Страница 16, часть 1 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2 Моро, Бантова

82. На диаграмме показано число учащихся в 1-4 классах одной из школ и задан масштаб: 4 ученика обозначены одной клеткой.

1) В каком классе больше всего учеников?
2) В каких классах учеников поровну
3) На сколько больше учеников во втором классе, чем в четвёртом?

82. 1) Во 2 классе больше всего учеников – 28 человек (пояснение не для записи в тетрадь: 7 клеток, 1 клетка – 4 человека, 7 ∙ 4 = 28).

2) В 1 классе и в 3 классе учеников поровну – по 24 человека. (пояснение не для записи в тетрадь: по 6 клеток, 1 клетка – 4 человека, 6 ∙ 4 = 24).

3) Во втором классе 28 учеников, в 4 классе 20 учеников (пояснение не для записи в тетрадь: 5 клеток, 1 клетка – 4 человека, 5 ∙ 4 = 20).

Решение:

28 − 20 = 8 (уч.)

Ответ: на 8 учеников больше во втором классе, чем в первом.

Для решения задачи сначала определим количество учеников в каждом классе, используя заданный масштаб: 1 клетка на диаграмме соответствует 4 ученикам.

• В 1 классе столбик состоит из 5 клеток, значит, учеников: $5 \times 4 = 20$.
• Во 2 классе столбик состоит из 6 клеток, значит, учеников: $6 \times 4 = 24$.
• В 3 классе столбик состоит из 5 клеток, значит, учеников: $5 \times 4 = 20$.
• В 4 классе столбик состоит из 4 клеток, значит, учеников: $4 \times 4 = 16$.

Теперь ответим на вопросы.

1) В каком классе больше всего учеников?

Сравнивая количество учеников в каждом классе (20, 24, 20 и 16), мы видим, что наибольшее число учеников (24) во 2 классе. Это также видно на диаграмме, так как столбик для 2 класса самый высокий.

Ответ: больше всего учеников во 2 классе.

2) В каких классах учеников поровну?

Чтобы найти классы с одинаковым количеством учеников, нужно найти столбики одинаковой высоты. Столбики для 1-го и 3-го классов имеют одинаковую высоту в 5 клеток. В каждом из этих классов по 20 учеников.

Ответ: учеников поровну в 1 и 3 классах.

3) На сколько больше учеников во втором классе, чем в четвёртом?

Во втором классе 24 ученика, а в четвертом — 16 учеников. Чтобы найти разницу, нужно из количества учеников во втором классе вычесть количество учеников в четвертом:

$24 - 16 = 8$

Ответ: во втором классе на 8 учеников больше, чем в четвёртом.

3. На трёх полках стоят книги. На средней полке книг в 2 раза меньше, чем на нижней, а на верхней - в 3 раза меньше, чем на нижней. Сколько книг на трёх полках, если на нижней полке 24 книги?

83. Для наглядности сделаем схематическую запись:

Пояснение: Рассмотрев схематическую запись, понимаем, чтобы найти все книги, нужно знать сколько книг на каждой полке. Поэтому сначала находим, сколько книг на первой полке (чтобы найти в 3 раза меньшее число, надо разделить на 3). Затем находим, сколько книг на второй полке (тоже делением). Затем отвечаем на вопрос задачи (складываем все значения).

Решение:
1) 24 : 2 = 12 (к.) – на средней полке
2) 24 : 3 = 8 (к.) – на верхней полке
3) 8 + 12 + 24 = 44 (к.)
Ответ: 44 книги на трёх полках.

Решение задачи можно записать выражением:
24 : 2 + 24 : 3 + 24 = 44 (к.)
Ответ: 44 книги на трёх полках.

Для решения задачи необходимо поочередно найти количество книг на средней и верхней полках, а затем сложить все три значения.

1. Найдем количество книг на средней полке.

По условию, на средней полке книг в 2 раза меньше, чем на нижней. На нижней полке 24 книги. Чтобы узнать, сколько книг на средней полке, разделим количество книг на нижней полке на 2:

$24 \div 2 = 12$ (книг)

2. Найдем количество книг на верхней полке.

В условии также сказано, что на верхней полке книг в 3 раза меньше, чем на нижней. Чтобы найти количество книг на верхней полке, разделим количество книг на нижней полке на 3:

$24 \div 3 = 8$ (книг)

3. Найдем общее количество книг на трёх полках.

Теперь сложим количество книг на всех трех полках: 24 книги на нижней, 12 книг на средней и 8 книг на верхней.

