

Только один вариант приводит к использованию всех десяти цифр. Следовательно, это и есть искомое решение ребуса.

Ответ:

Полностью расшифрованный пример выглядит следующим образом:

$$\begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c@{}c} & & & 1 & 9 & 5 \\ & & \times & & 2 & 4 \\ \hline & & & 7 & 8 & 0 \\ & & 3 & 9 & 0 & \\ \hline & & 4 & 6 & 8 & 0 \\\end{array}$$