Страница 40, часть 1 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2 Моро, Бантова

176. Вырази:
1) в квадратных метрах: 5 км², 500 дм²;
2) в квадратных миллиметрах: 8 см², 3 см² 20 мм²;
3) в квадратных сантиметрах: 2 дм², 3 м²;
4) в квадратных дециметрах: 7 м², 900 см².

176.

1) в квадратных метрах: 5 км?, 500 дм?

Для решения этой задачи нужно перевести заданные величины площади в квадратные метры (м?). Для этого вспомним основные соотношения единиц площади.

Перевод 5 км? в м?:
В одном километре 1000 метров ($1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$).
Следовательно, один квадратный километр — это площадь квадрата со стороной 1 км, и в квадратных метрах она равна:
$1 \text{ км}^2 = (1000 \text{ м})^2 = 1\,000\,000 \text{ м}^2$.
Чтобы перевести 5 км? в м?, умножим это значение на 5:
$5 \text{ км}^2 = 5 \times 1\,000\,000 \text{ м}^2 = 5\,000\,000 \text{ м}^2$.

Перевод 500 дм? в м?:
В одном метре 10 дециметров ($1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$).
Следовательно, один квадратный метр равен:
$1 \text{ м}^2 = (10 \text{ дм})^2 = 100 \text{ дм}^2$.
Чтобы перевести квадратные дециметры в квадратные метры, нужно разделить их количество на 100:
$500 \text{ дм}^2 = 500 \div 100 \text{ м}^2 = 5 \text{ м}^2$.

Ответ: $5 \text{ км}^2 = 5\,000\,000 \text{ м}^2$; $500 \text{ дм}^2 = 5 \text{ м}^2$.

2) в квадратных миллиметрах: 8 см?, 3 см? 20 мм?

Здесь необходимо выполнить перевод в квадратные миллиметры (мм?).

Перевод 8 см? в мм?:
В одном сантиметре 10 миллиметров ($1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$).
Значит, один квадратный сантиметр равен:
$1 \text{ см}^2 = (10 \text{ мм})^2 = 100 \text{ мм}^2$.
Умножаем заданное значение на 100:
$8 \text{ см}^2 = 8 \times 100 \text{ мм}^2 = 800 \text{ мм}^2$.

Перевод 3 см? 20 мм? в мм?:
Эта величина составная. Сначала переведем квадратные сантиметры в квадратные миллиметры, а затем прибавим оставшиеся квадратные миллиметры.
$3 \text{ см}^2 = 3 \times 100 \text{ мм}^2 = 300 \text{ мм}^2$.
Теперь сложим полученное значение с 20 мм?:
$3 \text{ см}^2 20 \text{ мм}^2 = 300 \text{ мм}^2 + 20 \text{ мм}^2 = 320 \text{ мм}^2$.

Ответ: $8 \text{ см}^2 = 800 \text{ мм}^2$; $3 \text{ см}^2 20 \text{ мм}^2 = 320 \text{ мм}^2$.

3) в квадратных сантиметрах: 2 дм?, 3 м?

В этом пункте нужно выразить величины в квадратных сантиметрах (см?).

Перевод 2 дм? в см?:
В одном дециметре 10 сантиметров ($1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$).
Следовательно, один квадратный дециметр равен:
$1 \text{ дм}^2 = (10 \text{ см})^2 = 100 \text{ см}^2$.
Для перевода 2 дм? в см? умножим 2 на 100:
$2 \text{ дм}^2 = 2 \times 100 \text{ см}^2 = 200 \text{ см}^2$.

Перевод 3 м? в см?:
В одном метре 100 сантиметров ($1 \text{ м} = 100 \text{ см}$).
Следовательно, один квадратный метр равен:
$1 \text{ м}^2 = (100 \text{ см})^2 = 10\,000 \text{ см}^2$.
Умножаем 3 на 10 000, чтобы получить результат:
$3 \text{ м}^2 = 3 \times 10\,000 \text{ см}^2 = 30\,000 \text{ см}^2$.

Ответ: $2 \text{ дм}^2 = 200 \text{ см}^2$; $3 \text{ м}^2 = 30\,000 \text{ см}^2$.

4) в квадратных дециметрах: 7 м?, 900 см?

Здесь необходимо выполнить перевод в квадратные дециметры (дм?).

Перевод 7 м? в дм?:
В одном метре 10 дециметров ($1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$).
Значит, один квадратный метр равен:
$1 \text{ м}^2 = (10 \text{ дм})^2 = 100 \text{ дм}^2$.
Чтобы перевести 7 м? в дм?, умножим 7 на 100:
$7 \text{ м}^2 = 7 \times 100 \text{ дм}^2 = 700 \text{ дм}^2$.

Перевод 900 см? в дм?:
В одном дециметре 10 сантиметров ($1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$).
Следовательно, один квадратный дециметр равен:
$1 \text{ дм}^2 = (10 \text{ см})^2 = 100 \text{ см}^2$.
Чтобы перевести квадратные сантиметры в квадратные дециметры, нужно разделить их количество на 100:
$900 \text{ см}^2 = 900 \div 100 \text{ дм}^2 = 9 \text{ дм}^2$.

Ответ: $7 \text{ м}^2 = 700 \text{ дм}^2$; $900 \text{ см}^2 = 9 \text{ дм}^2$.