$24 + 12 + 8 = 44$ (книги)

Ответ: всего на трёх полках 44 книги.

84. Выполни деление и сделай проверку деления умножением.

84. Решение:

Напомним: Чтобы выполнить проверку деления умножением, необходимо частное умножить на делитель и смотрим: если получилось делимое - вычисления сделаны верно, если не получилось делимое - в вычислениях допущена ошибка.

Проверка:

Объяснение вычислений деления:

545 : 5
Делим сотни. Разделим 5 сотен на 5. Будет 1 сотня. Запишем 1 в значение частного на месте разряда сотен. Умножим: 1 ∙ 5 = 5. Вычту: 5 − 5 = 0. Сотни разделили все.

Делим десятки. Разделим 4 на 5. Получится 0. Запишем 0 в частном на месте разряда десятков. 4 десятка остались, их меньше, чем 5; можно продолжать деление.

Разделим единицы. 4 десятка и 5 единиц – это 45 единиц. Делю 45 на 5. В частном будет 9 единиц. Умножаю 9 ∙ 5 = 45. Вычитаю 45 − 45 = 0. Единицы разделили все. Деление закончено.

Ответ: 109.

618 : 3
Делим сотни. Разделим 6 сотен на 3. Будет 2 сотни. Запишем 2 в значение частного на месте разряда сотен. Умножим: 2 ∙ 3 = 6. Вычту: 6 − 6 = 0. Сотни разделили все.

Делим десятки. Разделим 1 на 3. Получится 0. Запишем 0 в частном на месте разряда десятков. 1 десяток остался, он меньше, чем 3; можно продолжать деление.

Делим единицы. 1 десяток и 8 единиц – это 18 единиц. Делю 18 на 3. В частном будет 6 единиц. Умножаю 6 ∙ 3 = 18. Вычитаю 18 − 18 = 0. Единицы разделили все. Деление закончено.

Ответ: 206.

728 : 7
Делим сотни. Разделим 7 сотен на 7. Будет 1 сотня. Запишем 1 в значение частного на месте разряда сотен. Умножим: 1 ∙ 7 = 7. Вычту: 7 − 7 = 0. Сотни разделили все.

Делим десятки. Разделим 2 на 7. Получится 0. Запишем 0 в частном на месте разряда десятков. 2 десятка остались, их меньше, чем 7; можно продолжать деление.

Делим единицы. 2 десятка и 8 единиц – это 28 единиц. Делю 28 на 7. В частном будет 4 единицы. Умножаю 4 ∙ 7 = 28. Вычитаю 28 − 28 = 0. Единицы разделили все. Деление закончено.

Ответ: 104.

648 : 6
Делим сотни. Разделим 6 сотен на 6. Будет 1 сотня. Запишем 1 в значение частного на месте разряда сотен. Умножим: 1 ∙ 6 = 6. Вычту: 6 − 6 = 0. Сотни разделили все.

Делим десятки. Разделим 4 на 6. Получится 0. Запишем 0 в частном на месте разряда десятков. 4 десятка остались, их меньше, чем 6; можно продолжать деление.

Разделим единицы. 4 десятка и 8 единиц – это 48 единиц. Делю 48 на 6. В частном будет 8 единиц. Умножаю 8 ∙ 6 = 48. Вычитаю 48 − 48 = 0. Единицы разделили все. Деление закончено.

Ответ: 108.

545 : 5

Сначала выполним деление. Для этого представим делимое $545$ в виде суммы разрядных слагаемых, удобных для деления на $5$: $545 = 500 + 45$.
$545 : 5 = (500 + 45) : 5 = 500 : 5 + 45 : 5 = 100 + 9 = 109$.

Теперь сделаем проверку умножением. Для этого умножим частное на делитель. Результат должен быть равен делимому.
$109 \cdot 5$.
$109 \cdot 5 = (100 + 9) \cdot 5 = 100 \cdot 5 + 9 \cdot 5 = 500 + 45 = 545$.
Так как результат умножения $545$ равен исходному делимому, деление выполнено верно.
Ответ: $109$.

618 : 3

Выполним деление. Представим делимое $618$ в виде суммы удобных слагаемых: $618 = 600 + 18$.
$618 : 3 = (600 + 18) : 3 = 600 : 3 + 18 : 3 = 200 + 6 = 206$.

