Страница 43, часть 1 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2 Моро, Бантова

197. Найди площади данных фигур.

197. Площадь зелёной фигуры: 6 полных квадратных сантиметров и 16 неполных квадратных сантиметров.

6 + 16 : 2 = 14 см²

Площадь красной фигуры: 5 полных квадратных сантиметров и 14 неполных квадратных сантиметров.

5 + 14 : 2 = 12 см²

Зеленая фигура

Так как зеленая фигура имеет неправильную форму, её площадь можно найти приближенно, используя метод подсчета клеток на сетке. Для этого посчитаем количество полных и неполных клеток, которые занимает фигура.

1. Сначала посчитаем количество полных клеток, которые целиком находятся внутри фигуры. На рисунке их 6.

2. Затем посчитаем количество неполных клеток, через которые проходит граница фигуры. Таких клеток на рисунке 12.

Приближенную площадь ($S$) можно вычислить по формуле, где к числу полных клеток прибавляется половина числа неполных клеток:

$S \approx (\text{количество полных клеток}) + \frac{(\text{количество неполных клеток})}{2}$

Подставим наши значения:

$S \approx 6 + \frac{12}{2} = 6 + 6 = 12$ (квадратных единиц).

Ответ: Приблизительная площадь зеленой фигуры составляет 12 квадратных единиц.

Розовая фигура

Розовая фигура является трапецией. Её площадь можно вычислить точно, используя геометрические формулы. Рассмотрим два способа.

Способ 1: По формуле площади трапеции

Площадь трапеции ($S$) находится по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — длины оснований (параллельных сторон), а $h$ — высота.

Определим размеры по клеткам (принимая сторону одной клетки за 1 единицу):

- Длина нижнего основания $a = 4$ единицы.

- Длина верхнего основания $b = 2$ единицы.

- Высота $h = 3$ единицы.

Подставим значения в формулу:

$S = \frac{4+2}{2} \cdot 3 = \frac{6}{2} \cdot 3 = 3 \cdot 3 = 9$ (квадратных единиц).

Способ 2: Разбиение на простые фигуры

Трапецию можно разбить на центральный прямоугольник и два прямоугольных треугольника по бокам.

- Площадь центрального прямоугольника с размерами 2x3 клетки: $S_{прямоугольника} = 2 \cdot 3 = 6$ кв. ед.

- Площадь левого треугольника с катетами 1 и 3 клетки: $S_{левого\_треугольника} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 3 = 1.5$ кв. ед.

- Площадь правого треугольника с катетами 1 и 3 клетки: $S_{правого\_треугольника} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 3 = 1.5$ кв. ед.

Общая площадь равна сумме площадей этих частей:

$S = S_{прямоугольника} + S_{левого\_треугольника} + S_{правого\_треугольника} = 6 + 1.5 + 1.5 = 9$ кв. ед.

Ответ: Площадь розовой фигуры составляет 9 квадратных единиц.

198. В книге 128 страниц. После того как Оля прочитала четвёртую часть книги в первый день и несколько страниц во второй, ей осталось прочитать 63 страницы. Сколько страниц этой книги Оля прочитала во второй день? Составь план решения и реши задачу.

198. Сделаем схематический чертёж.

Пояснение:

Для того чтобы узнать, сколько страниц этой книги Оля прочитала во второй день, нужно от всех страниц вычесть страницы, которые она прочитала в первый день, и страницы, которые осталось прочитать (это можно сделать разными способами). Но мы не знаем, сколько страниц Оля прочитала в первый день. Поэтому это значение находим сначала (чтобы найти четвёртую часть, нужно разделить на 4).

План решения:

1) Сколько страниц Оля прочитала в первый день.
2) Сколько страниц осталось после 1-ого дня.
3) Сколько страниц этой книги Оля прочитала во второй день.