176. 1) Расстояние между двумя городами 420 км. Поезду на пути из одного города в другой осталось пройти 180 км. На сколько километров больше поезд прошёл, чем ему осталось пройти?

2) Когда от мотка тесьмы отрезали 3 раза по 2 м, в нём осталось d м. Запиши выражение, которое обозначает, сколько метров тесьмы было в мотке сначала.

177. 1) Сделаем схематический чертёж:

Пояснение:

Для того чтобы узнать, на сколько километров больше поезд прошел, чем ему осталось пройти, нужно вычитанием сравнить эти значения. Но мы не знаем, сколько километров поезд прошел. Поэтому сначала найдём это значение. Для этого от всего расстояния вычтем расстояние, которое прошёл поезд.

Затем ответим на вопрос задачи.

Решение (жирный шрифт) записываем в тетрадь:

1) 420 − 180 = 240 (км) – прошёл поезд.
2) 240 − 180 = 60 (км)
Ответ: на 60 км больше прошёл, чем осталось.

2) Сделаем схематический чертёж:

Пояснение:

Для того чтобы узнать, сколько метров тесьмы было в мотке сначала, нужно сложить все отрезки, которые отрезали и тот отрезок, что остался. Так как отрезали одинаковые куски, то сложение можно заменить умножением (2 + 2 + 2 = 2 ∙ 3)

Решение (жирный шрифт) записываем в тетрадь:

2 ∙ 3 + d – было в мотке сначала.

1)Чтобы найти, на сколько километров больше поезд прошёл, чем ему осталось пройти, нужно выполнить два действия.
Сначала определим, какое расстояние поезд уже преодолел. Для этого из общего расстояния между городами вычтем то расстояние, которое осталось пройти:
$420 - 180 = 240$ (км) — расстояние, которое поезд уже прошёл.
Теперь, зная пройденное расстояние (240 км) и оставшееся (180 км), мы можем найти их разницу. Для этого из большего значения вычтем меньшее:
$240 - 180 = 60$ (км).
Ответ: поезд прошёл на 60 километров больше, чем ему осталось пройти.

2)Чтобы составить выражение, обозначающее первоначальную длину тесьмы, нужно сложить общую длину всех отрезанных кусков и длину оставшейся части.
Найдём общую длину отрезанной тесьмы. Так как от мотка отрезали 3 раза по 2 метра, общая длина отрезанной части составит:
$3 \times 2 = 6$ (м).
Известно, что в мотке осталось $d$ метров. Первоначальная длина тесьмы — это сумма отрезанной и оставшейся частей. Составим выражение:
$6 + d$ или $3 \times 2 + d$.
Ответ: выражение, которое обозначает, сколько метров тесьмы было в мотке сначала, — $3 \times 2 + d$.

178.

178. Напомним порядок действий в выражениях:

При вычислении числовых выражений сначала выполняют действия умножения и деления, а затем сложения и вычитания, слева направо. При наличии скобок вычисляют сначала значение выражения в них.
Если выражение содержит несколько пар скобок, то сначала находят значения выражений в скобках (слева направо), а затем выполняют действия по первым двум правилам.

Вспомним правило:

Чтобы число уменьшить в 100 раз, достаточно справа отбросить 2 нуля.

Чтобы число увеличить в 100 раз, достаточно справа приписать 2 нуля.

$954 \stackrel{\mathit{1}}{:} 3 \stackrel{\mathit{3}}{+} 512 \stackrel{\mathit{2}}{:} 4 = 446$

$234 \stackrel{\mathit{1}}{·} 4 \stackrel{\mathit{3}}{-} 147 \stackrel{\mathit{2}}{·} 5 = 201$

$954 : 3 + 512 : 4$

Согласно порядку выполнения действий, вначале выполняются действия деления, а затем сложение.
1. Первое действие (деление): $954 : 3 = 318$
2. Второе действие (деление): $512 : 4 = 128$
3. Третье действие (сложение): $318 + 128 = 446$
Ответ: 446

$234 \cdot 4 - 147 \cdot 5$

Согласно порядку выполнения действий, вначале выполняются действия умножения, а затем вычитание.
1. Первое действие (умножение): $234 \cdot 4 = 936$
2. Второе действие (умножение): $147 \cdot 5 = 735$
3. Третье действие (вычитание): $936 - 735 = 201$
Ответ: 201

$672 : 8 - 441 : 9$

Согласно порядку выполнения действий, вначале выполняются действия деления, а затем вычитание.
1. Первое действие (деление): $672 : 8 = 84$
2. Второе действие (деление): $441 : 9 = 49$
3. Третье действие (вычитание): $84 - 49 = 35$
Ответ: 35

$8 \cdot 8 : 16$

Действия умножения и деления имеют одинаковый приоритет, поэтому выполняем их последовательно слева направо.
1. Первое действие (умножение): $8 \cdot 8 = 64$
2. Второе действие (деление): $64 : 16 = 4$
Ответ: 4

$9 \cdot 8 : 12$

Действия умножения и деления выполняем последовательно слева направо.
1. Первое действие (умножение): $9 \cdot 8 = 72$
2. Второе действие (деление): $72 : 12 = 6$
Ответ: 6

$7 \cdot 8 : 14$

Действия умножения и деления выполняем последовательно слева направо.
1. Первое действие (умножение): $7 \cdot 8 = 56$
2. Второе действие (деление): $56 : 14 = 4$
Ответ: 4

$45 000 : 100$

Чтобы разделить число на 100, необходимо убрать два нуля в конце числа.
$45 000 : 100 = 450$
Ответ: 450

$6 000 \cdot 100$

Чтобы умножить число на 100, необходимо приписать два нуля в конце числа.
$6 000 \cdot 100 = 600 000$
Ответ: 600 000

$6 000 + 100$

Выполняем простое сложение.
$6 000 + 100 = 6 100$
Ответ: 6 100

179. Выполни деление с остатком и проверь решение.