Сделаем проверку умножением.
$206 \cdot 3$.
$206 \cdot 3 = (200 + 6) \cdot 3 = 200 \cdot 3 + 6 \cdot 3 = 600 + 18 = 618$.
Так как результат умножения $618$ равен исходному делимому, деление выполнено верно.
Ответ: $206$.

728 : 7

Выполним деление. Представим делимое $728$ в виде суммы удобных слагаемых: $728 = 700 + 28$.
$728 : 7 = (700 + 28) : 7 = 700 : 7 + 28 : 7 = 100 + 4 = 104$.

Сделаем проверку умножением.
$104 \cdot 7$.
$104 \cdot 7 = (100 + 4) \cdot 7 = 100 \cdot 7 + 4 \cdot 7 = 700 + 28 = 728$.
Так как результат умножения $728$ равен исходному делимому, деление выполнено верно.
Ответ: $104$.

648 : 6

Выполним деление. Представим делимое $648$ в виде суммы удобных слагаемых: $648 = 600 + 48$.
$648 : 6 = (600 + 48) : 6 = 600 : 6 + 48 : 6 = 100 + 8 = 108$.

Сделаем проверку умножением.
$108 \cdot 6$.
$108 \cdot 6 = (100 + 8) \cdot 6 = 100 \cdot 6 + 8 \cdot 6 = 600 + 48 = 648$.
Так как результат умножения $648$ равен исходному делимому, деление выполнено верно.
Ответ: $108$.

85. Рассмотри расписание поездов Москва-Псков и назови номер поезда, который меньше всего времени будет в пути.

85. Рассуждаем: Поезд 023В выехал из Москвы позже других и прибыл в Псков раньше остальных. Значит, он был в пути меньше всего времени.

Ответ: Поезд 023В был в пути меньше всего времени

Чтобы определить, какой поезд находится в пути меньше всего времени, необходимо рассчитать продолжительность поездки для каждого поезда и сравнить полученные результаты.

Поезд отправляется в 19:56 и прибывает на следующий день в 12:00.
Время в пути в день отправления (до полуночи): $24 \text{ ч } 00 \text{ мин } - 19 \text{ ч } 56 \text{ мин } = 4 \text{ часа } 4 \text{ минуты}$.
Время в пути на следующий день составляет $12$ часов.
Общее время в пути: $4 \text{ ч } 4 \text{ мин } + 12 \text{ ч } 00 \text{ мин } = 16 \text{ часов } 4 \text{ минуты}$.
Ответ: общее время в пути поезда 010А составляет 16 часов 4 минуты.

Поезд отправляется в 20:23 и прибывает на следующий день в 08:05.
Время в пути в день отправления (до полуночи): $24 \text{ ч } 00 \text{ мин } - 20 \text{ ч } 23 \text{ мин } = 3 \text{ часа } 37 \text{ минут}$.
Время в пути на следующий день составляет $8$ часов $5$ минут.
Общее время в пути: $3 \text{ ч } 37 \text{ мин } + 8 \text{ ч } 5 \text{ мин } = 11 \text{ часов } 42 \text{ минуты}$.
Ответ: общее время в пути поезда 023В составляет 11 часов 42 минуты.

Поезд отправляется в 16:00 и прибывает на следующий день в 07:40.
Время в пути в день отправления (до полуночи): $24 \text{ ч } 00 \text{ мин } - 16 \text{ ч } 00 \text{ мин } = 8 \text{ часов}$.
Время в пути на следующий день составляет $7$ часов $40$ минут.
Общее время в пути: $8 \text{ ч } 00 \text{ мин } + 7 \text{ ч } 40 \text{ мин } = 15 \text{ часов } 40 \text{ минут}$.
Ответ: общее время в пути поезда 017С составляет 15 часов 40 минут.

Сравнив время в пути всех поездов ($16$ часов $4$ минуты, $11$ часов $42$ минуты и $15$ часов $40$ минут), мы видим, что наименьшее время в пути у поезда 023В.

Ответ: Поезд, который меньше всего времени будет в пути, — 023В.

86. По последнему столбику на диаграмме определи масштаб, в котором она построена. Начерти такую таблицу в тетради. Используя данные диаграммы, заполни таблицу.

86. Масштаб, в котором построена диаграмма 1 клетка – 3 человека.

Пояснение не для записи в тетрадь:

Последний столбик состоит из 4 клеток, в нём обозначено 12 человек в четвёртом классе. 12 : 4 = 3. Значит масштаб, в котором построена диаграмма, 1 клетка – 3 человека.

