Страница 20, часть 1 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2 Моро, Бантова

1. В числе 608 содержится 6 сотен и 8 десятков.

1. Неверно. В числе 608 содержится 6 сотен и 8 единиц.

Данное утверждение является неверным. Для проверки необходимо проанализировать разрядный состав числа 608.

В десятичной системе счисления значение каждой цифры в числе определяется ее позицией (разрядом). Разряды считаются справа налево: единицы, десятки, сотни и так далее.

Рассмотрим число 608:

- Цифра 8 стоит в разряде единиц. Это означает, что в числе 8 единиц.

- Цифра 0 стоит в разряде десятков. Это означает, что в числе 0 десятков.

- Цифра 6 стоит в разряде сотен. Это означает, что в числе 6 сотен.

Таким образом, число 608 состоит из 6 сотен, 0 десятков и 8 единиц. Его можно представить в виде суммы разрядных слагаемых: $608 = 6 \cdot 100 + 0 \cdot 10 + 8 \cdot 1$.

В исходном утверждении сказано, что в числе 608 содержится 6 сотен и 8 десятков. Часть утверждения про 6 сотен верна, но утверждение о наличии 8 десятков является ошибкой. В разряде десятков стоит ноль. Цифра 8 относится к разряду единиц.

Ответ: утверждение неверно.

2. В одной тысяче содержится 10 сотен.

2. Верно. В одной тысяче содержится 10 сотен.

2. Данное утверждение является верным. Чтобы доказать это, нужно проверить, сколько раз число 100 (одна сотня) помещается в число 1000 (одна тысяча).

Для этого разделим 1000 на 100:

$$ \frac{1000}{100} = 10 $$

Результат деления показывает, что в одной тысяче содержится ровно 10 сотен.

Для проверки можно выполнить обратное действие — умножение. Умножим 10 (количество сотен) на 100 (значение одной сотни):

$$ 10 \times 100 = 1000 $$

Результат умножения равен тысяче, что полностью подтверждает верность исходного утверждения.

Ответ: утверждение верно.

3. 98 : 4 = 23 (ост. 6).

3. Неверно.

$98 : 4 = \stackrel{24}{\cancel{23}} (ост. \stackrel{2}{\cancel{6}}).$

Верно: 98 : 4 = 24 (ост. 2).

Представленное в задании решение $98 : 4 = 23$ (ост. $6$) является неверным.

Основная ошибка заключается в том, что при делении с остатком остаток всегда должен быть строго меньше делителя. В данном случае делитель равен $4$, а остаток — $6$. Неравенство $6 > 4$ показывает, что правило нарушено. Это означает, что деление было выполнено не до конца, так как из остатка $6$ можно выделить еще как минимум одну целую часть, равную делителю $4$.

Правильное решение:

Чтобы правильно разделить $98$ на $4$ с остатком, выполним следующие действия:

1. Найдём ближайшее к $98$ число, которое меньше его и делится на $4$ без остатка. Это число $96$.
2. Разделим это число на делитель, чтобы найти неполное частное: $96 : 4 = 24$.
3. Теперь найдём остаток, вычтя из первоначального делимого ($98$) число, которое мы разделили ($96$): $98 - 96 = 2$.

Таким образом, при делении $98$ на $4$ получается неполное частное $24$ и остаток $2$.

Проверка:

Для проверки правильности решения нужно умножить неполное частное на делитель и прибавить остаток. В результате должно получиться исходное делимое.

Формула проверки: $делимое = частное \cdot делитель + остаток$.

Подставляем наши значения: $24 \cdot 4 + 2 = 96 + 2 = 98$.

Так как $98 = 98$, решение найдено верно. Также выполняется основное условие: остаток ($2$) меньше делителя ($4$).

Ответ: Решение $98 : 4 = 23$ (ост. $6$) неверно, так как остаток ($6$) больше делителя ($4$). Правильный результат: $98 : 4 = 24$ (ост. $2$).

4. В частном чисел 864 и 9 будет две цифры.

4. Верно. В частном чисел 864 и 9 будет две цифры. (8 сотен не делятся на 9. Поэтому в частном сотен не будет.)