179.

Объяснение вычислений:

953 : 8

Делю сотни: сотен 9 . Разделю 9 на 8. В частном будет 1 сотня. Умножаю 1 ∙ 8 = 8 сотен. Вычитаю 9 − 8 = 1. Сравниваю остаток с делителем: число оставшихся десятков меньше, чем 8; можно продолжать деление.

Делю десятки: 1 сотня и 5 десятков – это 15 десятков. Разделю 15 на 8. В частном будет 1 десяток. Умножаю 1 ∙ 8 = 8 десятков. Вычитаю 15 − 8 = 7. Сравниваю остаток с делителем: число оставшихся десятков меньше, чем 8; можно продолжать деление.

Делю единицы: 7 десятков и 3 единицы – это 73 единицы. Делю 73 на 8. В частном будет 9 единиц. Умножаю 9 ∙ 8 = 72. Вычитаю 73 − 72 = 1. Сравниваю остаток с делителем: число оставшихся единиц меньше, чем 8. Деление закончено.

Ответ: 119 остаток 1.

Проверять нужно по правилам:

1. При делении остаток всегда должен быть меньше делителя. Если остаток больше делителя или равен ему, то при решении допущена ошибка.
2. Нужно делитель умножить на частное.
3. К полученному результату прибавить остаток. Если не получилось делимое, то при решении допущена ошибка.

Объяснение вычислений:

879 : 6

Делю сотни: сотен 8 . Разделю 8 на 6. В частном будет 1 сотня. Умножаю 1 ∙ 6 = 6 сотен. Вычитаю 8 − 6 = 2. Сравниваю остаток с делителем: число оставшихся десятков меньше, чем 6; можно продолжать деление.

Делю десятки: 2 сотни и 7 десятков – это 27 десятков. Разделю 27 на 6. В частном будет 4 десятка. Умножаю 4 ∙ 6 = 24 десятка. Вычитаю 27 − 24 = 3. Сравниваю остаток с делителем: число оставшихся десятков меньше, чем 6; можно продолжать деление.

Делю единицы: 3 десятка и 9 единиц – это 39 единиц. Делю 39 на 6. В частном будет 6 единиц. Умножаю 6 ∙ 6 = 36. Вычитаю 39 − 36 = 3. Сравниваю остаток с делителем: число оставшихся единиц меньше, чем 6. Деление закончено.

Ответ: 146 остаток 3.

Проверять нужно по правилам:

1. При делении остаток всегда должен быть меньше делителя. Если остаток больше делителя или равен ему, то при решении допущена ошибка.
2. Нужно делитель умножить на частное.
3. К полученному результату прибавить остаток. Если не получилось делимое, то при решении допущена ошибка.

Объяснение вычислений:

809 : 7

Делю сотни: сотен 8. Разделю 8 на 7. В частном будет 1 сотня. Умножаю 1 ∙ 7 = 7 сотен. Вычитаю 8 − 7 = 1. Сравниваю остаток с делителем: число оставшихся десятков меньше, чем 7; можно продолжать деление.

Делю десятки: 1 сотня и 0 десятков – это 10 десятков. Разделю 10 на 7. В частном будет 1 десяток. Умножаю 1 ∙ 7 = 7 десятков. Вычитаю 10 − 7 = 3. Сравниваю остаток с делителем: число оставшихся десятков меньше, чем 7; можно продолжать деление.

Делю единицы: 3 десятка и 9 единиц – это 39 единиц. Делю 39 на 7. В частном будет 5 единиц. Умножаю 5 ∙ 7 = 35. Вычитаю 39 − 35 = 5. Сравниваю остаток с делителем: число оставшихся единиц меньше, чем 7. Деление закончено.

Ответ: 115 остаток 4.

Проверять нужно по правилам:

1. При делении остаток всегда должен быть меньше делителя. Если остаток больше делителя или равен ему, то при решении допущена ошибка.
2. Нужно делитель умножить на частное.
3. К полученному результату прибавить остаток. Если не получилось делимое, то при решении допущена ошибка.

Объяснение вычислений:

968 : 9

Делю сотни: сотен 9. Разделю 9 на 9. В частном будет 1 сотня. Умножаю 1 ∙ 9 = 9 сотен. Вычитаю 9 − 9 = 0. Сотни разделили все.

Делю десятки: 6 десятков, но 6 десятков нельзя разделить на 9 так, чтобы в частном получились десятки. В частном на месте десятков пишу 0.

Делю единицы: 6 десятков и 8 единиц – это 68 единиц. Делю 68 на 9. В частном будет 7 единиц. Умножаю 7 ∙ 9 = 63. Вычитаю 68 − 63 = 5. Сравниваю остаток с делителем: число оставшихся единиц меньше, чем 9. Деление закончено.

