Страница 11 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

8 Возьмите кубик и на его поверхности проведите линию так, как показано на рисунке 1.7. Попробуйте из куска проволоки согнуть такую же линию.

1.7

Задача состоит из двух частей: сначала нужно понять, как именно проходит линия, изображенная на поверхности куба, а затем описать, как изготовить ее проволочную модель. Линия представляет собой замкнутый контур, который проходит через все шесть граней куба.

Проведение линии на поверхности куба

Линия является замкнутой ломаной, вершины которой лежат на серединах шести ребер куба. Чтобы нарисовать такую линию, нужно последовательно соединять середины ребер, каждый раз переходя на новую грань. Маршрут можно описать следующим образом:

1. Начните с середины заднего ребра на верхней грани куба.
2. Проведите отрезок по верхней грани к середине правого ребра этой же грани.
3. От этой точки проведите отрезок по правой боковой грани к середине ее переднего ребра.
4. Далее, по передней грани проведите отрезок к середине ее нижнего ребра.
5. Затем, по нижней грани проведите отрезок к середине ее левого ребра.
6. Оттуда по левой боковой грани поднимитесь к середине ее заднего ребра.
7. Наконец, по задней грани проведите отрезок к начальной точке (середине заднего ребра на верхней грани), замыкая контур.

При таком построении линия пройдет ровно один раз по каждой из шести граней куба.

Ответ: Линия представляет собой замкнутый путь, который последовательно проходит через все шесть граней куба, соединяя середины шести его ребер.

Изготовление линии из проволоки

Чтобы согнуть такую линию из проволоки, необходимо определить ее общую длину и геометрическую форму в пространстве. Пусть длина ребра куба равна $a$.

1. Длина линии. Линия состоит из шести одинаковых отрезков. Каждый отрезок лежит на одной из граней и соединяет середины двух смежных сторон этой грани. Грань куба — это квадрат со стороной $a$. Если рассмотреть одну такую грань на плоскости, то концы отрезка будут находиться на расстоянии $a/2$ от общего угла. Длину этого отрезка ($l$) можно найти по теореме Пифагора:

$l = \sqrt{(a/2)^2 + (a/2)^2} = \sqrt{a^2/4 + a^2/4} = \sqrt{a^2/2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$

Поскольку линия состоит из шести таких отрезков, ее общая длина $L$ равна:

$L = 6 \times l = 6 \times \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}a}{2} = 3\sqrt{2}a$

2. Форма линии. Шесть точек, которые соединяет линия (середины шести ребер), лежат в одной плоскости. Эта плоскость пересекает куб, образуя в сечении правильный шестиугольник. Таким образом, линия из проволоки должна иметь форму правильного шестиугольника.

3. Инструкция по изготовлению.

• Возьмите кусок проволоки длиной $L = 3\sqrt{2}a$. Например, если ребро куба $a = 10$ см, то длина проволоки будет $3 \times \sqrt{2} \times 10 \approx 42.4$ см.
• Разделите проволоку на шесть равных сегментов, отметив 5 точек сгиба. Длина каждого сегмента будет $l = a/\sqrt{2}$. Для куба со стороной 10 см это примерно $7.07$ см.
• Согните проволоку в каждой отмеченной точке. Поскольку форма является правильным шестиугольником, все внутренние углы должны быть равны $120^\circ$.
• Соедините концы проволоки, чтобы получить замкнутую фигуру.

В результате получится плоский правильный шестиугольник, который можно "надеть" на куб так, чтобы его вершины совпали с серединами соответствующих ребер.

Ответ: Для изготовления модели необходимо взять кусок проволоки длиной $3\sqrt{2}a$ (где $a$ – длина ребра куба), разделить его на 6 равных частей длиной $a/\sqrt{2}$ каждая и согнуть в виде правильного шестиугольника с внутренними углами $120^\circ$.

9 Кусок верёвки выложен так, как показано на рисунке 1.8, а–в. Как вы думаете, завяжет-ся ли узел, если потянуть за концы верёвки? Проверьте себя, проведя эксперимент.

1.8

а

б

в

1.9

Чтобы определить, завяжется ли узел, нужно мысленно или на практике потянуть за концы веревки и проследить за движением петель и перекрестий. Узел образуется только в том случае, если веревка образует такую структуру, которая при затягивании сама себя блокирует и не может быть расправлена в прямую линию.

а

В этой конфигурации один конец веревки проходит через петлю, образованную другой ее частью. Это классический пример простого узла (также известного как полуузел или прямой узел). Когда мы потянем за концы веревки, петля затянется вокруг проходящей через нее части, и узел завяжется.