Решение (жирный шрифт) записываем в тетрадь:

1) 128 : 4 = 32 (стр.) – в 1-й день.
2) 128 − 32 = 96 (стр.) – осталось после 1-ого дня.
3) 96 − 63 = 33 (стр.)
Ответ: 33 страницы во второй день.

Решить задачу можно другим способом. План решения будет иным.

План решения (для второго способа):

1) Сколько страниц Оля прочитала в первый день.
2) Сколько страниц вместе прочитала Оля в первый день и ей осталось прочитать.
3) Сколько страниц этой книги Оля прочитала во второй день.

Решение (2 способ) (жирный шрифт) записываем в тетрадь (по выбору):

1) 128 : 4 = 32 (стр.) – в 1-й день.
2) 63 + 32 = 95 (стр.) – осталось после 1-ого дня.
3) 128 − 95 = 33 (стр.)
Ответ: 33 страницы во второй день.

План решения:

1. Сначала нужно найти, сколько страниц Оля прочитала в первый день. Для этого разделим общее количество страниц в книге на 4.

2. Затем нужно определить, сколько всего страниц было прочитано за два дня. Для этого из общего числа страниц вычтем количество страниц, которые остались непрочитанными.

3. Наконец, чтобы найти, сколько страниц Оля прочитала во второй день, нужно из общего числа прочитанных за два дня страниц вычесть количество страниц, прочитанных в первый день.

Решение:

1. Вычислим, сколько страниц Оля прочитала в первый день. В книге 128 страниц, а она прочитала четвертую часть:

$128 : 4 = 32$ (страницы) – прочитано в первый день.

2. Узнаем, сколько всего страниц Оля прочитала за два дня. Всего в книге 128 страниц, а осталось прочитать 63:

$128 - 63 = 65$ (страниц) – прочитано за два дня.

3. Теперь найдем, сколько страниц было прочитано во второй день. Из общего количества прочитанных страниц (65) вычтем страницы, прочитанные в первый день (32):

$65 - 32 = 33$ (страницы).

Ответ: во второй день Оля прочитала 33 страницы.

ЦЕПОЧКА:

Цепочка:

1000 − 280 ∙ 10 : 100 : 6 ∙ 3 + 500

Решение

1000 − 280 = 720
720 ∙ 10 = 7200
7200 : 100 = 72
72 : 6 = 12
12 ∙ 3 = 36
36 + 500 = 536

Ответ: 536.

Для решения этой задачи необходимо последовательно выполнить все математические операции, указанные в цепочке, начиная с числа 1000.

Шаг 1. Первое действие — вычитание. Из начального числа 1000 вычитаем 280.
$1000 - 280 = 720$

Шаг 2. Второе действие — умножение. Результат предыдущего шага (720) умножаем на 10.
$720 \cdot 10 = 7200$

Шаг 3. Третье действие — деление. Полученное число 7200 делим на 100.
$7200 : 100 = 72$

Шаг 4. Четвертое действие — деление. Число 72 делим на 6.
$72 : 6 = 12$

Шаг 5. Пятое действие — умножение. Результат 12 умножаем на 3.
$12 \cdot 3 = 36$

Шаг 6. Шестое и заключительное действие — сложение. К последнему полученному числу 36 прибавляем 500.
$36 + 500 = 536$

Таким образом, конечный результат всей цепочки вычислений — 536.
Ответ: 536

В представленных примерах умножение выполнено с использованием распределительного свойства умножения относительно сложения. Этот математический закон позволяет упростить вычисления, разложив один из множителей на сумму более простых чисел (как правило, на разрядные слагаемые — десятки и единицы).

Общая формула этого свойства выглядит так: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$.

Это означает, что для умножения числа на сумму, можно умножить это число на каждое слагаемое в отдельности, а затем сложить полученные результаты.

Для выражения 12 ? 15 = 180:

1. Один из множителей, число 15, представляют в виде суммы его разрядных слагаемых: $15 = 10 + 5$.