Чтобы проверить истинность утверждения, необходимо определить, сколько цифр будет в результате деления числа 864 на 9. Это можно сделать двумя способами: предварительной оценкой или прямым вычислением.

1. Определение количества цифр до вычисления.

При делении в столбик количество цифр в частном определяется по первому неполному делимому.

• Сравниваем первую цифру делимого (8) с делителем (9). Так как $8 < 9$, то для первого деления нам нужно взять две цифры из делимого.
• Первое неполное делимое — это 86. Оно даст нам первую цифру в частном.
• После числа 86 в делимом 864 остается еще одна цифра (4). Она даст нам вторую цифру в частном.

Следовательно, в частном должно быть две цифры. Этот метод показывает, что утверждение, скорее всего, верное.

2. Прямое вычисление.

Для окончательной проверки выполним деление числа 864 на 9:

$864 \div 9$

Начинаем деление с первой части числа (неполного делимого), которая больше или равна 9. Это 86.

$86 \div 9 = 9$ (остаток $86 - 81 = 5$). Первая цифра частного — 9.

К остатку 5 сносим следующую цифру делимого (4), получаем 54.

$54 \div 9 = 6$ (остаток 0). Вторая цифра частного — 6.

В результате получаем:

$864 \div 9 = 96$

Число 96 является двузначным, так как состоит из двух цифр.

Ответ: Утверждение верно. В частном чисел 864 и 9 действительно две цифры, так как результат деления равен 96.

5. 36 • 0 + 638 : 1 = 638.

5. Верно.

36 ∙ 0 + 638 : 1 = 638 (Ноль умножить на любое число - будет 0. Любое число, разделив на 1, получится то же число)

5. Для проверки верности данного равенства необходимо вычислить значение выражения в его левой части, соблюдая правильный порядок арифметических действий. Согласно правилам, операции умножения и деления выполняются в первую очередь (слева направо), и только после них выполняется сложение.

Первым действием выполним умножение. Согласно свойству умножения, произведение любого числа и нуля равно нулю.

$36 \cdot 0 = 0$

Вторым действием выполним деление. По свойству деления, любое число, разделенное на единицу, равно самому себе.

$638 : 1 = 638$

Третьим и последним действием сложим результаты, полученные на предыдущих шагах:

$0 + 638 = 638$

Результат вычисления выражения в левой части ($638$) полностью совпадает со значением в правой части равенства. Это подтверждает, что исходное равенство является верным.

Ответ: $638$.

6. Высказывание «Сумму чисел 45 и 5 увеличить в 3 раза» можно записать так: 45 + 5 · 3.

6. Неверно. (в этом случае увеличиваем в 3 раза пятерку)

Нужно записать так: (45 + 5) ∙ 3 (нужны скобки для того, чтобы сначала узнать сумму, а потом её увеличить).

Данное утверждение является неверным. Давайте разберем, почему это так.

Словесная формулировка «Сумму чисел 45 и 5 увеличить в 3 раза» предполагает выполнение двух математических операций в определенной последовательности:

1. Сначала необходимо найти сумму чисел 45 и 5. В математической записи это действие выглядит так: $45 + 5$. Результат этого действия равен $50$.

2. Затем полученный результат (сумму) нужно увеличить в 3 раза, то есть умножить на 3. Математически это выглядит так: $50 \cdot 3 = 150$.

Чтобы правильно записать оба действия в одном выражении, необходимо указать, что сложение выполняется первым. для этого используются скобки. Правильная математическая запись для исходного высказывания: $(45 + 5) \cdot 3$.

Теперь рассмотрим выражение, предложенное в задании: $45 + 5 \cdot 3$.
Согласно правилам порядка выполнения арифметических действий, умножение и деление выполняются раньше, чем сложение и вычитание. Поэтому в данном выражении вычисления производятся в следующем порядке:

1. Сначала выполняется умножение: $5 \cdot 3 = 15$.
2. Затем выполняется сложение: $45 + 15 = 60$.

Сравнивая результаты, мы видим, что значения двух выражений различны: $(45 + 5) \cdot 3 = 150$, в то время как $45 + 5 \cdot 3 = 60$. Это означает, что предложенная в задании запись неверна.