Ответ: узел завяжется.

б

На этом рисунке веревка выложена в виде двух симметричных петель, которые переплетаются. Однако, если внимательно проследить путь веревки, можно заметить, что она не образует самозатягивающейся структуры. При натяжении концов обе петли будут скользить и расправляться до тех пор, пока вся веревка не превратится в прямую линию. Такая конфигурация является примером ложного узла.

Ответ: узел не завяжется.

в

Здесь мы видим более сложное переплетение. Веревка образует несколько петель, и ее конец продет через них таким образом, что создается блокирующая структура. При натяжении концов петли будут затягиваться, образуя прочный и стабильный узел, похожий на "восьмерку". Эта конфигурация является настоящим узлом.

Ответ: узел завяжется.

10 Перечертите в тетрадь спираль, изображённую на рисунке 1.9, и продолжите её «раскручивание». Начертите такую же спираль, но «раскручивающуюся» в противоположную сторону.

1.9

Перечертите в тетрадь спираль, изображённую на рисунке 1.9, и продолжите её «раскручивание».

Исходная спираль строится из последовательных отрезков, которые рисуются на клетчатой бумаге. Проанализировав рисунок, можно выявить следующую закономерность:
1. Направления движения циклически меняются: вправо, вниз, влево, вверх, снова вправо и так далее. Это соответствует повороту на 90° в одну и ту же сторону (по часовой стрелке) в конце каждого отрезка.
2. Длины отрезков (в клетках) образуют последовательность: $1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, \dots$ . То есть, каждые два шага длина отрезка увеличивается на 1.

Последний отрезок на исходном рисунке имеет длину 4 клетки и направлен влево. Чтобы продолжить «раскручивание» спирали, нужно следовать этому правилу:
- Следующий отрезок будет направлен вверх и будет иметь ту же длину 4.
- Затем длина увеличится до 5, и следующий отрезок будет направлен вправо.
- После этого отрезок длиной 5 будет направлен вниз, и так далее.

На рисунке ниже исходная спираль показана черным цветом, а её продолжение — синим.

Ответ: Продолжение спирали, построенное в соответствии с установленной закономерностью, показано на рисунке выше.

Начертите такую же спираль, но «раскручивающуюся» в противоположную сторону.

Исходная спираль раскручивается по часовой стрелке, так как каждый поворот является правым. Чтобы построить спираль, раскручивающуюся в противоположную сторону, необходимо выполнять левые повороты. Это создаст спираль, которая раскручивается против часовой стрелки.

Мы сохраним правило изменения длин отрезков ($1, 1, 2, 2, 3, 3, \dots$) и начнем движение так же, вправо на 1 клетку. Но после каждого отрезка будем поворачивать налево. Последовательность направлений будет следующей: вправо, вверх, влево, вниз, снова вправо и так далее.

Ответ: Спираль, раскручивающаяся в противоположную сторону (против часовой стрелки), изображена на рисунке выше.

11 Перечертите в тетрадь звезду (рис. 1.10).

1.10

Для того чтобы перечертить звезду, изображенную на рисунке, в тетрадь с клетчатой бумагой, необходимо выполнить следующие шаги:

Определение координат вершин звезды

Чтобы точно воспроизвести рисунок, введем на листе бумаги условную систему координат. Примем за начало координат $(0, 0)$ точку, соответствующую левому нижнему углу воображаемого прямоугольника, в который вписана звезда. Пусть одна клетка соответствует единице длины по осям. Судя по рисунку, габариты звезды укладываются в сетку размером 8 клеток в ширину и 6 клеток в высоту.

Звезда имеет пять вершин. Определим координаты каждой из них, отсчитывая от начала координат $(0, 0)$:

• Верхняя вершина (назовем ее A): 4 клетки вправо и 6 клеток вверх. Ее координаты: $A(4, 6)$.
• Правая вершина (B): 8 клеток вправо и 4 клетки вверх. Ее координаты: $B(8, 4)$.
• Правая нижняя вершина (C): 7 клеток вправо и 1 клетку вверх. Ее координаты: $C(7, 1)$.
• Левая нижняя вершина (D): 1 клетку вправо и 1 клетку вверх. Ее координаты: $D(1, 1)$.
• Левая вершина (E): 0 клеток вправо (т.е. на оси Y) и 4 клетки вверх. Ее координаты: $E(0, 4)$.

Построение звезды

1. Начните с того, что отметьте на своей клетчатой бумаге все пять вершин-точек с найденными координатами: A, B, C, D, E.

