Страница 21, часть 1 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2 Моро, Бантова

4. Маша, Оля, Настя и Лена заняли четыре первых места в соревнованиях по плаванию. На вопрос, кто какое место занял, они дали три разных ответа:

Лена: «Оля − второе, Настя − третье».

Маша: «Лена − второе, Оля − первое».

Оля: «Маша − второе, Настя − четвёртое».

Кто какое место занял, если в каждом ответе верной была только одна его часть?

Совет. Начни рассуждать так: «Предположим, что высказывание «Оля − второе» верно, тогда в ответе Маши оба высказывания будут неверными, а это противоречит условию задачи. Значит...»

Для решения этой логической задачи нужно проанализировать все высказывания, исходя из главного условия: в каждом из трех ответов одна часть является правдой, а другая — ложью.

Участницы соревнований: Маша, Оля, Настя, Лена.

Занятые места: 1-е, 2-е, 3-е, 4-е.

Высказывания девочек:

• Лена: «Оля — второе, Настя — третье».
• Маша: «Лена — второе, Оля — первое».
• Оля: «Маша — второе, Настя — четвёртое».

Начнем рассуждать, следуя совету из условия. Проверим гипотезу, основанную на первой части высказывания Лены.

Предположение 1: Утверждение «Оля — второе» является правдой.

Если это правда, то Оля заняла 2-е место. Тогда, согласно условию, вторая часть высказывания Лены («Настя — третье») должна быть ложью. Теперь посмотрим на высказывание Маши: «Лена — второе, Оля — первое». Поскольку мы предположили, что Оля заняла 2-е место, то утверждение «Лена — второе» — ложь (второе место уже занято Олей). Утверждение «Оля — первое» — тоже ложь (Оля ведь вторая). Получается, что в высказывании Маши обе части ложны. Это противоречит условию задачи, согласно которому в каждом ответе одна часть должна быть правдивой. Следовательно, наше первоначальное предположение неверно. Утверждение «Оля — второе» — ложь.

Рассуждение на основе опровергнутого предположения:

1. Мы установили, что утверждение «Оля — второе» — ложь. Возвращаемся к высказыванию Лены: «Оля — второе, Настя — третье». Раз первая часть ложная, значит, вторая часть должна быть правдой. Таким образом, Настя заняла 3-е место.

2. Теперь обратимся к высказыванию Оли: «Маша — второе, Настя — четвёртое». Мы уже знаем, что Настя заняла 3-е место, поэтому утверждение «Настя — четвёртое» — ложь. Следовательно, первая часть этого высказывания должна быть правдой. Таким образом, Маша заняла 2-е место.

3. Наконец, рассмотрим высказывание Маши: «Лена — второе, Оля — первое». Мы знаем, что 2-е место заняла Маша, поэтому утверждение «Лена — второе» — ложь. Значит, вторая часть этого высказывания является правдой. Таким образом, Оля заняла 1-е место.

4. Мы распределили три места: Оля — первое, Маша — второе, Настя — третье. Осталась только Лена и свободное 4-е место. Следовательно, Лена заняла 4-е место.

Проверим итоговый результат:

• Оля — 1-е место
• Маша — 2-е место
• Настя — 3-е место
• Лена — 4-е место

Подставим эти данные в исходные высказывания:

• Ответ Лены: «Оля — второе» (ложь), «Настя — третье» (правда). Условие выполнено.
• Ответ Маши: «Лена — второе» (ложь), «Оля — первое» (правда). Условие выполнено.
• Ответ Оли: «Маша — второе» (правда), «Настя — четвёртое» (ложь). Условие выполнено.

Все сходится.

Ответ: Оля заняла первое место, Маша — второе, Настя — третье и Лена — четвёртое.

5. Для отделки платья ленту длиной 1 м 50 см надо разрезать на несколько частей по 25 см, на несколько частей по 16 см и ещё одну часть длиной 2 см так, чтобы не было обрезков. Определи, как это сделать, и запиши, сколько будет частей по 25 см и сколько будет частей по 16 см.

Для решения задачи сначала переведем общую длину ленты в сантиметры.

1 м 50 см = 100 см + 50 см = 150 см.