Ответ: 107 остаток 5.

Проверять нужно по правилам:

1. При делении остаток всегда должен быть меньше делителя. Если остаток больше делителя или равен ему, то при решении допущена ошибка.
2. Нужно делитель умножить на частное.
3. К полученному результату прибавить остаток. Если не получилось делимое, то при решении допущена ошибка.

80 : 9
Чтобы разделить 80 на 9 с остатком, найдем наибольшее число до 80, которое делится на 9 без остатка. Это число 72.
$72 : 9 = 8$. Это неполное частное.
Теперь найдем остаток: $80 - 72 = 8$.
Остаток (8) меньше делителя (9), значит деление выполнено верно.
Получаем: $80 : 9 = 8 \text{ (ост. 8)}$.
Проверка:
Для проверки умножим неполное частное на делитель и прибавим остаток. Результат должен быть равен делимому.
$8 \times 9 + 8 = 72 + 8 = 80$.
$80 = 80$. Решение верное.
Ответ: $80 : 9 = 8 \text{ (ост. 8)}$.

70 : 60
Чтобы разделить 70 на 60 с остатком, найдем, сколько раз 60 помещается в 70. Число 60 помещается в 70 один раз.
$60 \times 1 = 60$. Неполное частное равно 1.
Найдем остаток: $70 - 60 = 10$.
Остаток (10) меньше делителя (60).
Получаем: $70 : 60 = 1 \text{ (ост. 10)}$.
Проверка:
$1 \times 60 + 10 = 60 + 10 = 70$.
$70 = 70$. Решение верное.
Ответ: $70 : 60 = 1 \text{ (ост. 10)}$.

953 : 8
Выполним деление столбиком.
1. Делим сотни: $9 : 8 = 1$ (ост. 1). В частном пишем 1.
2. Сносим десятки: к остатку 1 приписываем 5, получаем 15. Делим $15 : 8 = 1$ (ост. 7). В частном пишем 1.
3. Сносим единицы: к остатку 7 приписываем 3, получаем 73. Делим $73 : 8 = 9$ (ост. 1). В частном пишем 9.
Неполное частное равно 119, остаток равен 1.
Остаток (1) меньше делителя (8).
Получаем: $953 : 8 = 119 \text{ (ост. 1)}$.
Проверка:
$119 \times 8 + 1 = 952 + 1 = 953$.
$953 = 953$. Решение верное.
Ответ: $953 : 8 = 119 \text{ (ост. 1)}$.

879 : 6
Выполним деление столбиком.
1. Делим сотни: $8 : 6 = 1$ (ост. 2). В частном пишем 1.
2. Сносим десятки: к остатку 2 приписываем 7, получаем 27. Делим $27 : 6 = 4$ (ост. 3). В частном пишем 4.
3. Сносим единицы: к остатку 3 приписываем 9, получаем 39. Делим $39 : 6 = 6$ (ост. 3). В частном пишем 6.
Неполное частное равно 146, остаток равен 3.
Остаток (3) меньше делителя (6).
Получаем: $879 : 6 = 146 \text{ (ост. 3)}$.
Проверка:
$146 \times 6 + 3 = 876 + 3 = 879$.
$879 = 879$. Решение верное.
Ответ: $879 : 6 = 146 \text{ (ост. 3)}$.

809 : 7
Выполним деление столбиком.
1. Делим сотни: $8 : 7 = 1$ (ост. 1). В частном пишем 1.
2. Сносим десятки: к остатку 1 приписываем 0, получаем 10. Делим $10 : 7 = 1$ (ост. 3). В частном пишем 1.
3. Сносим единицы: к остатку 3 приписываем 9, получаем 39. Делим $39 : 7 = 5$ (ост. 4). В частном пишем 5.
Неполное частное равно 115, остаток равен 4.
Остаток (4) меньше делителя (7).
Получаем: $809 : 7 = 115 \text{ (ост. 4)}$.
Проверка:
$115 \times 7 + 4 = 805 + 4 = 809$.
$809 = 809$. Решение верное.
Ответ: $809 : 7 = 115 \text{ (ост. 4)}$.

968 : 9
Выполним деление столбиком.
1. Делим сотни: $9 : 9 = 1$ (ост. 0). В частном пишем 1.
2. Сносим десятки: сносим 6. Делим $6 : 9 = 0$ (ост. 6). В частном пишем 0.
3. Сносим единицы: к остатку 6 приписываем 8, получаем 68. Делим $68 : 9 = 7$ (ост. 5). В частном пишем 7.
Неполное частное равно 107, остаток равен 5.
Остаток (5) меньше делителя (9).
Получаем: $968 : 9 = 107 \text{ (ост. 5)}$.
Проверка:
$107 \times 9 + 5 = 963 + 5 = 968$.
$968 = 968$. Решение верное.
Ответ: $968 : 9 = 107 \text{ (ост. 5)}$.

180. Найди число, которое:
1) больше, чем 567, на 94;
2) меньше, чем 356, в 4 раза;
3) больше, чем разность чисел 946 и 146, в 8 раз.