2. Исходное выражение для умножения $12 \cdot 15$ заменяется на $12 \cdot (10 + 5)$.

3. Согласно распределительному свойству, множитель 12 умножается на каждое из слагаемых в скобках: $12 \cdot 10 + 12 \cdot 5$.

4. Выполняются два более простых действия умножения: $12 \cdot 10 = 120$ и $12 \cdot 5 = 60$.

5. Результаты этих умножений складываются, что дает конечный итог: $120 + 60 = 180$.

Ответ: 180

Для выражения 40 ? 32 = 1 280:

1. Множитель 32 раскладывается на сумму разрядных слагаемых: $32 = 30 + 2$.

2. Выражение $40 \cdot 32$ заменяется на $40 \cdot (30 + 2)$.

3. Применяется распределительное свойство: множитель 40 умножается на 30, а затем на 2, после чего результаты складываются: $40 \cdot 30 + 40 \cdot 2$.

4. Вычисляются произведения: $40 \cdot 30 = 1200$ и $40 \cdot 2 = 80$.

5. Полученные значения складываются: $1200 + 80 = 1280$.

Ответ: 1280

151. Вычисли с устным объяснением.

30 · 16. Чтобы умножить 30 на 16, можно представить 30 как произведение 3 и 10. Затем, используя сочетательное свойство умножения, сначала умножить 3 на 16, а после этого полученный результат умножить на 10.
1. Вычислим произведение 3 и 16: $3 \cdot 16 = 48$.
2. Умножим результат на 10: $48 \cdot 10 = 480$.
Таким образом, $30 \cdot 16 = 480$.
Ответ: 480

15 · 42. Для удобства вычисления можно применить распределительное свойство умножения. Разложим число 42 на сумму разрядных слагаемых $40 + 2$.
$15 \cdot 42 = 15 \cdot (40 + 2) = 15 \cdot 40 + 15 \cdot 2$.
1. Вычислим первое произведение: $15 \cdot 40 = 600$.
2. Вычислим второе произведение: $15 \cdot 2 = 30$.
3. Сложим полученные результаты: $600 + 30 = 630$.
Ответ: 630

36 · 11. Для умножения на 11 удобно представить число 11 в виде суммы $10 + 1$ и применить распределительное свойство.
$36 \cdot 11 = 36 \cdot (10 + 1) = 36 \cdot 10 + 36 \cdot 1$.
1. Умножим 36 на 10: $36 \cdot 10 = 360$.
2. Умножим 36 на 1: $36 \cdot 1 = 36$.
3. Сложим результаты: $360 + 36 = 396$.
Ответ: 396

60 · 42. Этот пример решается аналогично первому. Умножим 6 на 42, а затем результат умножим на 10.
1. Чтобы умножить 6 на 42, разложим 42 на сумму $40 + 2$: $6 \cdot (40 + 2) = 6 \cdot 40 + 6 \cdot 2 = 240 + 12 = 252$.
2. Умножим полученный результат на 10: $252 \cdot 10 = 2520$.
Таким образом, $60 \cdot 42 = 2520$.
Ответ: 2520

70 · 25. В этом примере удобно использовать переместительное свойство умножения и поменять множители местами ($25 \cdot 70$), а затем умножить 25 на 7 и результат умножить на 10.
1. Умножим 25 на 7: $25 \cdot 7 = 175$.
2. Умножим полученное число на 10: $175 \cdot 10 = 1750$.
Таким образом, $70 \cdot 25 = 1750$.
Ответ: 1750

152. Выполни действия и сравни приёмы вычислений.

