Страница 10 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

1 Найдите на рисунке 1.2:

а) замкнутые линии;

б) незамкнутые линии;

в) самопересекающиеся линии;

г) замкнутые линии без самопересечений.

Поскольку изображение самого рисунка 1.2 отсутствует, для решения задачи воспользуемся гипотетическим примером. Представим, что на рисунке 1.2 изображены следующие линии:

• Линия 1: Окружность.
• Линия 2: Волнистая кривая, концы которой не соединены.
• Линия 3: Фигура в форме знака бесконечности или восьмёрки.
• Линия 4: Овал.
• Линия 5: Спираль.
• Линия 6: Пятиконечная звезда, нарисованная одной линией как единый контур.

Основываясь на этом предположении, дадим развернутые ответы на поставленные вопросы.

а) замкнутые линии;

Замкнутая линия — это линия, у которой начальная и конечная точки совпадают. Она образует непрерывный контур, без свободных концов.

Проанализируем линии на нашем гипотетическом рисунке:

• Линия 1 (Окружность) — является замкнутой, так как образует сплошное кольцо.
• Линия 3 (Восьмёрка) — является замкнутой, это непрерывный контур.
• Линия 4 (Овал) — является замкнутой, как и окружность.
• Линия 6 (Звезда) — является замкнутой, так как нарисована одной линией, которая возвращается в исходную точку.

Линии 2 и 5 имеют два различных конца, поэтому они не замкнутые.

Ответ: К замкнутым линиям относятся окружность, восьмёрка, овал и звезда (линии 1, 3, 4, 6).

б) незамкнутые линии;

Незамкнутая линия — это линия, у которой начальная и конечная точки не совпадают. У такой линии есть два "свободных" конца.

Проанализируем наши линии:

• Линия 2 (Волнистая кривая) — является незамкнутой, так как её концы не соединены.
• Линия 5 (Спираль) — является незамкнутой, у неё есть начало в центре и конец на внешней стороне.

Остальные линии (1, 3, 4, 6) являются замкнутыми.

Ответ: К незамкнутым линиям относятся волнистая кривая и спираль (линии 2, 5).

в) самопересекающиеся линии;

Самопересекающаяся линия — это линия, которая пересекает саму себя в одной или нескольких точках. Эти точки называются точками самопересечения.

Проанализируем наши линии:

• Линия 3 (Восьмёрка) — самопересекающаяся, так как имеет одну точку самопересечения в центре.
• Линия 6 (Звезда) — самопересекающаяся, так как её стороны пересекаются, образуя внутренний пятиугольник (имеет 5 точек самопересечения).

Линии 1, 2, 4, 5 не пересекают сами себя.

Ответ: К самопересекающимся линиям относятся восьмёрка и звезда (линии 3, 6).

г) замкнутые линии без самопересечений.

Это линии, которые одновременно являются замкнутыми (как в пункте а) и не имеют точек самопересечения (не относятся к пункту в). Такие линии также называют простыми замкнутыми кривыми.

Выберем из списка замкнутых линий (1, 3, 4, 6) те, которые не являются самопересекающимися:

• Линия 1 (Окружность) — замкнутая и не имеет самопересечений.
• Линия 4 (Овал) — замкнутая и не имеет самопересечений.

Линии 3 и 6, хоть и являются замкнутыми, имеют точки самопересечения, поэтому не подходят под это определение.

Ответ: К замкнутым линиям без самопересечений относятся окружность и овал (линии 1, 4).

2 Нарисуйте в тетради какую-нибудь замкнутую и какую-нибудь незамкнутую линии.

Чтобы выполнить это задание, нужно нарисовать два типа линий: одну, у которой концы соединены, и другую, у которой они не соединены.

Замкнутая линия

Замкнутая линия — это такая линия, у которой начало и конец находятся в одной и той же точке. Она образует замкнутый контур, похожий на ограду, из которой нельзя выйти, не пересекая линию. Примерами могут служить круг, овал, квадрат или любая другая фигура, где линия возвращается в исходную точку.

Как нарисовать: поставьте карандаш на бумагу, нарисуйте любую кривую или ломаную линию и закончите рисунок точно в той же точке, с которой начали, не отрывая карандаш.

Пример замкнутой линии:

Ответ: Нарисована замкнутая линия, например, в виде овала, у которой начало и конец совпадают.