Ответ: Утверждение неверно. Выражение $45 + 5 \cdot 3$ не является правильной записью для высказывания «Сумму чисел 45 и 5 увеличить в 3 раза». По правилам порядка действий, в выражении $45 + 5 \cdot 3$ сначала выполняется умножение, и его результат равен $60$. Правильная запись для данного высказывания — $(45 + 5) \cdot 3$, и ее результат равен $150$.

7. Егор сказал: «За 7 тетрадей я заплатил 28 р., а за 3 ластика - 18 р. Значит, тетрадь дороже ластика».

7. Неверно: 28 : 7 = 4 (р.) – стоит тетрадь; 18 : 3 = 6 (р.) – стоит ластик.

Тетрадь дешевле ластика.

Чтобы проверить, прав ли Егор, нужно найти цену одной тетради и одного ластика, а затем сравнить полученные значения.

Находим цену одной тетради

Егор заплатил 28 рублей за 7 тетрадей. Чтобы найти цену одной тетради, необходимо общую стоимость разделить на количество тетрадей:

$28 \div 7 = 4$ рубля.

Таким образом, одна тетрадь стоит 4 рубля.

Находим цену одного ластика

За 3 ластика Егор заплатил 18 рублей. Чтобы найти цену одного ластика, необходимо общую стоимость разделить на количество ластиков:

$18 \div 3 = 6$ рублей.

Таким образом, один ластик стоит 6 рублей.

Сравниваем цены

Теперь сравним цену одной тетради (4 рубля) и одного ластика (6 рублей).

$4 < 6$

Это означает, что тетрадь дешевле ластика.

Егор сделал вывод, что тетрадь дороже ластика, но расчеты показывают обратное. Следовательно, Егор ошибся.

Ответ: Егор неправ. Одна тетрадь стоит 4 рубля, а один ластик стоит 6 рублей. Ластик дороже тетради.

8. В выражении $\mathbf{70}\mathbf{ }\stackrel{\mathbf{3}}{\mathbf{-}}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{27}\mathbf{ }\stackrel{\mathbf{1}}{\mathbf{:}}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{9}\mathbf{ }\stackrel{\mathbf{4}}{\mathbf{+}}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{9}\mathbf{ }\stackrel{\mathbf{2}}{\mathbf{·}}\mathbf{ }\mathbf{6}$ порядок действий указан правильно.

8. В выражении 70 − 27 : 9 + 9 ∙ 6 порядок действий указан правильно.

Утверждение о том, что в выражении $70 - 27 : 9 + 9 \cdot 6$ порядок действий указан правильно, является верным. Чтобы убедиться в этом, необходимо проанализировать выражение, следуя общепринятым математическим правилам.

Правила определения порядка арифметических действий:

1. Сначала выполняются действия умножения и деления. Если в выражении их несколько, они выполняются в порядке их следования, то есть слева направо.
2. После этого выполняются действия сложения и вычитания, также в порядке их следования слева направо.

Применим эти правила для проверки порядка действий в выражении $70 - 27 : 9 + 9 \cdot 6$.

1. Первое действие: Деление.
В выражении присутствуют действия второй ступени: деление ($:$) и умножение ($\cdot$). По правилу "слева направо", первым выполняется деление. В задании над знаком деления стоит цифра 1, что соответствует правилам.
$27 : 9 = 3$.

2. Второе действие: Умножение.
Следующим действием второй ступени является умножение. В задании над знаком умножения стоит цифра 2, что также является правильным.
$9 \cdot 6 = 54$.

3. Третье действие: Вычитание.
После выполнения всех действий умножения и деления выражение принимает вид: $70 - 3 + 54$. Теперь необходимо выполнить действия первой ступени (вычитание и сложение) слева направо. Первым по порядку идет вычитание. В задании над знаком вычитания стоит цифра 3, что верно.
$70 - 3 = 67$.

4. Четвертое действие: Сложение.
Последним действием остается сложение. В задании над знаком сложения стоит цифра 4, что также верно.
$67 + 54 = 121$.

Все цифры, указывающие на порядок действий в задании, расставлены в полном соответствии с математическими правилами. Следовательно, исходное утверждение истинно.