Посчитаем количество человек в каждом классе и во всех классах вместе для заполнения таблицы:

Первый класс: 3 ∙ 5 = 15 (чел.)
Второй класс: 3 ∙ 6 = 18 (чел.)
Третий класс: 3 ∙ 7 = 21 (чел.)
Четвёртый класс: 3 ∙ 4 = 12 (чел.)
Во всех классах: 15 + 18 + 21 + 12 = 66 (чел.)

В тетради заполняем таблицу:

Определение масштаба

Для определения масштаба диаграммы, согласно условию, необходимо использовать последний столбик, который соответствует 4-му классу.

Высота этого столбика на диаграмме составляет 3 клетки (единицы). Рядом с ним указано, что это количество равно 12 ученикам.

Чтобы найти, какому количеству учеников соответствует одна клетка (то есть найти масштаб), разделим количество учеников на высоту столбика в клетках:

$12 \text{ чел.} \div 3 \text{ клетки} = 4 \text{ чел./клетка}$

Ответ: масштаб диаграммы — одна клетка по вертикали равна 4 ученикам.

Заполнение таблицы

Используя найденный масштаб (1 клетка = 4 ученика), определим количество учащихся в каждом классе, измерив высоту соответствующего столбика на диаграмме:

• Первый класс: высота столбика — 4 клетки.
  Количество учеников: $4 \text{ клетки} \times 4 \text{ ученика/клетка} = 16$ учеников.
• Второй класс: высота столбика — 5 клеток.
  Количество учеников: $5 \text{ клеток} \times 4 \text{ ученика/клетка} = 20$ учеников.
• Третий класс: высота столбика — 6 клеток.
  Количество учеников: $6 \text{ клеток} \times 4 \text{ ученика/клетка} = 24$ ученика.
• Четвёртый класс: высота столбика — 3 клетки.
  Количество учеников: $3 \text{ клетки} \times 4 \text{ ученика/клетка} = 12$ учеников.

Для последней строки таблицы «1 – 4 классы» найдем общее количество учащихся, сложив значения для всех классов:

$16 + 20 + 24 + 12 = 72$ ученика.

На основе этих расчетов заполняем таблицу.

Ответ:

РЕБУСЫ:

Ход рассуждений:

Чтобы в произведении на месте единиц был 0, надо любое число умножить на 0. Но второй множитель не может быть нулём, так как и произведение было бы ноль. Поэтому 0 мы пишем в разряде единиц в первом множителе. Произведение второго множителя и десятков в первом множителе должно быть 8. Значит на этих местах надо записать 4 и 2 (4 ∙ 2 = 8 или 4 ∙ 2 = 8). Далее умножаем 1 сотню первого множителя на второй множитель и записываем получившуюся цифру в произведение в разряд сотен.

Второй вариант ответа:

Данный ребус представляет собой задачу на умножение столбиком, где некоторые цифры заменены на звёздочки. Расшифруем его шаг за шагом.

Запишем пример в алгебраическом виде. Трёхзначное число, начинающееся на 1, обозначим как $1AB$, а двузначный множитель — как $CD$. Первая строчка результата, которая видна в ребусе, — это первый частичный продукт умножения $1AB$ на последнюю цифру множителя $D$. Этот продукт равен $*80$, обозначим его как $E80$.

Таким образом, наша задача разбивается на несколько этапов:

1. Найти числа $1AB$, $D$ и $E$ из уравнения $1AB \times D = E80$.
2. Найти цифру $C$ и восстановить весь пример целиком.

Нам нужно решить уравнение в цифрах: $$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c} & 1 & A & B \\ \times & & & D \\ \hline E & 8 & 0 \\ \end{array} $$

Для решения подобных ребусов часто предполагается, что все зашифрованные цифры (включая те, что уже даны) различны. В нашем случае это означает, что цифры, скрытые за звёздочками $A, B, D, E$, должны быть уникальны и не должны равняться уже известным цифрам $1, 8, 0$.

Таким образом, для $A, B, D, E$ мы можем использовать только цифры из множества $\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 9\}$.

• Анализ последней цифры: Произведение $1AB \times D$ оканчивается на 0. Это означает, что произведение последних цифр $B \times D$ также должно оканчиваться на 0. Возможные пары $(B, D)$ из нашего доступного множества $\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 9\}$:
  • $D=5$, тогда $B$ должно быть чётным: $B \in \{2, 4, 6\}$.
  • $B=5$, тогда $D$ должно быть чётным: $D \in \{2, 4, 6\}$.
• Анализ предпоследней цифры: Предпоследняя цифра результата (цифра десятков) равна 8. Она формируется из последней цифры произведения $A \times D$ с добавлением переноса из разряда единиц (от произведения $B \times D$). Обозначим перенос как $k_1$. Тогда $(A \times D + k_1) \pmod{10} = 8$.