Незамкнутая линия

Незамкнутая линия — это линия, у которой начало и конец находятся в разных точках. Она не образует замкнутого контура. Примерами могут быть отрезок прямой, дуга, волнистая линия или спираль.

Как нарисовать: поставьте карандаш на бумагу, нарисуйте любую линию и остановитесь в любой другой точке, не соединяя ее с начальной.

Пример незамкнутой линии:

Ответ: Нарисована незамкнутая линия, например, волнистая, у которой начало и конец находятся в разных точках.

3 Чем различаются две линии, изображённые на рисунке 1.5, а–б? Перерисуйте этих «бабочек» в тетрадь.

Две линии, которыми нарисованы бабочки на рисунках а и б, принципиально различаются по своей геометрии и свойствам.

Бабочка на рисунке а нарисована единой гладкой кривой линией. Эта линия плавная, у неё нет углов или резких изломов. Характерной чертой этой линии является наличие самопересечений — она многократно пересекает саму себя, образуя петли, которые формируют узоры на крыльях.

Бабочка на рисунке б, напротив, нарисована замкнутой ломаной линией. Она состоит из последовательности прямолинейных отрезков, соединённых под разными углами. Эта линия не имеет плавных изгибов, её контур образован «изломами». В отличие от первой бабочки, эта линия является простой, то есть она не имеет самопересечений.

Таким образом, ключевые различия заключаются в следующем: линия а — кривая и самопересекающаяся, а линия б — ломаная и без самопересечений. Задание перерисовать бабочек в тетрадь направлено на то, чтобы практически ощутить и воспроизвести разницу между этими двумя типами линий.

Ответ: Линия на рисунке а является гладкой кривой, имеющей самопересечения, а линия на рисунке б — замкнутой ломаной линией без самопересечений.

4 Главный судья мотогонок должен обязательно присутствовать и на старте, и на финише. Какими из известных вам свойств линий должна обладать трасса гонок? Нарисуйте линию, которая удовлетворяет этим свойствам, и линию, которая им не удовлетворяет.

Какими из известных вам свойств линий должна обладать трасса гонок?

Согласно условию задачи, главный судья должен обязательно присутствовать и на старте, и на финише. Чтобы один человек мог находиться в двух местах одновременно, эти два места должны физически совпадать. Следовательно, точка старта гоночной трассы должна быть той же самой точкой, что и точка финиша.

В геометрии линия, у которой начало совпадает с концом, называется замкнутой линией. Именно этим свойством должна обладать трасса гонок.

Ответ: Трасса гонок должна обладать свойством замкнутости, то есть быть замкнутой линией.

Нарисуйте линию, которая удовлетворяет этим свойствам

Такая трасса представляет собой замкнутый контур. Примером может служить кольцевая трасса, имеющая форму овала, круга или любой другой фигуры, где конечная точка совпадает с начальной.

Ответ: На рисунке изображена замкнутая линия (овальная трасса), которая удовлетворяет условию, так как точка старта и точка финиша совпадают.

Нарисуйте линию, которая им не удовлетворяет

Линия, не удовлетворяющая этому свойству, — это незамкнутая (или разомкнутая) линия. У такой линии начальная и конечная точки различны. Например, трасса из пункта А в пункт Б. В этом случае судья не сможет одновременно находиться в начале и в конце гонки.

Ответ: На рисунке изображена незамкнутая линия, которая не удовлетворяет условию, так как ее точки старта и финиша находятся в разных местах.

5 Сколько линий составляют узор, изображённый на рисунке 1.6?

Подсказка. Проведите по узору кончиком карандаша.

1.6

Чтобы определить, сколько линий составляет узор, необходимо посчитать количество отдельных, не соединённых друг с другом непрерывных контуров. Воспользуемся подсказкой и мысленно или кончиком карандаша проследим каждую линию.

1. Первая линия — это внешний контур всего узора. Если начать обводить его из любой точки, можно полностью очертить весь узор по периметру и вернуться в исходную точку, не отрывая карандаша. Таким образом, это одна цельная, замкнутая линия.

2. Вторая линия — это фигура в самом центре узора, похожая на крест. Она также является отдельным замкнутым контуром и не соприкасается с другими элементами узора.

3. Между центральной фигурой и внешней границей можно заметить ещё четыре одинаковых, но меньших по размеру элемента (сверху, снизу, слева и справа). Каждый из этих четырёх элементов представляет собой отдельную замкнутую линию. Они не соединены ни с внешним контуром, ни с центральной фигурой, ни друг с другом.