Ответ: утверждение верно.

9. Задача «Первая серия фильма продолжалась 40 мин, а последняя в 2 раза меньше. Сколько минут продолжалась последняя серия фильма?» решается сложением.

9. Неверно.

Задача решается делением: 40 : 2 = 20 минут, потому что меньше в 2 раза.

Утверждение о том, что задача «Первая серия фильма продолжалась 40 мин, а последняя в 2 раза меньше. Сколько минут продолжалась последняя серия фильма?» решается сложением, является неверным.

Для решения этой задачи необходимо выполнить действие деления. В условии используется оборот «в 2 раза меньше». В математике, чтобы найти число, которое в N раз меньше другого числа, нужно исходное число разделить на N.

Правильное решение задачи:

Продолжительность первой серии фильма составляет 40 минут. Продолжительность последней серии в 2 раза меньше. Чтобы найти, сколько минут продолжалась последняя серия, нужно продолжительность первой серии разделить на 2.

Выполним вычисление:$40 \div 2 = 20$ (минут)

Следовательно, последняя серия фильма продолжалась 20 минут.

Ответ: утверждение неверно, так как задача решается делением. Последняя серия фильма продолжалась 20 минут.

10. Фигуры отличаются друг от друга числом углов.

10. Верно.

В первой фигуре 4 угла, а во второй – 6.

10.

В задании представлено утверждение, которое необходимо проанализировать. На изображении мы видим две плоские геометрические фигуры: прямоугольник и правильный шестиугольник.

Утверждение гласит, что эти фигуры отличаются друг от друга числом углов. Чтобы проверить истинность этого утверждения, посчитаем количество углов у каждой фигуры.

1. Первая фигура — это прямоугольник. Прямоугольник является частным случаем четырехугольника. У него, по определению, $4$ стороны и $4$ прямых угла.

2. Вторая фигура — это шестиугольник. Это многоугольник, у которого $6$ сторон и, соответственно, $6$ углов.

Сравним количество углов: у прямоугольника их $4$, а у шестиугольника — $6$. Поскольку числа $4$ и $6$ не равны ($4 \neq 6$), утверждение о том, что фигуры отличаются числом углов, является верным.

Ответ: утверждение верно. Прямоугольник имеет 4 угла, а шестиугольник — 6 углов.

11. Если периметр прямоугольника равен 24 см, то длина одной из его сторон может быть равна 14 см.

11. Неверно.

У прямоугольника 4 стороны, противоположные стороны одинаковой длины. 14 + 14 = 28. Это уже больше данного периметра (24 см).

Данное утверждение необходимо проверить. Утверждение гласит, что у прямоугольника с периметром 24 см одна из сторон может быть равна 14 см.

Формула периметра прямоугольника: $P = 2 \cdot (a + b)$, где $a$ и $b$ – длины его смежных сторон.

Из условия известно, что периметр $P = 24$ см. Подставим это значение в формулу:
$24 = 2 \cdot (a + b)$

Разделив обе части уравнения на 2, найдем сумму длин двух смежных сторон:
$a + b = \frac{24}{2}$
$a + b = 12$ см.

Теперь предположим, что утверждение верно и длина одной из сторон, например стороны $a$, равна 14 см. Подставим это значение в полученное выше равенство:
$14 + b = 12$

Теперь найдем, какой должна быть длина второй стороны $b$:
$b = 12 - 14$
$b = -2$ см.

Длина стороны геометрической фигуры не может быть отрицательным числом. Это означает, что прямоугольника с такими параметрами не существует. Сумма двух смежных сторон ($a+b=12$ см) не может быть меньше, чем одна из этих сторон ($a=14$ см).

Следовательно, исходное утверждение является ложным.

Ответ: Утверждение неверно.

12. Площадь прямоугольника со сторонами 18 см и 5 см можно вычислить так: 18 · 5.

12. Верно.

Площадь прямоугольника находится умножением (длину умножить на ширину) 18 ∙ 5.

Чтобы найти площадь прямоугольника, необходимо умножить его длину на ширину. В данном случае стороны прямоугольника равны 18 см и 5 см.