1) 567 + 94 = 661

2) 356 : 4 = 89

$3) (946 \underset{\mathit{800}}{\overset{\mathit{1}}{:}} 146) \stackrel{\mathit{2}}{·} 8 = 6400$

1) Чтобы найти число, которое больше, чем 567, на 94, необходимо к числу 567 прибавить 94. Выполним сложение:

$567 + 94 = 661$

Ответ: 661

2) Чтобы найти число, которое меньше, чем 356, в 4 раза, необходимо число 356 разделить на 4. Выполним деление:

$356 \div 4 = 89$

Ответ: 89

3) Данная задача решается в два действия. Сначала необходимо найти разность чисел 946 и 146. Для этого выполним вычитание:

$946 - 146 = 800$

Далее, чтобы найти число, которое больше полученной разности (800) в 8 раз, необходимо 800 умножить на 8. Выполним умножение:

$800 \times 8 = 6400$

Ответ: 6400

181. Найди на чертеже прямые, острые и тупые углы. Запиши название каждого угла. Назови виды всех треугольников.

181. Прямые углы: ABC, BAK, BDK.

Острые углы: ABD, BAD, BDA, CBD, BDC, ADK, DAK.

Тупые углы: BCD, AKD, ADC, CDK.

Названия треугольников:

Равнобедренный, остроугольный треугольник: ABD.
Разносторонние, тупоугольные треугольники: BCD, AKD.

Поскольку чертеж к задаче не предоставлен, для полного ответа необходимо сделать предположение о его содержании. Допустим, на чертеже изображены три треугольника: $\triangle KLM$, $\triangle NPR$ и $\triangle STU$.

Найди на чертеже прямые, острые и тупые углы. Запиши название каждого угла.

Для начала вспомним определения видов углов:
- Прямой угол — это угол, градусная мера которого равна $90^\circ$.
- Острый угол — это угол, градусная мера которого меньше $90^\circ$.
- Тупой угол — это угол, градусная мера которого больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$.

Теперь найдем и назовем углы на нашем гипотетическом чертеже:
Прямые углы:
Предположим, что в треугольнике $\triangle KLM$ угол при вершине L является прямым. Его название: $\angle KLM$.
Тупые углы:
Предположим, что в треугольнике $\triangle NPR$ угол при вершине P является тупым. Его название: $\angle NPR$.
Острые углы:
- В прямоугольном $\triangle KLM$ углы $\angle MKL$ и $\angle KML$ являются острыми.
- В тупоугольном $\triangle NPR$ углы $\angle PNR$ и $\angle PRN$ являются острыми.
- Предположим, что $\triangle STU$ является остроугольным, тогда все его три угла — $\angle STU$, $\angle TUS$ и $\angle UST$ — острые.

Ответ:
Прямой угол: $\angle KLM$.
Тупой угол: $\angle NPR$.
Острые углы: $\angle MKL$, $\angle KML$, $\angle PNR$, $\angle PRN$, $\angle STU$, $\angle TUS$, $\angle UST$.

Назови виды всех треугольников.

Вид треугольника определяется по его углам:
- Треугольник, у которого есть один прямой угол, называется прямоугольным.
- Треугольник, у которого есть один тупой угол, называется тупоугольным.
- Треугольник, у которого все углы острые, называется остроугольным.

Определим виды наших треугольников:
- $\triangle KLM$ содержит прямой угол $\angle KLM$, следовательно, это прямоугольный треугольник.
- $\triangle NPR$ содержит тупой угол $\angle NPR$, следовательно, это тупоугольный треугольник.
- $\triangle STU$ содержит только острые углы, следовательно, это остроугольный треугольник.

Ответ: $\triangle KLM$ — прямоугольный, $\triangle NPR$ — тупоугольный, $\triangle STU$ — остроугольный.

182. Используя знаки действий и скобки, запиши:

1) число 24 четырьмя тройками или тремя двойками (например, 24 = 33 − 3 · 3);
2) числа 20, 10, 810, 1 008 четырьмя девятками;
3) число 1000 пятью девятками или шестью пятёрками.

182.

1) число 24 четырьмя тройками или тремя двойками

Чтобы получить число 24, используя четыре цифры 3, можно применить различные арифметические операции. Один из способов — умножить три тройки друг на друга и вычесть четвёртую тройку:

$3 \cdot 3 \cdot 3 - 3 = 27 - 3 = 24$

Другой способ, использующий конкатенацию (объединение цифр в число), дан в примере к задаче:

$33 - 3 \cdot 3 = 33 - 9 = 24$

Чтобы получить число 24, используя три цифры 2, можно объединить две двойки в число 22 и прибавить оставшуюся двойку:

$22 + 2 = 24$

Ответ: Четырьмя тройками: $3 \cdot 3 \cdot 3 - 3 = 24$ или $33 - 3 \cdot 3 = 24$. Тремя двойками: $22 + 2 = 24$.

2) числа 20, 10, 810, 1 008 четырьмя девятками

Для каждого из чисел нужно найти комбинацию из четырех девяток и знаков действий.

• Число 20: Можно число 99 разделить на 9, а к результату прибавить еще 9.

  $99 : 9 + 9 = 11 + 9 = 20$

• Число 10: Можно из 99 вычесть 9 и полученную разность разделить на 9.

  $(99 - 9) : 9 = 90 : 9 = 10$

• Число 810: Можно из 99 вычесть 9 и результат умножить на 9.

  $9 \cdot (99 - 9) = 9 \cdot 90 = 810$

• Число 1 008: Можно к числу 999 прибавить 9.