35 · 14 = 35 · (10 + 4)
Для решения этого примера используется распределительное свойство умножения относительно сложения (умножение числа на сумму). Чтобы умножить число на сумму, нужно умножить это число на каждое слагаемое, а затем сложить полученные произведения.
$35 \cdot (10 + 4) = 35 \cdot 10 + 35 \cdot 4$
$35 \cdot 10 = 350$
$35 \cdot 4 = 140$
$350 + 140 = 490$
Ответ: 490

35 · 40 = 35 · (4 · 10)
Здесь используется сочетательное свойство умножения (умножение числа на произведение). Чтобы умножить число на произведение, можно сначала умножить это число на первый множитель, а затем полученный результат умножить на второй множитель. Этот приём удобен при умножении на круглые числа.
$35 \cdot (4 \cdot 10) = (35 \cdot 4) \cdot 10$
$35 \cdot 4 = 140$
$140 \cdot 10 = 1400$
Ответ: 1400

16 · 20 = 16 · (2 · 10)
Как и в предыдущем примере, здесь применяется приём умножения числа на произведение, основанный на сочетательном свойстве умножения. Множитель 20 представляется в виде произведения $2 \cdot 10$.
$16 \cdot (2 \cdot 10) = (16 \cdot 2) \cdot 10$
$16 \cdot 2 = 32$
$32 \cdot 10 = 320$
Ответ: 320

16 · 12 = 16 · (10 + 2)
В этом примере, как и в первом, используется приём умножения числа на сумму (распределительное свойство). Множитель 12 представляется в виде суммы разрядных слагаемых $10 + 2$.
$16 \cdot (10 + 2) = 16 \cdot 10 + 16 \cdot 2$
$16 \cdot 10 = 160$
$16 \cdot 2 = 32$
$160 + 32 = 192$
Ответ: 192

Сравнение приёмов вычислений
В задании используются два разных приёма устного умножения, основанных на свойствах умножения:
1. Умножение числа на сумму (распределительное свойство): $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$. Этот приём удобен, когда один из множителей легко представить в виде суммы удобных слагаемых (часто — разрядных слагаемых), как в примерах $35 \cdot 14$ и $16 \cdot 12$.
2. Умножение числа на произведение (сочетательное свойство): $a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$. Этот приём удобен при умножении на круглые числа (оканчивающиеся на ноль), которые легко представить в виде произведения, как в примерах $35 \cdot 40$ и $16 \cdot 20$.
Таким образом, выбор приёма зависит от чисел в примере. Для умножения на "некруглое" двузначное число удобнее разложить его на сумму, а для умножения на круглое число — на произведение.

70 · 12
Для решения этого примера умножения воспользуемся распределительным свойством умножения. Представим число 12 в виде суммы десятков и единиц: $12 = 10 + 2$.
Теперь умножим 70 на каждое из слагаемых по очереди:
$70 \cdot 12 = 70 \cdot (10 + 2) = 70 \cdot 10 + 70 \cdot 2$
Вычислим каждое произведение:
$70 \cdot 10 = 700$
$70 \cdot 2 = 140$
Сложим полученные результаты, чтобы найти итоговое произведение:
$700 + 140 = 840$
Ответ: 840

70 · 20
Чтобы найти произведение чисел 70 и 20, можно воспользоваться правилом умножения круглых чисел. Сначала перемножим их значащие части (цифры без нулей):
$7 \cdot 2 = 14$
Затем посчитаем общее количество нулей в обоих множителях. В числе 70 один ноль, и в числе 20 один ноль, итого два нуля. Припишем эти два нуля к полученному результату (14):
$1400$
Таким образом, $70 \cdot 20 = 1400$.
Ответ: 1400

15 · 13
Для вычисления произведения $15 \cdot 13$ применим распределительное свойство. Разложим число 13 на сумму слагаемых $10 + 3$:
$15 \cdot 13 = 15 \cdot (10 + 3)$
Теперь умножим 15 на 10 и на 3 по отдельности:
$15 \cdot 10 + 15 \cdot 3$
Выполним вычисления:
$15 \cdot 10 = 150$
$15 \cdot 3 = 45$
Сложим полученные числа:
$150 + 45 = 195$
Ответ: 195