Формула для вычисления площади $S$ прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ выглядит следующим образом:

$S = a \cdot b$

Подставим в формулу заданные значения сторон:

$S = 18 \text{ см} \cdot 5 \text{ см}$

Для вычисления произведения $18 \cdot 5$ можно применить несколько удобных способов.

Способ 1: Прямое умножение

Можно выполнить умножение в столбик или устно:

$18 \cdot 5 = 90$

Способ 2: С использованием распределительного свойства (через сложение)

Представим число 18 в виде суммы двух слагаемых, например, $10$ и $8$. Затем применим распределительное свойство умножения $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$.

$18 \cdot 5 = (10 + 8) \cdot 5 = 10 \cdot 5 + 8 \cdot 5 = 50 + 40 = 90$

Способ 3: С использованием распределительного свойства (через вычитание)

Представим число 18 в виде разности двух чисел, например, $20$ и $2$. Затем применим распределительное свойство умножения $(a - b) \cdot c = a \cdot c - b \cdot c$.

$18 \cdot 5 = (20 - 2) \cdot 5 = 20 \cdot 5 - 2 \cdot 5 = 100 - 10 = 90$

Все способы вычисления приводят к одному и тому же результату. Площадь прямоугольника равна 90 квадратных сантиметров.

Ответ: $90 \text{ см}^2$.

1. Витя ждал гостей на день рождения. Вокруг стола поставили несколько табуретов и несколько стульев. У каждого табурета было по 3 ножки, а у каждого стула − по 4. Ребята заняли все стулья и табуреты, и оказалось, что всех ножек − у стульев, табуретов и ребят − 49. Сколько всего ребят было за столом?

Давайте разберем задачу. Пусть $x$ — это количество табуретов, а $y$ — количество стульев.

Каждый ребенок сидит на стуле или табурете, и все места заняты. Значит, общее количество ребят равно количеству всей мебели: $x + y$.

Теперь посчитаем общее количество ножек:

• Ножки ребят: у каждого ребенка по 2 ноги, значит всего $2 \cdot (x + y)$ ножек.
• Ножки табуретов: у каждого табурета по 3 ножки, значит всего $3 \cdot x$ ножек.
• Ножки стульев: у каждого стула по 4 ножки, значит всего $4 \cdot y$ ножек.

По условию, сумма всех ножек равна 49. Составим уравнение:
$2 \cdot (x + y) + 3x + 4y = 49$

Раскроем скобки и упростим выражение:
$2x + 2y + 3x + 4y = 49$
$(2x + 3x) + (2y + 4y) = 49$
$5x + 6y = 49$

Теперь нам нужно найти целые неотрицательные числа $x$ и $y$, которые удовлетворяют этому уравнению. Будем подбирать значения для $x$ (количество табуретов).

Выражение $5x$ должно быть меньше 49. Также заметим, что $6y$ — это всегда четное число. Чтобы сумма $5x + 6y$ была равна нечетному числу 49, слагаемое $5x$ должно быть нечетным. Это возможно, только если $x$ — нечетное число.

Проверим возможные нечетные значения $x$:

• Если $x = 1$, то $5 \cdot 1 + 6y = 49 \implies 6y = 44$. $y$ не получается целым числом.
• Если $x = 3$, то $5 \cdot 3 + 6y = 49 \implies 15 + 6y = 49 \implies 6y = 34$. $y$ не получается целым числом.
• Если $x = 5$, то $5 \cdot 5 + 6y = 49 \implies 25 + 6y = 49 \implies 6y = 24 \implies y = 4$. Это решение подходит: 5 табуретов и 4 стула.
• Если $x = 7$, то $5 \cdot 7 + 6y = 49 \implies 35 + 6y = 49 \implies 6y = 14$. $y$ не получается целым числом.
• Если $x = 9$, то $5 \cdot 9 + 6y = 49 \implies 45 + 6y = 49 \implies 6y = 4$. $y$ не получается целым числом.

Большие значения $x$ проверять нет смысла, так как $5x$ станет больше 49.
Итак, мы нашли, что было 5 табуретов и 4 стула.

Общее количество ребят равно сумме стульев и табуретов:
$5 + 4 = 9$ ребят.

