Страница 18 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

26 ЗАДАЧА-ИССЛЕДОВАНИЕ

1) Начертите две пересекающиеся прямые. Проведите третью прямую, пересекающую каждую из этих прямых и не проходящую через их точку пересечения. Сколько точек попарного пересечения прямых у вас получилось?

2) В некотором городе три попарно пересекающиеся улицы. На каждом перекрёстке установлен светофор. Других светофоров в городе нет. Сколько всего светофоров в городе? Было решено проложить новую улицу, пересекающую все старые и не проходящую через уже имеющиеся перекрёстки. Сколько придётся установить светофоров? А если прокладка улиц будет продолжена таким же образом, можно ли сказать, сколько будет светофоров в городе с десятью улицами?

1) Две пересекающиеся прямые имеют одну общую точку пересечения. Третья прямая, по условию, пересекает каждую из двух первых прямых, но не проходит через уже существующую точку их пересечения. Это означает, что третья прямая создаст две новые точки пересечения — по одной с каждой из первых двух прямых. Таким образом, общее количество точек попарного пересечения будет равно сумме первоначальной точки и двух новых: $1 + 2 = 3$.
Ответ: 3.

2) В данной задаче улицы можно представить как прямые, а перекрёстки — как точки их пересечения. Светофор устанавливается на каждом перекрёстке.

Сколько всего светофоров в городе?
Изначально в городе 3 попарно пересекающиеся улицы. Количество перекрёстков равно количеству способов выбрать 2 улицы из 3 для образования пересечения. Это можно рассчитать с помощью формулы сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$:
$C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times 1} = 3$.
Следовательно, в городе 3 перекрёстка и 3 светофора.

Сколько придётся установить светофоров?
Было решено проложить новую, четвёртую, улицу. По условию, она пересекает все 3 старые улицы и не проходит через уже имеющиеся перекрёстки. Это значит, что новая улица создаст по одному новому перекрёстку с каждой из трёх существующих улиц. Таким образом, появится 3 новых перекрёстка. Для каждого нового перекрёстка потребуется один светофор. Значит, придётся установить 3 новых светофора.

А если прокладка улиц будет продолжена таким же образом, можно ли сказать, сколько будет светофоров в городе с десятью улицами?
Да, можно. Общее количество перекрёстков (светофоров) в городе с $n$ улицами, где каждая улица пересекает каждую другую в уникальной точке, можно найти по формуле числа сочетаний из $n$ по 2:
$C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$
Для города с десятью улицами ($n=10$) количество светофоров будет:
$C_{10}^2 = \frac{10 \times (10-1)}{2} = \frac{10 \times 9}{2} = \frac{90}{2} = 45$.
В городе с десятью улицами будет 45 светофоров.

Ответ: В городе с тремя улицами — 3 светофора. При прокладке новой улицы придётся установить 3 светофора. В городе с десятью улицами будет 45 светофоров.

27 Определите на глаз среди трёх отрезков, изображённых на рисунке 1.26, наибольший и наименьший. Проверьте себя, воспользовавшись циркулем. Назовите отрезки в порядке убывания их длин.

1.26

Определите на глаз среди трёх отрезков, изображённых на рисунке 1.26, наибольший и наименьший.

На рисунке представлены три отрезка: $LK$, $MN$ и $PQ$. При визуальном сравнении можно предположить, что отрезок $LK$ является наибольшим, а отрезок $MN$ — наименьшим. Часто подобные расположения отрезков создают оптические иллюзии, поэтому для точного ответа необходима проверка.

Ответ: На глаз наибольший отрезок — $LK$, наименьший — $MN$.

Проверьте себя, воспользовавшись циркулем.

Для точной проверки и сравнения длин отрезков воспользуемся циркулем.

1. Сравним длины отрезков $LK$ и $PQ$. Установим ножки циркуля в точки $L$ и $K$. Не меняя раствора циркуля, установим одну ножку в точку $P$. Вторая ножка окажется дальше точки $Q$. Следовательно, отрезок $LK$ длиннее отрезка $PQ$, то есть $LK > PQ$.
2. Теперь сравним длины отрезков $PQ$ и $MN$. Установим ножки циркуля в точки $P$ и $Q$. Сохраняя этот раствор, установим одну ножку в точку $M$. Вторая ножка окажется дальше точки $N$. Следовательно, отрезок $PQ$ длиннее отрезка $MN$, то есть $PQ > MN$.

Таким образом, проверка с помощью циркуля подтверждает, что $LK$ — самый длинный отрезок, а $MN$ — самый короткий.