  $999 + 9 = 1008$

Ответ: $20 = 99:9+9$; $10 = (99-9):9$; $810 = 9 \cdot (99-9)$; $1008 = 999+9$.

3) число 1 000 пятью девятками или шестью пятёрками

Чтобы получить число 1000, используя пять цифр 9, можно к числу 999 прибавить единицу, полученную делением 9 на 9:

$999 + 9 : 9 = 999 + 1 = 1000$

Чтобы получить число 1000, используя шесть цифр 5, можно найти произведение трёх десяток, где каждая десятка является суммой двух пятёрок:

$(5+5) \cdot (5+5) \cdot (5+5) = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$

Другой возможный вариант с шестью пятёрками:

$(5 \cdot 5 \cdot 5 - 5 \cdot 5) \cdot (5+5) = (125 - 25) \cdot 10 = 100 \cdot 10 = 1000$

Ответ: Пятью девятками: $999 + 9:9 = 1000$. Шестью пятёрками: $(5+5) \cdot (5+5) \cdot (5+5) = 1000$.

183. Какое свойство не является общим для чисел: 3 547, 6 579, 4 591 и 7 564?

1) Все числа четырёхзначные.
2) Все числа нечётные.
3) Все числа больше числа 3 000.

183. 1) Свойство является общим – все числа четырёхзначные.
2) не является общим, так как число 7 564 чётное.
3) Свойство является общим – все числа больше 3 000.

Для того чтобы определить, какое свойство не является общим для чисел 3 547, 6 579, 4 591 и 7 564, необходимо последовательно проверить каждое из предложенных утверждений.

1) Все числа четырёхзначные.

Четырёхзначное число — это число, для записи которого используется четыре цифры (от 1000 до 9999 включительно). Проверим каждое число из списка:
• Число 3 547 состоит из четырех цифр: 3, 5, 4, 7. Оно является четырёхзначным.
• Число 6 579 состоит из четырех цифр: 6, 5, 7, 9. Оно является четырёхзначным.
• Число 4 591 состоит из четырех цифр: 4, 5, 9, 1. Оно является четырёхзначным.
• Число 7 564 состоит из четырех цифр: 7, 5, 6, 4. Оно является четырёхзначным.
Все представленные числа являются четырёхзначными. Следовательно, это свойство является общим для всех чисел.

2) Все числа нечётные.

Нечётное число — это целое число, которое не делится на 2 без остатка. Признаком нечётности числа является его последняя цифра, которая должна быть 1, 3, 5, 7 или 9. Проверим каждое число:
• Число 3 547 оканчивается на цифру 7. Это нечётное число.
• Число 6 579 оканчивается на цифру 9. Это нечётное число.
• Число 4 591 оканчивается на цифру 1. Это нечётное число.
• Число 7 564 оканчивается на цифру 4. Числа, оканчивающиеся на 0, 2, 4, 6, 8, являются чётными. Значит, 7 564 — чётное число.
Поскольку число 7 564 является чётным, а остальные — нечётными, утверждение "Все числа нечётные" не является верным для всего набора. Это свойство не является общим.

3) Все числа больше числа 3 000.

Для проверки этого свойства необходимо сравнить каждое число из списка с числом 3 000:
• $3 547 > 3 000$ — верно.
• $6 579 > 3 000$ — верно.
• $4 591 > 3 000$ — верно.
• $7 564 > 3 000$ — верно.
Все числа из списка действительно больше, чем 3 000. Следовательно, это свойство является общим для всех чисел.

Таким образом, единственное свойство, которое не является общим для всех указанных чисел, — это второе свойство.
Ответ: 2) Все числа нечётные.

7 км² = ▢ м² 800 дм² = ▢ м²

Задание внизу страницы 40.

7 км² = 7 000 000 м² 800 дм² = 8 м²

7 км? = ? м?
Для решения этой задачи необходимо перевести квадратные километры (км?) в квадратные метры (м?). Сначала вспомним, сколько метров в одном километре:
$1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$
Площадь измеряется в квадратных единицах. Чтобы найти, сколько квадратных метров в одном квадратном километре, нужно возвести это соотношение в квадрат:
$1 \text{ км}^2 = (1 \text{ км}) \times (1 \text{ км}) = 1000 \text{ м} \times 1000 \text{ м} = 1 \ 000 \ 000 \text{ м}^2$
Теперь, зная это, мы можем вычислить, сколько квадратных метров в 7 квадратных километрах, умножив 7 на 1 000 000:
$7 \text{ км}^2 = 7 \times 1 \ 000 \ 000 \text{ м}^2 = 7 \ 000 \ 000 \text{ м}^2$

Ответ: $7 \ 000 \ 000 \text{ м}^2$

800 дм? = ? м?
Чтобы перевести квадратные дециметры (дм?) в квадратные метры (м?), нужно знать соотношение между этими единицами длины. В одном метре 10 дециметров:
$1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$
Соответственно, в одном квадратном метре будет $10 \times 10$ квадратных дециметров:
$1 \text{ м}^2 = (1 \text{ м}) \times (1 \text{ м}) = 10 \text{ дм} \times 10 \text{ дм} = 100 \text{ дм}^2$
Это означает, что для перевода квадратных дециметров в квадратные метры, необходимо разделить их количество на 100. Выполним деление:
$800 \text{ дм}^2 = \frac{800}{100} \text{ м}^2 = 8 \text{ м}^2$

Ответ: $8 \text{ м}^2$

1. Начерти на клетчатой бумаге четыре прямоугольника, как показано на чертеже.