15 · 30
Чтобы вычислить произведение $15 \cdot 30$, можно представить число 30 как $3 \cdot 10$.
Тогда выражение примет вид:
$15 \cdot (3 \cdot 10)$
Используя сочетательное свойство умножения, можно сначала умножить 15 на 3, а затем результат умножить на 10:
$(15 \cdot 3) \cdot 10$
Выполним умножение в скобках:
$15 \cdot 3 = 45$
Теперь умножим полученный результат на 10:
$45 \cdot 10 = 450$
Ответ: 450

154. Экскаватором можно выкопать за 1 ч канаву длиной 20 м. Одну канаву копали 10 ч, а другую − 12 ч. Найди общую длину канав, которые выкопали за это время.

Реши задачу разными способами. Сравни их и выбери самый удобный.

Реши задачу разными способами.

Способ 1: Найти длину каждой канавы отдельно и сложить.

1. Вычислим длину первой канавы. Экскаватор работал 10 часов с производительностью 20 метров в час.
$10 \text{ ч} \times 20 \text{ м/ч} = 200 \text{ м}$

2. Вычислим длину второй канавы. Экскаватор работал 12 часов с той же производительностью.
$12 \text{ ч} \times 20 \text{ м/ч} = 240 \text{ м}$

3. Найдем общую длину, сложив длины обеих канав.
$200 \text{ м} + 240 \text{ м} = 440 \text{ м}$

Способ 2: Найти общее время работы и вычислить общую длину.

1. Вычислим общее время, затраченное на копку обеих канав.
$10 \text{ ч} + 12 \text{ ч} = 22 \text{ ч}$

2. Умножим общее время на производительность экскаватора, чтобы найти общую длину.
$22 \text{ ч} \times 20 \text{ м/ч} = 440 \text{ м}$

Ответ: общая длина канав, которые выкопали за это время, составляет 440 метров.

Сравни их и выбери самый удобный.

Оба способа приводят к одному и тому же правильному результату. Они иллюстрируют распределительное свойство умножения относительно сложения: $a \times (b + c) = a \times b + a \times c$.

В нашем случае это выглядит так: $20 \times (10 + 12) = 20 \times 10 + 20 \times 12$.

Первый способ ($20 \times 10 + 20 \times 12$) требует выполнения двух действий умножения и одного действия сложения.

Второй способ ($(10 + 12) \times 20$) требует выполнения одного действия сложения и одного действия умножения.

С точки зрения количества вычислений, второй способ является более эффективным и удобным, так как он содержит меньше арифметических действий. Сложить два числа и затем умножить результат, как правило, проще, чем выполнять два умножения и последующее сложение.

Ответ: второй способ является самым удобным, так как он требует меньше вычислений.

155. В рыбном хозяйстве в одном пруду вырастили по 7 кг карпа на 1 м² площади пруда и получили 67 200 кг рыбы, а в другом пруду − по 8 кг карпа на 1 м² площади и получили 61 600 кг рыбы. На сколько квадратных метров площадь одного пруда больше площади другого?

Для того чтобы определить, на сколько квадратных метров площадь одного пруда больше площади другого, нужно сначала вычислить площадь каждого пруда в отдельности. Площадь пруда рассчитывается путем деления общего веса выловленной рыбы на ее массу с одного квадратного метра.

1. Вычисление площади первого пруда.
В первом пруду было выращено 67 200 кг карпа, при этом с 1 м? получали по 7 кг рыбы. Чтобы найти площадь, разделим общий вес на вес с 1 м?:
$S_1 = 67200 \text{ кг} \div 7 \text{ кг/м?} = 9600 \text{ м?}$

2. Вычисление площади второго пруда.
Во втором пруду было выращено 61 600 кг карпа, а с 1 м? получали по 8 кг рыбы. Рассчитаем площадь второго пруда аналогичным образом:
$S_2 = 61600 \text{ кг} \div 8 \text{ кг/м?} = 7700 \text{ м?}$

3. Нахождение разницы площадей.
Теперь, когда мы знаем площади обоих прудов (9600 м? и 7700 м?), мы можем найти разницу между ними, вычтя из большей площади меньшую.
$9600 \text{ м?} - 7700 \text{ м?} = 1900 \text{ м?}$

Ответ: площадь одного пруда больше площади другого на 1900 м?.