Давайте переберём возможные варианты:

Случай 1: $D = 5$.

• Если $B=2$, то $B \times D = 2 \times 5 = 10$. Перенос $k_1=1$. Условие для десятков: $(A \times 5 + 1) \pmod{10} = 8$. Это значит, что $A \times 5$ должно оканчиваться на 7, что невозможно.
• Если $B=4$, то $B \times D = 4 \times 5 = 20$. Перенос $k_1=2$. Условие для десятков: $(A \times 5 + 2) \pmod{10} = 8$. Это значит, что $A \times 5$ должно оканчиваться на 6, что невозможно.
• Если $B=6$, то $B \times D = 6 \times 5 = 30$. Перенос $k_1=3$. Условие для десятков: $(A \times 5 + 3) \pmod{10} = 8$. Это значит, что $A \times 5$ должно оканчиваться на 5, что возможно, если $A$ — нечётная цифра. $A \in \{3, 7, 9\}$ (так как 1 и 5 уже заняты или будут заняты). Проверим эти $A$:
  • $A=3$: $136 \times 5 = 680$. Цифры $A,B,D,E$ это $\{3,6,5,6\}$. Цифра 6 повторяется. Не подходит.
  • $A=7$: $176 \times 5 = 880$. Цифра $E=8$, но 8 уже есть в условии. Не подходит.
  • $A=9$: $196 \times 5 = 980$. Цифры $A,B,D,E$ это $\{9,6,5,9\}$. Цифра 9 повторяется. Не подходит.

Случай 2: $B = 5$.

• Если $D=2$, то $B \times D = 5 \times 2 = 10$. Перенос $k_1=1$. Условие для десятков: $(A \times 2 + 1) \pmod{10} = 8$. Значит, $A \times 2$ должно оканчиваться на 7, что невозможно.
• Если $D=4$, то $B \times D = 5 \times 4 = 20$. Перенос $k_1=2$. Условие для десятков: $(A \times 4 + 2) \pmod{10} = 8$. Значит, $A \times 4$ должно оканчиваться на 6. Это возможно, если $A=4$ или $A=9$.
  • $A=4$: $D$ уже равно 4. Цифры не уникальны. Не подходит.
  • $A=9$: $195 \times 4$. Проверим: $195 \times 4 = 780$. Здесь $A=9, B=5, D=4, E=7$. Все эти цифры $\{9, 5, 4, 7\}$ уникальны и не входят в множество данных цифр $\{1, 8, 0\}$. Этот вариант нам подходит.
• Если $D=6$, то $B \times D = 5 \times 6 = 30$. Перенос $k_1=3$. Условие для десятков: $(A \times 6 + 3) \pmod{10} = 8$. Значит, $A \times 6$ должно оканчиваться на 5, что невозможно.

Таким образом, единственное решение, удовлетворяющее условию уникальности цифр, это $195 \times 4 = 780$.

Отсюда мы нашли:

• Множимое: 195
• Последняя цифра множителя: 4
• Первое частичное произведение: 780

Теперь мы знаем, что пример выглядит так:

Нам осталось найти цифру $C$. Она должна быть отлична от всех уже использованных цифр: $\{1, 9, 5, 4, 7, 8, 0\}$.Оставшиеся доступные цифры для $C$: $\{2, 3, 6\}$.

Часто в таких "красивых" математических ребусах есть дополнительное неявное условие: в полной записи решения должны использоваться все 10 цифр от 0 до 9. Проверим, какой из вариантов для $C$ приводит к такому результату.

• Если $C=2$ (множитель 24): $$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c@{}c} & & & 1 & 9 & 5 \\ & & \times & & 2 & 4 \\ \hline & & & 7 & 8 & 0 \\ & & 3 & 9 & 0 & \\ \hline & & 4 & 6 & 8 & 0 \\ \end{array} $$ Давайте посмотрим на все цифры, задействованные в этой записи: $1,9,5$ (множимое), $2,4$ (множитель), $7,8,0$ (первое произведение), $3,9,0$ (второе произведение), $4,6,8,0$ (итог). Множество всех уникальных цифр: $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. Все 10 цифр использованы! Это очень сильный признак того, что мы нашли верное решение.
• Если $C=3$ (множитель 34): $195 \times 34 = 6630$. В записи этого решения (195, 34, 780, 585, 6630) отсутствует цифра 2.
• Если $C=6$ (множитель 64): $195 \times 64 = 12480$. В записи этого решения (195, 64, 780, 1170, 12480) отсутствует цифра 3.