Ответ: Проверка циркулем показала, что наибольший отрезок — $LK$, а наименьший — $MN$.

Назовите отрезки в порядке убывания их длин.

На основании измерений, выполненных с помощью циркуля, мы установили следующее соотношение длин отрезков: $LK > PQ > MN$. Таким образом, отрезки в порядке убывания (от самого длинного к самому короткому) располагаются в следующей последовательности: $LK$, $PQ$, $MN$.

Ответ: $LK, PQ, MN$.

28 Начертите на нелинованном листе бумаги четыре отрезка, измерьте их и запишите результаты измерений.

Это практическое задание, для выполнения которого потребуется нелинованный лист бумаги, карандаш и линейка. Так как я не могу выполнить действия физически, я приведу пример того, как может выглядеть решение.

Сначала на листе бумаги нужно начертить четыре отрезка произвольной длины и обозначить их концы буквами. Затем, используя линейку, измерить длину каждого отрезка и записать результаты.

Результаты измерений для первого отрезка (AB)

Приложив линейку к первому отрезку, мы измерили его длину. Она составила 7 сантиметров.

Ответ: $AB = 7$ см.

Результаты измерений для второго отрезка (CD)

Измерение второго отрезка показало, что его длина равна 5 сантиметрам и 4 миллиметрам.

Ответ: $CD = 5.4$ см.

Результаты измерений для третьего отрезка (EF)

Длина третьего отрезка, измеренная с помощью линейки, оказалась равной 10 сантиметрам и 2 миллиметрам.

Ответ: $EF = 10.2$ см.

Результаты измерений для четвертого отрезка (GH)

Измерение последнего, четвертого, отрезка показало, что его длина составляет ровно 9 сантиметров.

Ответ: $GH = 9$ см.

29 a) Постройте по клеточкам в тетради отрезки длиной 5 см, 6 см 5 мм.

б) Постройте на классной доске отрезки длиной 1 м, 1 м 15 см.

в) Измерьте длину и ширину вашей комнаты, выбрав подходящий измерительный инструмент.

а) Для построения отрезков в тетради по клеточкам, необходимо знать стандартный размер одной клетки. Обычно сторона одной клетки в школьной тетради равна 5 мм, или 0,5 см. Таким образом, 1 см равен двум клеткам.

1. Построение отрезка длиной 5 см.
Чтобы найти, сколько клеток составляет 5 см, нужно умножить длину в сантиметрах на 2:
$5 \text{ см} \times 2 \text{ клетки/см} = 10 \text{ клеток}$.
С помощью линейки проведите по линиям сетки отрезок, длина которого равна 10 клеткам.

2. Построение отрезка длиной 6 см 5 мм.
Сначала переведем всю длину в одну единицу измерения, например, в миллиметры. В одном сантиметре 10 миллиметров.
$6 \text{ см} 5 \text{ мм} = 6 \times 10 \text{ мм} + 5 \text{ мм} = 60 \text{ мм} + 5 \text{ мм} = 65 \text{ мм}$.
Так как одна клетка равна 5 мм, найдем количество клеток:
$65 \text{ мм} / 5 \text{ мм/клетку} = 13 \text{ клеток}$.
С помощью линейки проведите по линиям сетки отрезок, длина которого равна 13 клеткам.

Ответ: Для построения отрезка длиной 5 см нужно начертить отрезок на 10 клеток. Для построения отрезка длиной 6 см 5 мм нужно начертить отрезок на 13 клеток.

б) Для построения отрезков на классной доске понадобится измерительный инструмент большей длины, например, метровая линейка (метр) и мел.

1. Построение отрезка длиной 1 м.
Приложите метровую линейку к доске. Отметьте мелом начальную точку у отметки «0» и конечную точку у отметки «100 см» (или «1 м»). Соедините эти две точки, проведя прямую линию вдоль линейки.

2. Построение отрезка длиной 1 м 15 см.
Эта длина равна $100 \text{ см} + 15 \text{ см} = 115 \text{ см}$.
Приложите метровую линейку к доске и отметьте начальную точку. Проведите вдоль линейки отрезок длиной 1 м (100 см) и отметьте его конец. Затем, не убирая линейку, или приложив ее заново так, чтобы ее начало совпадало с концом уже начерченного отрезка, отмерьте еще 15 см и поставьте конечную точку. Соедините начальную точку с конечной (на отметке 115 см).

Ответ: Необходимо использовать метровую линейку и мел, чтобы отмерить и начертить на доске отрезки требуемой длины.

в) Для измерения длины и ширины комнаты наиболее подходящим измерительным инструментом будет строительная рулетка, так как она имеет достаточную длину и гибкость.