Проверим: 9 ребят (18 ног) + 5 табуретов (15 ножек) + 4 стула (16 ножек) = $18 + 15 + 16 = 49$ ножек. Все верно.

Ответ: за столом было 9 ребят.

2. Крепость окружена стеной, имеющей форму квадрата. На каждой стороне есть ворота, у которых всегда стоят 2 солдата. Начальнику караула нужно усилить охрану так, чтобы у каждой стены было не 2 солдата, а 3, но чтобы общее их число не изменилось. Начальник караула справился с задачей. Попытайся и ты (рис. 1).

Для решения этой задачи необходимо сначала определить общее количество солдат, а затем найти способ их перераспределить согласно новым требованиям.

1. Начальные условия

Крепость имеет 4 стены. У каждой стены (у ворот) стоит по 2 солдата. Рассчитаем общее количество солдат:

$4 \text{ стены} \times 2 \text{ солдата} = 8 \text{ солдат}$

2. Новые условия

Требуется, чтобы у каждой из 4 стен было по 3 солдата, но общее их число должно остаться прежним, то есть 8.

3. Решение

Если бы мы просто поставили по 3 солдата на каждую стену, их общее число было бы $4 \times 3 = 12$. Поскольку у нас в распоряжении всего 8 солдат, это означает, что некоторые из них должны охранять две стены одновременно. Такая возможность есть, если разместить солдат в углах крепости, так как каждый угол принадлежит двум смежным стенам.

Правильная расстановка солдат будет следующей:

• Поставить по одному солдату в каждый из четырех углов крепости.

• Оставшихся четырех солдат ($8 - 4 = 4$) поставить по одному в центре каждой стены, у ворот.

Проверка решения:

При такой расстановке общее количество солдат составляет 4 (в углах) + 4 (в центре стен) = 8. Это соответствует условию.

Теперь посчитаем количество солдат на одной любой стене. Она включает в себя двух солдат, стоящих на ее углах, и одного солдата, стоящего в центре. Итого:

$1 \text{ (в одном углу)} + 1 \text{ (в центре)} + 1 \text{ (в другом углу)} = 3 \text{ солдата}$

Таким образом, все условия задачи выполнены.

Ответ: Нужно поставить по одному солдату в каждый из четырех углов крепости и по одному солдату в центре каждой из четырех стен (у ворот).

3. Какое число обозначает каждая буква в квадрате (рис. 2), если известно, что:

1) А в 2 раза меньше, чем С;
2) С равно сумме К и D;
3) К равно разности D и В;
4) D в 3 раза больше, чем В;
5) В в 4 раза меньше, чем 944?

Проверь: сумма всех чисел равна 3 186.

Для решения задачи будем последовательно находить значения для каждой буквы, начиная с той, для которой есть прямое числовое условие. Это условие 5.

5) В в 4 раза меньше, чем 944?
Чтобы найти значение В, необходимо число 944 разделить на 4.
$B = 944 / 4 = 236$
Ответ: В = 236.

4) D в 3 раза больше, чем В;
Теперь, зная В, мы можем найти D. Для этого умножим значение В на 3.
$D = B \times 3 = 236 \times 3 = 708$
Ответ: D = 708.

3) К равно разности D и В;
Зная D и B, находим K, вычитая значение B из D.
$K = D - B = 708 - 236 = 472$
Ответ: K = 472.

2) С равно сумме К и D;
Теперь мы можем найти С, сложив значения К и D.
$C = K + D = 472 + 708 = 1180$
Ответ: C = 1180.

1) А в 2 раза меньше, чем С;
Наконец, найдем А, разделив значение С на 2.
$A = C / 2 = 1180 / 2 = 590$
Ответ: A = 590.

Проверь: сумма всех чисел равна 3 186.
Сложим все найденные значения, чтобы проверить правильность решения.
$A + B + C + D + K = 590 + 236 + 1180 + 708 + 472$
$590 + 236 + 1180 + 708 + 472 = 3186$
Сумма совпадает с условием проверки. Все значения найдены верно.
Ответ: А = 590, В = 236, С = 1180, D = 708, K = 472.