2. Затем, используя линейку, последовательно соедините эти точки отрезками прямых линий в следующем порядке, чтобы получилась замкнутая фигура звезды:

• Соедините вершину A $(4, 6)$ с вершиной C $(7, 1)$.
• Соедините вершину C $(7, 1)$ с вершиной E $(0, 4)$.
• Соедините вершину E $(0, 4)$ с вершиной B $(8, 4)$.
• Соедините вершину B $(8, 4)$ с вершиной D $(1, 1)$.
• В завершение соедините вершину D $(1, 1)$ с исходной вершиной A $(4, 6)$.

После выполнения этих шагов у вас получится точная копия звезды, показанной на рисунке.

Ответ: Для построения звезды необходимо на клетчатой бумаге отметить точки с координатами $A(4, 6)$, $B(8, 4)$, $C(7, 1)$, $D(1, 1)$, $E(0, 4)$ и соединить их отрезками в последовательности A→C→E→B→D→A.

12 Скопируйте от руки в тетрадь овал, изображённый на рисунке 1.11.

Сначала в узлы сетки, через которые проходит овал, поставьте точки.

1.11

Для того чтобы скопировать овал, изображенный на рисунке, необходимо выполнить последовательность действий, опираясь на указание в задаче — сначала найти опорные точки на узлах сетки.

Шаг 1: Подготовка сетки и определение габаритов

Начните с подготовки сетки в вашей тетради (например, используя тетрадь в клетку). Овал, показанный на рисунке, можно вписать в прямоугольник размером 10 клеток в ширину и 4 клетки в высоту. Для удобства введем систему координат: пусть левая граница овала находится на линии $x=0$, правая — на $x=10$, нижняя — на $y=0$, а верхняя — на $y=4$. Центр овала будет находиться в точке с координатами $(5, 2)$.

Шаг 2: Нанесение опорных точек

Теперь, согласно указанию, найдём узлы сетки (точки пересечения линий), через которые проходит овал. Внимательно изучив рисунок, можно определить 8 ключевых точек, которые помогут точно воспроизвести его форму. Эти точки симметричны относительно центра овала.

Отметьте на своей сетке следующие точки:

• Крайние точки (вершины) овала: $(0, 2)$, $(10, 2)$, $(5, 0)$, $(5, 4)$.
• Промежуточные точки, определяющие кривизну: $(3, 1)$, $(7, 1)$, $(3, 3)$, $(7, 3)$.

Всего у вас должно получиться 8 отмеченных точек, которые лежат на узлах или линиях сетки.

Шаг 3: Построение овала

После того как все 8 опорных точек нанесены на сетку, аккуратно соедините их плавной, непрерывной линией от руки. Старайтесь, чтобы кривая была симметричной относительно центра. Удобно сначала нарисовать одну четверть овала (например, от точки $(5, 4)$ через $(3, 3)$ до точки $(0, 2)$), а затем, соблюдая симметрию, достроить остальные части.

Ответ:
Для копирования овала необходимо начертить в тетради сетку, соответствующую прямоугольнику 10x4 клеток. Затем отметить на ней 8 опорных точек с координатами $(0, 2)$, $(10, 2)$, $(5, 0)$, $(5, 4)$, $(3, 1)$, $(7, 1)$, $(3, 3)$, $(7, 3)$ и соединить их плавной симметричной кривой.

13 Перенесите рисунок 1.12 в тетрадь и продолжите построение линии.

1.12

Для того чтобы продолжить построение линии, необходимо определить закономерность в узоре и циклически ее повторять. Узор состоит из повторяющихся элементов (мотивов).

Каждый мотив, образующий X-образную фигуру и соединение со следующей, строится в четыре шага:

1. Провести диагональный отрезок на 2 клетки вправо и 2 клетки вниз.
2. Провести горизонтальный отрезок на 2 клетки влево.
3. Провести диагональный отрезок на 2 клетки вправо и 2 клетки вверх.
4. Провести горизонтальный отрезок на 2 клетки вправо.

В исходном рисунке линия обрывается на третьем шаге третьего по счету элемента. Чтобы продолжить узор, нужно сначала завершить этот элемент, выполнив четвертый шаг, а затем начать строить следующий, повторяя последовательность шагов с первого по четвертый.

Продолжение линии показано на рисунке ниже (продолжение выделено красным цветом):

Ответ: Необходимо циклически повторять мотив узора, состоящий из четырех шагов: диагональный отрезок (2 клетки вправо, 2 вниз), горизонтальный отрезок (2 клетки влево), диагональный отрезок (2 клетки вправо, 2 вверх) и горизонтальный отрезок (2 клетки вправо).