Процесс измерения:

1. Измерение длины: Возьмите рулетку. Зацепите ее конец за угол комнаты у пола (у плинтуса). Растяните ленту рулетки вдоль более длинной стены до противоположного угла. Лента должна быть натянута и лежать прямо. Зафиксируйте показание на шкале рулетки. Это будет длина комнаты.

2. Измерение ширины: Повторите ту же процедуру для более короткой стены. Это будет ширина комнаты.

Поскольку реальные размеры комнаты неизвестны, приведем пример возможных измерений.

Пример:
Длина комнаты: 5 метров 30 сантиметров ($5,30$ м).
Ширина комнаты: 3 метра 50 сантиметров ($3,50$ м).

Ответ: Для измерения нужно выбрать рулетку. Измерить длину и ширину комнаты, растягивая рулетку вдоль стен по полу. Например, длина комнаты может быть 5 м 30 см, а ширина — 3 м 50 см.

30 a) Сделайте рисунок по следующему условию: точка C принадлежит отрезку AB; $AC = 5 \text{ см } 4 \text{ мм}, CB = 3 \text{ см } 7 \text{ мм}$. Чему равна длина отрезка AB?

b) Сделайте рисунок по следующему условию: точка C принадлежит отрезку AB; $AB = 10 \text{ см}, AC = 4 \text{ см } 5 \text{ мм}$. Чему равна длина отрезка CB?

а)

Сделаем схематический рисунок. Поскольку точка С принадлежит отрезку AB, она расположена между точками A и B.

A———————C—————B

Длина всего отрезка AB равна сумме длин его частей AC и CB. Это можно записать в виде формулы:
$AB = AC + CB$
По условию задачи нам известны длины отрезков AC и CB:
$AC = 5 \text{ см } 4 \text{ мм}$
$CB = 3 \text{ см } 7 \text{ мм}$
Чтобы найти длину отрезка AB, сложим эти значения. Складывать будем отдельно сантиметры и отдельно миллиметры:
$AB = (5 \text{ см } + 3 \text{ см}) + (4 \text{ мм} + 7 \text{ мм}) = 8 \text{ см } 11 \text{ мм}$
Мы знаем, что в одном сантиметре содержится 10 миллиметров ($1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$). Поэтому 11 мм можно представить как 1 см и 1 мм.
$11 \text{ мм} = 10 \text{ мм} + 1 \text{ мм} = 1 \text{ см } 1 \text{ мм}$
Теперь добавим этот 1 см к уже имеющимся 8 см:
$AB = 8 \text{ см } + 1 \text{ см } 1 \text{ мм} = 9 \text{ см } 1 \text{ мм}$

Ответ: 9 см 1 мм.

б)

Сделаем схематический рисунок, аналогичный предыдущему пункту.

A—————C—————————B

Как и в первом случае, длина всего отрезка AB складывается из длин его частей: $AB = AC + CB$.
Из этой формулы мы можем выразить длину неизвестного отрезка CB. Для этого нужно из длины всего отрезка AB вычесть длину известной части AC:
$CB = AB - AC$
По условию задачи нам известны длины отрезков AB и AC:
$AB = 10 \text{ см}$
$AC = 4 \text{ см } 5 \text{ мм}$
Чтобы выполнить вычитание, нам нужно, чтобы у уменьшаемого (AB) тоже были миллиметры. Представим 10 см в более удобном для вычитания виде. Возьмем 1 см из 10 и переведем его в миллиметры:
$10 \text{ см} = 9 \text{ см } + 1 \text{ см} = 9 \text{ см } 10 \text{ мм}$
Теперь можно выполнить вычитание, отнимая сантиметры от сантиметров, а миллиметры от миллиметров:
$CB = (9 \text{ см } 10 \text{ мм}) - (4 \text{ см } 5 \text{ мм}) = (9 \text{ см} - 4 \text{ см}) + (10 \text{ мм} - 5 \text{ мм}) = 5 \text{ см } 5 \text{ мм}$

Ответ: 5 см 5 мм.

31 Начертите прямую и отметьте на ней точки A и B, такие, что $AB = 3$ см.

Отметьте на прямой точку C так, чтобы выполнялось условие:

а) $AC = 2$ см, $BC = 1$ см;

б) $AC = 2$ см, $BC = 5$ см;

в) $AC = 8$ см, $BC = 5$ см.

Сначала начертим прямую и отметим на ней точки A и B так, чтобы расстояние между ними было равно 3 см ($AB = 3$ см). Теперь для каждого случая определим положение точки C.