Только один вариант приводит к использованию всех десяти цифр. Следовательно, это и есть искомое решение ребуса.

Ответ:

Полностью расшифрованный пример выглядит следующим образом:

61. Реши задачи, сравни решения.

1) Два лыжника вышли одновременно навстречу друг другу из двух посёлков и встретились через 3 ч. Первый лыжник шёл со скоростью 12 км/ч, а второй − со скоростью 14 км/ч. Найди расстояние между посёлками.

2) Из двух посёлков, расстояние между которыми 78 км, вышли одновременно навстречу друг другу два лыжника. Первый из них шёл со скоростью 12 км/ч, а второй − со скоростью 14 км/ч. Через сколько часов лыжники встретились?

3) Из двух посёлков, находящихся на расстоянии 78 км, вышли одновременно навстречу друг другу два лыжника и встретились через 3 ч. Первый лыжник шёл со скоростью 12 км/ч. С какой скоростью шёл второй лыжник?

1) В данной задаче требуется найти расстояние между посёлками. Поскольку лыжники движутся навстречу друг другу, расстояние между ними сокращается с общей скоростью, которая называется скоростью сближения и равна сумме их скоростей. Скорость первого лыжника $v_1 = 12$ км/ч, второго — $v_2 = 14$ км/ч. Сначала вычислим скорость сближения: $v_{сбл} = v_1 + v_2 = 12 \text{ км/ч} + 14 \text{ км/ч} = 26 \text{ км/ч}$. Это означает, что за каждый час лыжники становятся ближе друг к другу на 26 км. Чтобы найти первоначальное расстояние между ними, нужно умножить скорость сближения на время, которое они были в пути до встречи, то есть $t = 3$ ч: $S = v_{сбл} \times t = 26 \text{ км/ч} \times 3 \text{ ч} = 78 \text{ км}$. Ответ: расстояние между посёлками 78 км.

2) Это задача, обратная первой. Здесь известно расстояние между посёлками $S = 78$ км и скорости лыжников ($v_1 = 12$ км/ч и $v_2 = 14$ км/ч), а найти нужно время до встречи. Как и в предыдущей задаче, первым шагом находим скорость сближения лыжников: $v_{сбл} = v_1 + v_2 = 12 \text{ км/ч} + 14 \text{ км/ч} = 26 \text{ км/ч}$. Теперь, чтобы найти время до встречи, необходимо общее расстояние разделить на скорость сближения: $t = S / v_{сбл} = 78 \text{ км} / 26 \text{ км/ч} = 3 \text{ ч}$. Ответ: лыжники встретились через 3 часа.

3) Эта задача также является обратной к первой. Нам даны расстояние $S = 78$ км, время до встречи $t = 3$ ч и скорость первого лыжника $v_1 = 12$ км/ч. Нужно найти скорость второго лыжника. Сначала найдём, с какой общей скоростью лыжники сближались. Для этого разделим расстояние на время: $v_{сбл} = S / t = 78 \text{ км} / 3 \text{ ч} = 26 \text{ км/ч}$. Скорость сближения — это сумма скоростей двух лыжников ($v_{сбл} = v_1 + v_2$). Следовательно, чтобы найти скорость второго лыжника, нужно из общей скорости сближения вычесть скорость первого: $v_2 = v_{сбл} - v_1 = 26 \text{ км/ч} - 12 \text{ км/ч} = 14 \text{ км/ч}$. Ответ: второй лыжник шёл со скоростью 14 км/ч.

Сравнение решений Все три задачи описывают одну и ту же ситуацию — встречное движение двух объектов. Они связаны между собой общей физической формулой, связывающей расстояние, скорость и время: $S = (v_1 + v_2) \times t$. Эти задачи являются взаимно обратными. Это означает, что в каждой из них ищется одна из величин ($S, t$ или $v_2$), в то время как остальные величины известны. В первой задаче мы находили расстояние. Во второй, используя найденное расстояние как известное, мы искали время. В третьей, зная расстояние и время, мы вычисляли скорость одного из лыжников. Числовые значения, полученные в ответах, соответствуют данным в условиях других задач. Это показывает, что, зная любые три из четырёх переменных в уравнении движения, всегда можно найти четвёртую. Решение этих задач демонстрирует различные способы применения одной и той же фундаментальной формулы.