По условию, ленту нужно разрезать на несколько частей по 25 см, несколько частей по 16 см и одну часть длиной 2 см без обрезков. Это значит, что сумма длин всех частей должна быть равна 150 см.

Сначала вычтем из общей длины ленты длину известной части в 2 см, чтобы узнать, какая длина останется для частей по 25 см и 16 см:

$150 \text{ см} - 2 \text{ см} = 148 \text{ см}$

Оставшиеся 148 см ленты нужно составить из частей по 25 см и 16 см. Обозначим количество частей по 25 см как $x$, а количество частей по 16 см как $y$. Тогда можно составить уравнение, где $x$ и $y$ — натуральные числа (то есть целые и положительные):

$25 \cdot x + 16 \cdot y = 148$

Чтобы найти $x$ и $y$, будем подбирать возможные значения. Проще всего это сделать для $x$, так как множитель 25 больше. Суммарная длина частей по 25 см ($25 \cdot x$) не может быть больше 148 см. Найдем максимальное возможное значение $x$:

$x < 148 / 25 \implies x < 5.92$

Следовательно, $x$ может быть равен 1, 2, 3, 4 или 5. Проверим эти варианты, подставляя их в уравнение $16 \cdot y = 148 - 25 \cdot x$ и проверяя, будет ли $y$ целым числом.

При $x=1$: $16 \cdot y = 148 - 25 \cdot 1 = 123$. Число 123 не делится на 16 без остатка.

При $x=2$: $16 \cdot y = 148 - 25 \cdot 2 = 98$. Число 98 не делится на 16 без остатка.

При $x=3$: $16 \cdot y = 148 - 25 \cdot 3 = 73$. Число 73 не делится на 16 без остатка.

При $x=4$: $16 \cdot y = 148 - 25 \cdot 4 = 148 - 100 = 48$. $y = 48 / 16 = 3$. Это решение нам подходит: $x=4$, $y=3$.

При $x=5$: $16 \cdot y = 148 - 25 \cdot 5 = 23$. Число 23 не делится на 16 без остатка.

Таким образом, единственное решение в натуральных числах — это 4 части по 25 см и 3 части по 16 см.

Выполним проверку: $4 \cdot 25 \text{ см} + 3 \cdot 16 \text{ см} + 2 \text{ см} = 100 \text{ см} + 48 \text{ см} + 2 \text{ см} = 150 \text{ см}$. Все верно.

Ответ: будет 4 части по 25 см и 3 части по 16 см.

6. Сергей живёт в посёлке и в школу ездит на велосипеде. Занятия в школе начинаются в 9 ч. В 8 ч 40 мин Сергей всегда уже проезжает половину пути от дома до школы. В школу Сергей приезжает за 10 мин до начала занятий. Сколько минут занимает путь Сергея до школы?

Для решения задачи определим ключевые моменты времени и рассчитаем продолжительность поездки.

1. Определим время прибытия Сергея в школу.
Занятия начинаются в 9 часов 00 минут. Сергей приезжает за 10 минут до начала занятий. Чтобы найти время прибытия, нужно вычесть 10 минут из времени начала занятий:
$9 \text{ ч } 00 \text{ мин } - 10 \text{ мин } = 8 \text{ ч } 50 \text{ мин }$
Таким образом, Сергей прибывает в школу в 8:50.

2. Рассчитаем время, затраченное на вторую половину пути.
По условию, в 8 часов 40 минут Сергей находится ровно на середине пути. В школу (конечную точку) он приезжает в 8 часов 50 минут. Следовательно, время, которое он тратит на вторую половину пути, составляет:
$8 \text{ ч } 50 \text{ мин } - 8 \text{ ч } 40 \text{ мин } = 10 \text{ мин }$

3. Найдем общее время в пути.
Если предположить, что Сергей едет с постоянной скоростью, то на первую половину пути он тратит столько же времени, сколько и на вторую. Значит, на первую половину пути он также потратил 10 минут.
Общее время в пути равно сумме времени, затраченного на обе половины:
$10 \text{ мин } (\text{первая половина}) + 10 \text{ мин } (\text{вторая половина}) = 20 \text{ мин }$

Ответ: Путь Сергея до школы занимает 20 минут.