Чтобы определить положение точки C, рассмотрим три возможных варианта ее расположения на прямой относительно точек A и B.

1. Точка C лежит между точками A и B. В этом случае, согласно аксиоме измерения отрезков, должно выполняться равенство $AC + BC = AB$. Подставим известные значения: $2 \text{ см} + 1 \text{ см} = 3 \text{ см}$. Так как полученная сумма равна длине отрезка AB ($3 \text{ см} = 3 \text{ см}$), этот вариант расположения является верным.

2. Точка A лежит между точками C и B. В этом случае должно выполняться равенство $CA + AB = CB$. Подставим значения: $2 \text{ см} + 3 \text{ см} = 5 \text{ см}$. Это противоречит условию, что $BC = 1$ см, поэтому такое расположение невозможно.

3. Точка B лежит между точками A и C. В этом случае должно выполняться равенство $AB + BC = AC$. Подставим значения: $3 \text{ см} + 1 \text{ см} = 4 \text{ см}$. Это противоречит условию, что $AC = 2$ см, поэтому такое расположение также невозможно.

Следовательно, точка C может быть расположена только между точками A и B.

Схематично это выглядит так:

A-----2 см-----C--1 см--B

Ответ: Точка C расположена на отрезке AB между точками A и B.

Рассмотрим три возможных варианта расположения точки C на прямой.

1. Точка C лежит между точками A и B. В этом случае должно выполняться равенство $AC + BC = AB$. Подставим значения: $2 \text{ см} + 5 \text{ см} = 7 \text{ см}$. Это не равно длине отрезка AB ($7 \text{ см} \ne 3 \text{ см}$), значит, такое расположение невозможно.

2. Точка A лежит между точками C и B. В этом случае должно выполняться равенство $CA + AB = CB$. Подставим известные значения: $2 \text{ см} + 3 \text{ см} = 5 \text{ см}$. Это соответствует условию, что $BC = 5$ см, следовательно, этот вариант расположения верный. Точка C находится на продолжении отрезка BA за точку A.

3. Точка B лежит между точками A и C. В этом случае должно выполняться равенство $AB + BC = AC$. Подставим значения: $3 \text{ см} + 5 \text{ см} = 8 \text{ см}$. Это противоречит условию, что $AC = 2$ см, значит, такое расположение невозможно.

Таким образом, точка A лежит между точками C и B.

Схематично это выглядит так:

C--2 см--A---------3 см---------B

Ответ: Точка C расположена на прямой так, что точка A находится между точками C и B.

Рассмотрим три возможных варианта расположения точки C.

1. Точка C лежит между точками A и B. В этом случае $AC + BC = AB$. Подставим значения: $8 \text{ см} + 5 \text{ см} = 13 \text{ см}$. Это не равно длине отрезка AB ($13 \text{ см} \ne 3 \text{ см}$), поэтому такое расположение невозможно.

2. Точка A лежит между точками C и B. В этом случае $CA + AB = CB$. Подставим значения: $8 \text{ см} + 3 \text{ см} = 11 \text{ см}$. Это противоречит условию, что $BC = 5$ см, значит, такое расположение невозможно.

3. Точка B лежит между точками A и C. В этом случае должно выполняться равенство $AB + BC = AC$. Подставим известные значения: $3 \text{ см} + 5 \text{ см} = 8 \text{ см}$. Это соответствует условию, что $AC = 8$ см, следовательно, этот вариант расположения верный. Точка C находится на продолжении отрезка AB за точку B.

Таким образом, точка B лежит между точками A и C.

Схематично это выглядит так:

A---------3 см---------B-----5 см-----C

Ответ: Точка C расположена на прямой так, что точка B находится между точками A и C.

32 Постройте отрезок $AB$. Отметьте на глаз точку $C$ — середину отрезка $AB$, а затем точки $D$ и $E$ — середины отрезков $AC$ и $CB$ соответственно. У вас получится схематический рисунок. Пусть $AD = 3 \text{ см}$. Вычислите длины отрезков $DE$ и $AB$.

Вычисление длины отрезка DE

1. Точки на отрезке $AB$ расположены в следующем порядке: A, D, C, E, B. Длина отрезка $DE$ равна сумме длин отрезков $DC$ и $CE$.
$DE = DC + CE$.
2. Найдем длину отрезка $DC$. По условию, точка $D$ является серединой отрезка $AC$, следовательно, $DC = AD$. Так как $AD = 3$ см, то и $DC = 3$ см.
3. Найдем длину отрезка $CE$. Для этого сначала нужно найти длину отрезка $CB$.
- Сначала найдем длину $AC$. Так как $D$ — середина $AC$, то $AC = 2 \cdot AD = 2 \cdot 3 \text{ см} = 6 \text{ см}$.
- По условию, точка $C$ — середина $AB$, значит, $CB = AC = 6$ см.
- Точка $E$ является серединой отрезка $CB$, следовательно, $CE = \frac{1}{2} CB = \frac{1}{2} \cdot 6 \text{ см} = 3 \text{ см}$.
4. Теперь мы можем вычислить длину отрезка $DE$:
$DE = DC + CE = 3 \text{ см} + 3 \text{ см} = 6 \text{ см}$.
Ответ: $6$ см.