62. Составь и реши три похожие задачи про пешеходов, которые шли навстречу друг другу со скоростями 4 км/ч и 5 км/ч и встретились через 2 ч.

В условии даны три величины: скорость первого пешехода ($v_1 = 4$ км/ч), скорость второго пешехода ($v_2 = 5$ км/ч) и время до их встречи ($t = 2$ ч). На основе этих данных можно составить три взаимосвязанные (обратные) задачи, где одна из известных величин становится неизвестной.

Задача 1: Найти расстояние

Условие: Из двух пунктов одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. Скорость первого пешехода 4 км/ч, а скорость второго — 5 км/ч. Пешеходы встретились через 2 часа. Каково было первоначальное расстояние между ними?

Решение:

1. Найдем скорость сближения пешеходов. Так как они движутся навстречу друг другу, их скорости складываются. Скорость сближения — это расстояние, на которое они становятся ближе друг к другу за один час.

$v_{сбл} = v_1 + v_2 = 4 \text{ км/ч} + 5 \text{ км/ч} = 9 \text{ км/ч}$

2. Чтобы найти первоначальное расстояние, нужно скорость сближения умножить на время, через которое они встретились.

$S = v_{сбл} \cdot t = 9 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 18 \text{ км}$

Ответ: первоначальное расстояние между пешеходами было 18 км.

Задача 2: Найти время

Условие: Из двух пунктов, расстояние между которыми 18 км, одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. Скорость первого пешехода 4 км/ч, а скорость второго — 5 км/ч. Через сколько часов пешеходы встретятся?

Решение:

1. Найдем скорость сближения пешеходов, сложив их скорости.

$v_{сбл} = v_1 + v_2 = 4 \text{ км/ч} + 5 \text{ км/ч} = 9 \text{ км/ч}$

2. Чтобы найти время до встречи, нужно общее расстояние разделить на скорость сближения.

$t = S : v_{сбл} = 18 \text{ км} : 9 \text{ км/ч} = 2 \text{ ч}$

Ответ: пешеходы встретятся через 2 часа.

Задача 3: Найти скорость одного из пешеходов

Условие: Из двух пунктов, расстояние между которыми 18 км, одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода и встретились через 2 часа. Скорость первого пешехода была 4 км/ч. С какой скоростью шел второй пешеход?

Решение:

1. Сначала найдем общую скорость сближения пешеходов, разделив расстояние на время до встречи.

$v_{сбл} = S : t = 18 \text{ км} : 2 \text{ ч} = 9 \text{ км/ч}$

2. Скорость сближения равна сумме скоростей двух пешеходов. Чтобы найти скорость второго пешехода, нужно из скорости сближения вычесть известную скорость первого пешехода.

$v_2 = v_{сбл} - v_1 = 9 \text{ км/ч} - 4 \text{ км/ч} = 5 \text{ км/ч}$

Ответ: скорость второго пешехода 5 км/ч.

6. (Устно.)

При решении этого примера необходимо соблюдать порядок действий. Согласно правилам, сначала выполняются операции умножения и деления в порядке их следования (слева направо), а затем — сложение и вычитание.

1. Первое действие — деление: $600 : 3 = 200$.

2. Второе действие — умножение: $7 \cdot 5 = 35$.

3. Третье действие — сложение результатов: $200 + 35 = 235$.

Ответ: 235

В этом выражении порядок действий изменяется из-за наличия скобок. Первым делом всегда выполняется действие в скобках.

1. Первое действие — сложение в скобках: $3 + 7 = 10$.

2. Второе действие — деление: $600 : 10 = 60$.

3. Третье действие — умножение: $60 \cdot 5 = 300$.

Ответ: 300

Здесь, как и в предыдущем примере, сначала выполняется действие в скобках, а затем остальные операции (в данном случае умножение) по порядку слева направо.

1. Первое действие — вычитание в скобках: $16 - 8 = 8$.

2. Второе действие — умножение: $40 \cdot 8 = 320$.

3. Третье действие — умножение: $320 \cdot 2 = 640$.

Ответ: 640

В этом выражении внутри скобок находятся два действия: вычитание и умножение. Согласно порядку действий, сначала выполняется умножение внутри скобок, а затем вычитание.

1. Первое действие — умножение в скобках: $8 \cdot 2 = 16$.

2. Второе действие — вычитание в скобках: $16 - 16 = 0$.