156. 1) Сколько килограммов в одной десятой части тонны? в одной пятой части центнера?

2) Сколько сантиметров в одной десятой части метра?

1)

Эта задача состоит из двух частей.

Сколько килограммов в одной десятой части тонны?
Для ответа на этот вопрос нужно знать, что в одной тонне содержится 1000 килограммов.
$1 \text{ тонна} = 1000 \text{ кг}$
Чтобы найти одну десятую часть ($ \frac{1}{10} $) от этого значения, необходимо 1000 кг разделить на 10.
$1000 \text{ кг} \div 10 = 100 \text{ кг}$

Сколько килограммов в одной пятой части центнера?
Для ответа на этот вопрос нужно знать, что в одном центнере содержится 100 килограммов.
$1 \text{ центнер} = 100 \text{ кг}$
Чтобы найти одну пятую часть ($ \frac{1}{5} $) от этого значения, необходимо 100 кг разделить на 5.
$100 \text{ кг} \div 5 = 20 \text{ кг}$
Ответ: в одной десятой части тонны 100 килограммов; в одной пятой части центнера 20 килограммов.

2)

Сколько сантиметров в одной десятой части метра?
Для ответа на этот вопрос нужно знать, что в одном метре содержится 100 сантиметров.
$1 \text{ метр} = 100 \text{ см}$
Чтобы найти одну десятую часть ($ \frac{1}{10} $) от этого значения, необходимо 100 см разделить на 10.
$100 \text{ см} \div 10 = 10 \text{ см}$
Ответ: в одной десятой части метра 10 сантиметров.

157. 1) Сколько квадратных метров в одной второй 1 км²?

2) Сколько квадратных дециметров в одной второй 1 м²?

1) Сколько квадратных метров в одной второй 1 км??

Для решения этой задачи сначала необходимо узнать, сколько квадратных метров содержится в одном квадратном километре. В одном линейном километре 1000 метров.

$1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$

Чтобы вычислить площадь, мы должны перемножить длину на ширину. Для одного квадратного километра это будет:

$1 \text{ км}^2 = 1 \text{ км} \times 1 \text{ км} = 1000 \text{ м} \times 1000 \text{ м} = 1\ 000\ 000 \text{ м}^2$

Теперь, чтобы найти "одну вторую" от этого значения, нужно разделить полученное число на 2:

$1\ 000\ 000 \text{ м}^2 : 2 = 500\ 000 \text{ м}^2$

Ответ: 500 000 м?.

2) Сколько квадратных дециметров в одной второй 1 м??

Действуем по аналогии с предыдущей задачей. Сначала выясним, сколько квадратных дециметров в одном квадратном метре. В одном метре 10 дециметров.

$1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$

Чтобы найти площадь в квадратных дециметрах, перемножим стороны квадрата длиной 1 метр:

$1 \text{ м}^2 = 1 \text{ м} \times 1 \text{ м} = 10 \text{ дм} \times 10 \text{ дм} = 100 \text{ дм}^2$

Теперь найдем "одну вторую" от 100 квадратных дециметров, разделив это число на 2:

$100 \text{ дм}^2 : 2 = 50 \text{ дм}^2$

Ответ: 50 дм?.