Вычисление длины отрезка AB

1. По условию, точка $C$ является серединой отрезка $AB$. Это означает, что длина отрезка $AB$ в два раза больше длины отрезка $AC$.
$AB = 2 \cdot AC$.
2. Длину отрезка $AC$ мы уже определили в предыдущем пункте: $AC = 6$ см.
3. Подставим это значение в формулу:
$AB = 2 \cdot 6 \text{ см} = 12 \text{ см}$.
Ответ: $12$ см.

33 Точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой. Расстояние между точками $A$ и $B$ равно 20 см, а между точками $B$ и $C$ — 5 см. Найдите расстояние между точками $A$ и $C$.

Рассмотрите различные случаи расположения точек на прямой.

Поскольку точки A, B и C лежат на одной прямой, их взаимное расположение может быть разным. В соответствии с подсказкой, рассмотрим различные случаи, которые приводят к двум возможным решениям.

Первый случай: точка B лежит между точками A и C

В этом варианте точки на прямой расположены в порядке A–B–C. Расстояние между крайними точками A и C равно сумме расстояний AB и BC.

Вычисляем расстояние $AC$:

$AC = AB + BC$

$AC = 20 \text{ см} + 5 \text{ см} = 25 \text{ см}$

Ответ: 25 см.

Второй случай: точка C лежит между точками A и B

В этом варианте точки на прямой расположены в порядке A–C–B. Расстояние $AB$ складывается из расстояний $AC$ и $CB$. Следовательно, чтобы найти расстояние $AC$, нужно из расстояния $AB$ вычесть расстояние $BC$.

Вычисляем расстояние $AC$:

$AC = AB - BC$

$AC = 20 \text{ см} - 5 \text{ см} = 15 \text{ см}$

Ответ: 15 см.

Третий логически возможный вариант, когда точка A находится между точками B и C (B–A–C), невозможен при заданных условиях. В этом случае расстояние $BC$ должно было бы быть равно сумме расстояний $BA$ и $AC$. Подстановка значений ($5 = 20 + AC$) приводит к отрицательному значению для длины отрезка $AC$, что невозможно, так как расстояние не может быть отрицательным.

34 В каких единицах вы будете измерять:

а) расстояние от дома до школы;

б) длину отреза ткани при покупке;

в) длину и ширину книги;

г) расстояние до ближайшего населённого пункта?

$1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$

$1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$

$1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$

$1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$

а) расстояние от дома до школы; Для измерения расстояния от дома до школы обычно используют метры или километры. Выбор единицы измерения зависит от конкретного расстояния. Если школа находится недалеко, например, в нескольких кварталах, то расстояние удобно измерять в метрах (м). Например, 500 м. Если же до школы нужно добираться на транспорте, то расстояние, скорее всего, будет составлять несколько километров, и его удобнее измерять в километрах (км). Например, 3 км. Ответ: метры (м), километры (км).

б) длину отреза ткани при покупке; Длину отреза ткани при покупке принято измерять в метрах (м). В магазинах тканей цены обычно указываются за один погонный метр. Также для точности могут использоваться сантиметры (см), особенно если требуется не целое число метров, например, 1.5 метра, что составляет 150 сантиметров. Ответ: метры (м), сантиметры (см).

в) длину и ширину книги; Длину и ширину книги, как и других небольших предметов, удобнее всего измерять в сантиметрах (см). Для большей точности, например, в типографском деле, могут использоваться миллиметры (мм). Например, размеры стандартной книги могут быть $13$ см в ширину и $20$ см в длину, что эквивалентно $130$ мм и $200$ мм. Ответ: сантиметры (см), миллиметры (мм).

г) расстояние до ближайшего населённого пункта? Расстояния между населёнными пунктами (городами, деревнями) являются значительными, поэтому для их измерения используется самая крупная из предложенных единиц длины — километры (км). Указывать такие расстояния в метрах было бы неудобно из-за больших числовых значений (например, $25 \ 000$ м вместо $25$ км). Ответ: километры (км).