3. Третье действие — умножение за скобками: $40 \cdot 0 = 0$.

Ответ: 0

64. 8 070 · 600 5 010 − 15 900 : 100 + 786

8 070 · 600

Для решения этого примера на умножение можно использовать несколько подходов.
Способ 1: Последовательное умножение.
Можно разложить множитель 600 на $6 \cdot 100$.
1. Сначала умножим 8 070 на 6:
$8070 \cdot 6 = 48420$
2. Затем полученный результат умножим на 100. Умножение на 100 эквивалентно добавлению двух нулей в конец числа.
$48420 \cdot 100 = 4842000$
Способ 2: Умножение без нулей.
Можно временно отбросить нули в конце множителей (один ноль у 8 070 и два нуля у 600), перемножить оставшиеся числа, а затем приписать к результату общее количество отброшенных нулей (всего $1+2=3$ нуля).
1. Умножаем 807 на 6:
$807 \cdot 6 = 4842$
2. Приписываем к результату три нуля:
$4842000$
Оба способа дают одинаковый результат.
Ответ: 4 842 000.

5 010 - 15 900 : 100 + 786

Для вычисления значения этого выражения необходимо соблюдать правильный порядок выполнения арифметических действий. Согласно правилам, сначала выполняются операции умножения и деления (в порядке их следования), а затем — сложения и вычитания (также в порядке их следования слева направо).
1. Первым действием выполним деление:
$15900 : 100 = 159$
Деление на 100 равносильно отбрасыванию двух нулей в конце числа.
Теперь выражение принимает вид:
$5010 - 159 + 786$
2. Вторым действием выполним вычитание, так как оно стоит левее сложения:
$5010 - 159 = 4851$
3. Третьим и последним действием выполним сложение:
$4851 + 786 = 5637$
Ответ: 5637.

ЦЕПОЧКА:

Для решения задачи необходимо последовательно выполнить все арифметические действия, указанные в цепочке, начиная с верхнего числа 24.

Шаг 1

Первое действие — умножение. Умножаем начальное число 24 на 20.

$24 \times 20 = 480$

Шаг 2

Второе действие — вычитание. Из результата предыдущего шага (480) вычитаем 180.

$480 - 180 = 300$

Шаг 3

Третье действие — деление. Полученное число 300 делим на 5.

$300 \div 5 = 60$

Шаг 4

Четвертое действие — умножение. Результат третьего шага (60) умножаем на 80.

$60 \times 80 = 4800$

Шаг 5

Пятое действие — деление. Результат четвертого шага (4800) делим на 10.

$4800 \div 10 = 480$

Шаг 6

Шестое, заключительное действие — умножение. Результат пятого шага (480) умножаем на 5.

$480 \times 5 = 2400$

Таким образом, пройдя всю цепочку вычислений, мы получаем конечный результат.

Ответ: 2400

9 800 · 30 30 200 - 7020 : 10 · 3 + 68

9 800 · 30

Для решения данного примера выполним умножение. Чтобы упростить вычисление, можно временно отбросить нули, перемножить числа $98$ и $3$, а затем к результату приписать общее количество нулей (два от $9\ 800$ и один от $30$, итого три нуля).

1. Умножим $98$ на $3$:
$98 \cdot 3 = (90 + 8) \cdot 3 = 90 \cdot 3 + 8 \cdot 3 = 270 + 24 = 294$

2. Теперь к полученному результату $294$ припишем справа три нуля:
$294\ 000$

Таким образом, $9\ 800 \cdot 30 = 294\ 000$.

Ответ: $294\ 000$

30 200 ? 7 020 : 10 · 3 + 68

В этом выражении действия выполняются в определенном порядке: сначала деление и умножение (слева направо), а затем вычитание и сложение (также слева направо).

1. Первым действием выполним деление:
$7\ 020 : 10 = 702$

2. Вторым действием выполним умножение:
$702 \cdot 3 = 2106$

3. Теперь выражение выглядит так: $30\ 200 - 2106 + 68$. Выполним вычитание:
$30\ 200 - 2106 = 28\ 094$

4. Последнее действие — сложение:
$28\ 094 + 68 = 28\ 162$

Можно записать всю последовательность вычислений:
$30\ 200 - 7\ 020 : 10 \cdot 3 + 68 = 30\ 200 - 702 \cdot 3 + 68 = 30\ 200 - 2106 + 68 = 28\ 094 + 68 = 28\ 162$

Ответ: $28\ 162$