номер 5, страница 7, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Абылкасымова, Кучер

5. Являются ли числа четными или нечетными, если известно, что значение их:

1) суммы — четное число;

2) произведения — четное число;

3) суммы — нечетное число;

4) произведения — нечетное число?

Для решения этой задачи рассмотрим два целых числа, назовем их $\text{a}$ и $\text{b}$. Проанализируем свойства четности и нечетности их суммы и произведения, исходя из основных определений. Четное число можно представить в виде $2k$, а нечетное — в виде $2k+1$, где $\text{k}$ — целое число.

Правила для сложения:

• Четное + Четное: $2k_1 + 2k_2 = 2(k_1+k_2)$ — результат всегда четный.
• Нечетное + Нечетное: $(2k_1+1) + (2k_2+1) = 2k_1+2k_2+2 = 2(k_1+k_2+1)$ — результат всегда четный.
• Четное + Нечетное: $2k_1 + (2k_2+1) = 2(k_1+k_2)+1$ — результат всегда нечетный.

Правила для умножения:

• Четное × Четное: $2k_1 \times 2k_2 = 4k_1k_2 = 2(2k_1k_2)$ — результат всегда четный.
• Нечетное × Нечетное: $(2k_1+1) \times (2k_2+1) = 4k_1k_2 + 2k_1 + 2k_2 + 1 = 2(2k_1k_2+k_1+k_2)+1$ — результат всегда нечетный.
• Четное × Нечетное: $2k_1 \times (2k_2+1) = 2(k_1(2k_2+1))$ — результат всегда четный.

Основываясь на этих правилах, ответим на поставленные вопросы.

1) суммы — четное число

Сумма двух чисел является четной, если оба числа имеют одинаковую четность: либо оба четные (например, $4+6=10$), либо оба нечетные (например, $3+7=10$). Следовательно, нельзя однозначно определить, четные они или нечетные. Можно лишь сказать, что они имеют одинаковую четность.

Ответ: Оба числа либо четные, либо нечетные (имеют одинаковую четность).

2) произведения — четное число

Произведение двух чисел является четным, если хотя бы одно из них четное. Это может быть случай, когда оба числа четные ($2 \times 4=8$) или когда одно четное, а другое нечетное ($2 \times 3=6$). Единственный случай, когда произведение нечетное, — это когда оба сомножителя нечетные. Таким образом, мы не можем точно определить четность каждого числа.

Ответ: Хотя бы одно из чисел является четным.

3) суммы — нечетное число

Сумма двух чисел является нечетной только в одном случае: когда одно число четное, а другое — нечетное (например, $4+5=9$). Это позволяет однозначно определить, что числа имеют разную четность.

Ответ: Одно число четное, а другое — нечетное.

4) произведения — нечетное число

Произведение двух чисел является нечетным только в том случае, если оба числа нечетные (например, $3 \times 5=15$). Если бы хотя бы один из сомножителей был четным, произведение было бы четным. Это позволяет сделать однозначный вывод о четности обоих чисел.

Ответ: Оба числа нечетные.