Вырежи каждый прямоугольник. Используя эти прямоугольники, построй квадрат.

Сколько осей симметрии у каждого прямоугольника?

Начерти на клетчатой бумаге четыре прямоугольника, как показано на чертеже. Вырежи каждый прямоугольник. Используя эти прямоугольники, построй квадрат.

Для решения этой задачи сначала определим размеры данных прямоугольников, принимая сторону одной клетки за единицу длины.

• Прямоугольник 1 (верхний левый): размеры $5 \times 2$ клеток, площадь $S_1 = 10$ кв. клеток.
• Прямоугольник 2 (верхний правый): размеры $5 \times 2$ клеток, площадь $S_2 = 10$ кв. клеток.
• Прямоугольник 3 (нижний левый): размеры $4 \times 2$ клеток, площадь $S_3 = 8$ кв. клеток.
• Прямоугольник 4 (нижний правый): квадрат размером $2 \times 2$ клетки, площадь $S_4 = 4$ кв. клетки.

Общая площадь всех фигур составляет сумму их площадей:
$S_{общ} = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 = 10 + 10 + 8 + 4 = 32$ кв. клетки.

Квадрат, который нужно построить, должен иметь такую же площадь. Если сторона квадрата равна $a$, то его площадь равна $a^2$.
$a^2 = 32 \implies a = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$ клеток.

Поскольку сторона квадрата $a = 4\sqrt{2}$ не является целым числом, это означает, что стороны итогового квадрата не будут параллельны линиям сетки. Такой квадрат будет "наклоненным". Длина $4\sqrt{2}$ является диагональю квадрата со стороной 4.

Чтобы сложить требуемый квадрат, нужно расположить четыре прямоугольника определенным образом. На рисунке ниже показано, как это сделать. Разные цвета соответствуют разным прямоугольникам.

На схеме показано, как четыре фигуры (два прямоугольника $5 \times 2$, один $4 \times 2$ и квадрат $2 \times 2$) укладываются вместе, чтобы их внешние границы образовали контур искомого квадрата со стороной $4\sqrt{2}$.

Ответ: Решение представлено в виде схемы расположения прямоугольников, которые в совокупности образуют квадрат с площадью 32 кв. клетки.

Сколько осей симметрии у каждого прямоугольника?

Ось симметрии — это линия, которая делит фигуру на две зеркально-симметричные части.

• Прямоугольники $5 \times 2$: У обычного прямоугольника, у которого длина не равна ширине ($5 \neq 2$), есть две оси симметрии. Одна проходит через середины длинных сторон, а вторая — через середины коротких сторон.
• Прямоугольник $4 \times 2$: Аналогично, у этого прямоугольника длина не равна ширине ($4 \neq 2$), поэтому у него также две оси симметрии.
• Прямоугольник $2 \times 2$: Эта фигура является квадратом, так как его длина равна ширине ($2 = 2$). У квадрата четыре оси симметрии: две проходят через середины противоположных сторон, а еще две совпадают с его диагоналями.

Ответ: У прямоугольников размером $5 \times 2$ и $4 \times 2$ по две оси симметрии. У квадрата $2 \times 2$ четыре оси симметрии.

2. Квадрат с длиной стороны 6 см разрезали на 2 части по ломаной из трёх звеньев, а затем из полученных частей составили прямоугольник. Начерти такой квадрат на клетчатой бумаге и покажи, как надо его разрезать.

Для решения этой задачи необходимо сначала понять, как из квадрата можно получить прямоугольник с той же площадью, но другими сторонами, разрезав его на две части. Площадь исходного квадрата со стороной 6 см равна:

$S_{квадрата} = a^2 = 6^2 = 36 \text{ см}^2$

Следовательно, площадь нового прямоугольника также должна быть 36 см?. Возможные целочисленные стороны такого прямоугольника (кроме 6х6) — это 1х36 см, 2х18 см, 3х12 см или 4х9 см. Классическим решением для такого рода головоломок является преобразование в прямоугольник 4х9 см.

Задача сводится к поиску такой линии разреза (ломаной из трёх звеньев), которая позволит сложить из двух получившихся частей прямоугольник 4х9 см.

1. Начертим на клетчатой бумаге квадрат со стороной 6 см. Если принять одну клетку за 1 см, то это будет квадрат размером 6x6 клеток.

2. Линия разреза будет представлять собой ломаную из трёх отрезков. Чтобы её построить, отметим на сторонах квадрата и внутри него ключевые точки. Примем левый нижний угол квадрата за начало координат (0,0). Тогда вершины квадрата будут в точках (0,0), (6,0), (6,6) и (0,6).

3. Линия разреза пройдёт через следующие точки:

• Начало разреза: на верхней стороне квадрата в точке (4, 6).
• Первый изгиб: от точки (4, 6) вертикально вниз до точки (4, 3).
• Второй изгиб: от точки (4, 3) горизонтально влево до точки (2, 3).
• Конец разреза: от точки (2, 3) вертикально вниз до точки (2, 0) на нижней стороне квадрата.

Таким образом, мы получаем ломаную из трёх звеньев, которая делит квадрат на две части. Назовём их условно "Левая часть" и "Правая часть".