$72 360 : 90$

Для решения этого примера на деление можно упростить задачу, убрав по одному нулю у делимого и делителя. Это эквивалентно делению обоих чисел на 10, что не изменит итоговый результат.
$72 360 : 90 = 7 236 : 9$
Далее выполним деление в столбик:
1. Делим первое неполное делимое 72 на 9. Получаем 8. Записываем 8 в частное.
2. Сносим следующую цифру, 3. Так как 3 меньше 9, в частное записываем 0.
3. Сносим следующую цифру, 6. Получаем число 36. Делим 36 на 9, получаем 4. Записываем 4 в частное.
В результате получаем:
$7 236 : 9 = 804$

Ответ: 804

$807 \cdot 600$

Чтобы найти произведение этих чисел, можно выполнить умножение пошагово:
1. Умножим 807 на 6, не обращая внимания на нули:
$807 \cdot 6 = (800 + 7) \cdot 6 = 800 \cdot 6 + 7 \cdot 6 = 4800 + 42 = 4842$
2. Теперь к полученному результату 4842 нужно приписать два нуля, так как мы умножали на 600, а не на 6:
$4842 \cdot 100 = 484 200$

Ответ: 484 200

$259 600 : 8 \cdot 9 - 8 130 : 30$

Для решения этого выражения необходимо соблюдать порядок действий: сначала выполняются умножение и деление (слева направо), а затем вычитание.
1. Выполним первое действие (деление):
$259 600 : 8 = 32 450$
2. Выполним второе действие (умножение):
$32 450 \cdot 9 = 292 050$
3. Выполним третье действие (деление во второй части выражения):
$8 130 : 30 = 813 : 3 = 271$
4. Выполним последнее действие (вычитание). Из результата второго действия вычтем результат третьего:
$292 050 - 271 = 291 779$

Ответ: 291 779

159. Рассмотри круги на рисунках 1 и 2. По каким признакам круги на рисунках 1 и 2 похожи? По каким различаются?

Поскольку в задании отсутствуют сами рисунки 1 и 2, мы решим задачу для наиболее типичного случая. Обычно в таких заданиях используются круги, разделенные на равные части, некоторые из которых закрашены, для иллюстрации понятия дробей. На основе этого предположения проанализируем возможные сходства и различия.

По каким признакам круги на рисунках 1 и 2 похожи?

Круги могут иметь следующие общие признаки:

• Форма. Оба объекта являются геометрическими фигурами — кругами.
• Размер. Круги могут быть одинакового размера, то есть иметь равные радиусы и, как следствие, равные площади.
• Наличие деления на части. Оба круга могут быть разделены на равные доли (секторы).
• Равенство закрашенных долей. Это ключевое сходство в задачах на дроби. Круги могут представлять одну и ту же часть целого, даже если разделены на разное количество секторов. Например, на одном рисунке закрашена $1$ часть из $2$ (дробь $1/2$), а на втором — $2$ части из $4$ (дробь $2/4$). Визуально и математически это одна и та же доля, так как $1/2 = 2/4$.

Ответ: Общими признаками могут быть: одинаковая геометрическая форма (круг), одинаковый размер (радиус), наличие деления на равные части, одинаковая доля закрашенной площади (равные дроби).

По каким различаются?

Различия между кругами могут быть следующими:

• Размер. Один круг может быть больше другого (иметь больший радиус).
• Количество равных частей. Круги могут быть разделены на разное общее количество секторов. Например, первый круг разделен на 3 части, а второй — на 6 частей.
• Количество закрашенных частей. Число закрашенных секторов может отличаться. Это приводит к тому, что круги представляют разные дроби. Например, в одном круге закрашено $3$ части из $8$ ($3/8$), а в другом — $5$ частей из $8$ ($5/8$).
• Размер отдельных частей. Если два круга одинакового размера разделены на разное количество частей, то и размер этих частей (секторов) будет разным. Например, сектор, равный $1/4$ круга, по площади больше, чем сектор, равный $1/6$ того же круга.
• Цвет. Закрашенные части или сами линии кругов могут быть разного цвета.

Ответ: Различиями могут быть: размер (радиус) кругов, общее количество частей, на которые разделен круг, число закрашенных частей (и, соответственно, значение дроби), размер отдельных секторов, цвет.

160. Узнай, какое число задумано.