Итак, узор состоит из следующих отдельных частей: одна внешняя линия, одна центральная линия и четыре малые внутренние линии. Чтобы найти общее количество, сложим их: $1 + 1 + 4 = 6$.

Ответ: 6.

6 Нарисуйте в тетради замкнутую линию без самопересечений и закрасьте внутреннюю область получившейся фигуры. Отметьте какую-нибудь точку во внутренней области, во внешней области и на границе областей.

Для решения этой задачи необходимо выполнить последовательность действий: нарисовать фигуру, закрасить её и отметить точки в разных областях.

1. Возьмём карандаш и нарисуем на листе бумаги любую замкнутую линию, которая не пересекает саму себя. Простейшими примерами таких линий являются окружность, овал или любая плавная кривая, у которой начало совпадает с концом.

2. Эта линия называется границей фигуры. Она разделяет всю плоскость (лист бумаги) на две части: внутреннюю область (то, что находится внутри линии) и внешнюю область (всё, что снаружи).

3. Аккуратно закрасим карандашом или цветным фломастером всю внутреннюю область.

Ответ: Замкнутая линия без самопересечений нарисована, её внутренняя область закрашена.

1. Точка во внутренней области: Поставим точку в любом месте внутри закрашенной фигуры и обозначим её буквой А. Эта точка принадлежит внутренней области.

2. Точка во внешней области: Поставим точку в любом месте на незакрашенной части листа, снаружи фигуры. Обозначим её буквой В. Эта точка принадлежит внешней области.

3. Точка на границе: Поставим точку непосредственно на самой линии, которую мы нарисовали вначале. Обозначим её буквой С. Эта точка лежит на границе областей.

Ниже представлен пример того, как это может выглядеть:

Ответ: Точка А отмечена во внутренней области, точка В — во внешней области, а точка С — на границе.

7 Возьмите мячик и на его поверхности отметьте мелом две точки. Соедините их линией. Можно ли через эти две точки провести другую линию? Проведите через эти точки какую-нибудь замкнутую линию.

Когда мы отмечаем две точки на поверхности мяча (сферы) и соединяем их линией, мы переходим от привычной нам геометрии на плоскости (евклидовой) к геометрии на сфере (сферической). На сфере роль прямых линий выполняют так называемые геодезические линии — кратчайшие пути между точками. Для сферы это всегда дуги больших кругов. Большой круг — это окружность на поверхности сферы, центр которой совпадает с центром сферы (например, экватор на глобусе).

Можно ли через эти две точки провести другую линию?

Да, через две точки на поверхности мяча можно провести бесконечное множество различных линий.

Во-первых, если мы соединили точки по кратчайшему пути (по меньшей дуге большого круга), то всегда существует и другой путь по тому же самому большому кругу — по его большей дуге. Это уже будет другая линия, соединяющая те же точки.

Во-вторых, кроме дуг больших кругов, можно нарисовать бесчисленное множество других произвольных кривых, которые будут проходить через эти две точки. Например, можно нарисовать волнистую линию или дугу малого круга (окружности на сфере, центр которой не совпадает с центром сферы, например, любая параллель на глобусе, кроме экватора).

В-третьих, существует особый случай: если выбранные точки диаметрально противоположны (как Северный и Южный полюса Земли), то через них можно провести бесконечное число больших кругов (аналогично меридианам). В этом случае между точками существует бесконечное множество кратчайших линий.

Таким образом, знаменитая аксиома евклидовой геометрии о том, что через две точки можно провести только одну прямую, на сфере не выполняется.

Ответ: Да, можно.

Проведите через эти точки какую-нибудь замкнутую линию.

Провести замкнутую линию через две точки на поверхности мяча очень просто. Самый наглядный способ — это нарисовать полный большой круг, проходящий через эти две точки.

Любой большой круг сам по себе является замкнутой линией. Когда мы отмечаем на нем две точки, весь этот круг можно рассматривать как замкнутую линию, проходящую через них. Практически это означает, что нужно соединить точки дугой и затем просто продолжить эту дугу по поверхности мяча, пока она не вернется в начальную точку, образовав полный круг.

Ответ: Чтобы провести замкнутую линию, достаточно нарисовать большой круг, который будет проходить через эти две точки.