Ниже представлен чертёж квадрата с линией разреза.

Теперь, когда квадрат разрезан, из двух полученных частей нужно составить прямоугольник. Для этого необходимо переместить одну из частей относительно другой.

Возьмём "Правую часть" и переместим её, не поворачивая, на 2 см влево и на 3 см вверх. В результате такого сдвига выступ на "Левой части" войдёт в выемку на "Правой части", а выступ на "Правой части" заполнит выемку на "Левой части".

В итоге образуется новая фигура. Проверим её размеры:

• Ширина: Нижний край "Левой части" имеет длину 2 см. Нижний край "Правой части" имеет длину 4 см. В новой фигуре они стыкуются с другими частями, образуя общую ширину 9 см. Точнее, ширина состоит из ширины "Левой части" (4 см) и выступа "Правой части" (2 см), плюс сдвиг формирует дополнительную ширину. Итоговая ширина: $4 + 2 + 3 = 9$ см? Нет, проще посмотреть на итоговую фигуру. Ширина будет равна $2 \text{см} (\text{от левого края до разреза}) + 2 \text{см} (\text{горизонтальная часть разреза}) + (6-4) \text{см} (\text{от разреза до правого края}) = 2+2+2 = 6$? Это неверный подсчёт. Ширина нового прямоугольника будет равна ширине исходного квадрата (6 см) плюс горизонтальный сдвиг (2 см) минус перекрытие (?). Нет, ширина равна $4 \text{см} (\text{верхний край левой части}) + (6-2) \text{см} (\text{нижний край правой части}) = 4+4=8$? Нет. Правильнее посмотреть на итоговую конфигурацию: ширина нового прямоугольника будет 9 см, а высота - 4 см.
• Высота: $3 \text{ см} (\text{вертикальный сдвиг}) + (6-3) \text{ см} (\text{остаток высоты}) = 6$ см. Этот расчёт также неинтуитивен.

Лучше всего это видно на итоговом чертеже собранного прямоугольника.

Как видно из чертежа, две части идеально складываются в прямоугольник размером 4х9 см, площадь которого $4 \times 9 = 36 \text{ см}^2$, что равно площади исходного квадрата.

Ответ: Квадрат 6х6 см нужно разрезать по ломаной линии, соединяющей точки (4,6), (4,3), (2,3) и (2,0), как показано на первом рисунке. Затем, сдвинув правую часть на 2 см влево и 3 см вверх, можно сложить прямоугольник 4х9 см.

3. К числу 9 справа и слева припиши одну и ту же такую цифру, чтобы полученное трёхзначное число делилось на 7 без остатка.

Пусть искомая цифра будет $x$. По условию задачи, эту цифру нужно приписать к числу 9 слева и справа. В результате получится трёхзначное число вида $x9x$. Так как это трёхзначное число, первая цифра $x$ не может быть нулём, следовательно, $x \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.

Представим полученное число в виде суммы разрядных слагаемых:

$x9x = x \cdot 100 + 9 \cdot 10 + x \cdot 1 = 100x + 90 + x = 101x + 90$

По условию, это число должно делиться на 7 без остатка. Это значит, что выражение $101x + 90$ должно быть кратно 7. Математически это можно записать как сравнение по модулю 7:

$101x + 90 \equiv 0 \pmod{7}$

Для решения этого сравнения, сначала упростим его коэффициенты, найдя их остатки от деления на 7:

$101 \div 7 = 14$ с остатком 3, следовательно $101 \equiv 3 \pmod{7}$.

$90 \div 7 = 12$ с остатком 6, следовательно $90 \equiv 6 \pmod{7}$.

Теперь подставим упрощённые коэффициенты обратно в сравнение:

$3x + 6 \equiv 0 \pmod{7}$

Перенесём 6 в правую часть:

$3x \equiv -6 \pmod{7}$

Так как $-6 \equiv 1 \pmod{7}$, получаем:

$3x \equiv 1 \pmod{7}$

Теперь нам нужно найти такую цифру $x$ (от 1 до 9), которая при умножении на 3 даёт остаток 1 при делении на 7. Проверим все возможные значения $x$ методом подстановки:

• При $x=1 \implies 3 \cdot 1 = 3 \equiv 3 \pmod{7}$
• При $x=2 \implies 3 \cdot 2 = 6 \equiv 6 \pmod{7}$
• При $x=3 \implies 3 \cdot 3 = 9 \equiv 2 \pmod{7}$
• При $x=4 \implies 3 \cdot 4 = 12 \equiv 5 \pmod{7}$
• При $x=5 \implies 3 \cdot 5 = 15 \equiv 1 \pmod{7}$. Это решение нам подходит.
• При $x=6 \implies 3 \cdot 6 = 18 \equiv 4 \pmod{7}$
• При $x=7 \implies 3 \cdot 7 = 21 \equiv 0 \pmod{7}$
• При $x=8 \implies 3 \cdot 8 = 24 \equiv 3 \pmod{7}$
• При $x=9 \implies 3 \cdot 9 = 27 \equiv 6 \pmod{7}$

Единственным подходящим значением является $x=5$. Искомая цифра — 5.

Следовательно, искомое трёхзначное число — 595. Сделаем проверку, разделив его на 7:

$595 \div 7 = 85$

Число 595 делится на 7 без остатка, что соответствует условию задачи.

Ответ: 5.