1) Если задуманное число увеличить в 2 раза, а результат увеличить на 20, то получится 120.

2) Если задуманное число уменьшить в 3 раза, а результат уменьшить на 30, то получится 60.

1) Чтобы найти задуманное число, можно решить задачу с конца или составить уравнение. Составим уравнение. Пусть задуманное число — это $x$.
По условию, число увеличили в 2 раза, что можно записать как $x \cdot 2$.
Затем результат увеличили на 20, то есть $(x \cdot 2) + 20$.
В итоге получилось 120. Получаем следующее уравнение:
$(x \cdot 2) + 20 = 120$
Чтобы найти неизвестное слагаемое $(x \cdot 2)$, вычтем из суммы 120 известное слагаемое 20:
$x \cdot 2 = 120 - 20$
$x \cdot 2 = 100$
Теперь, чтобы найти неизвестный множитель $x$, разделим произведение 100 на известный множитель 2:
$x = 100 : 2$
$x = 50$
Проверка: если задуманное число 50 увеличить в 2 раза, получится $50 \cdot 2 = 100$. Если результат увеличить на 20, получится $100 + 20 = 120$. Решение верное.
Ответ: 50

2) Решим эту задачу аналогично, составив уравнение. Пусть задуманное число — это $y$.
По условию, число уменьшили в 3 раза, что можно записать как $y : 3$.
Затем результат уменьшили на 30, то есть $(y : 3) - 30$.
В итоге получилось 60. Составим уравнение:
$(y : 3) - 30 = 60$
Чтобы найти уменьшаемое $(y : 3)$, нужно к разности 60 прибавить вычитаемое 30:
$y : 3 = 60 + 30$
$y : 3 = 90$
Теперь, чтобы найти делимое $y$, нужно частное 90 умножить на делитель 3:
$y = 90 \cdot 3$
$y = 270$
Проверка: если задуманное число 270 уменьшить в 3 раза, получится $270 : 3 = 90$. Если результат уменьшить на 30, получится $90 - 30 = 60$. Решение верное.
Ответ: 270

49 210 : 70

Чтобы упростить деление, можно сократить делимое и делитель на 10, убрав по одному нулю в каждом числе. Это не изменит результат.

$49210 : 70 = 4921 : 7$

Теперь выполним деление в столбик:

1. Делим первое неполное делимое 49 на 7. Получаем 7. Записываем 7 в частное. Остаток 0.

2. Сносим следующую цифру делимого, 2. Так как 2 меньше 7, в частное записываем 0. Остаток 2.

3. Сносим следующую цифру, 1. Получаем число 21. Делим 21 на 7. Получаем 3. Записываем 3 в частное. Остаток 0.

В результате получаем 703.

Проверим решение: $703 \cdot 70 = 49210$.

Ответ: 703

980 · 400

Чтобы умножить круглые числа, можно сначала перемножить числа без учета нулей, а затем к результату приписать общее количество нулей из обоих множителей.

1. Умножаем 98 на 4:

$98 \cdot 4 = 392$

2. В числах 980 и 400 в сумме три нуля (один у 980 и два у 400). Приписываем эти три нуля к результату:

392 000

Альтернативный способ записи:

$980 \cdot 400 = (98 \cdot 10) \cdot (4 \cdot 100) = (98 \cdot 4) \cdot (10 \cdot 100) = 392 \cdot 1000 = 392000$

Ответ: 392 000

558 720 : 9 · 5 – 6 140 : 20

Решим выражение, соблюдая порядок действий: сначала выполняются умножение и деление (слева направо), а затем вычитание.

1. Первое действие (деление):

$558720 : 9 = 62080$

2. Второе действие (умножение):

$62080 \cdot 5 = 310400$

3. Третье действие (деление):

$6140 : 20 = 614 : 2 = 307$

4. Четвертое действие (вычитание):

$310400 - 307 = 310093$

Ответ: 310 093