Страница 24 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

1 Отметьте точки $A$ и $B$. Проведите прямую $AB$. Отложите на этой прямой отрезок $NM$, равный отрезку $AB$. Измерьте длину отрезка $AN$.

Данная задача по геометрии требует выполнить построение и найти длину отрезка. Условие "Отложите на этой прямой отрезок NM, равный отрезку AB" можно интерпретировать несколькими способами, так как точное положение отрезка NM не указано. Решение будет зависеть от выбранного способа построения. Рассмотрим все возможные случаи.

Сначала выполним первые шаги: отметим две произвольные точки A и B и проведем через них прямую. Длину полученного отрезка AB обозначим переменной $d$, то есть $|AB| = d$. Согласно условию, отрезок NM должен иметь такую же длину: $|NM| = d$.

Случай 1: Отрезок NM имеет общую точку с отрезком AB

Это наиболее распространенный способ выполнения подобных построений, когда новый отрезок откладывается от одной из уже существующих точек.

• Точка N совпадает с A ($N \equiv A$). В этом случае длина отрезка AN, очевидно, равна нулю. Отрезок NM ($|AM|=d$) может либо совпадать с AB (тогда M совпадает с B), либо лежать на прямой с другой стороны от A. В любом случае, $|AN|=0$.
• Точка M совпадает с B ($M \equiv B$). В этом случае мы откладываем отрезок NM ($|NB|=d$) от точки B. Возможны два варианта:
  1. Точка N откладывается в сторону точки A. Тогда N совпадает с A, и длина отрезка AN равна нулю: $|AN| = 0$.
  2. Точка N откладывается в сторону, противоположную A. В этом случае точки на прямой располагаются в порядке A-B-N. Длина отрезка AN будет равна сумме длин отрезков AB и BN: $|AN| = |AB| + |BN| = d + d = 2d = 2|AB|$.
• Точка N совпадает с B ($N \equiv B$). Тогда длина отрезка AN равна длине отрезка AB: $|AN| = |AB| = d$. При этом точка M может совпадать с A или быть отложена от B в сторону, противоположную A.

Случай 2: Отрезок NM не имеет общих точек с отрезком AB

В этом случае отрезок NM расположен на прямой AB, но отдельно от отрезка AB. Тогда расстояние AN будет зависеть от расстояния между ближайшими концами отрезков (например, между B и N). Так как это расстояние можно выбрать произвольно, задача не будет иметь конкретного численного решения. Поэтому этот случай маловероятен в контексте учебной задачи.

Вывод

Анализ показывает, что в зависимости от интерпретации условия, длина отрезка AN может принимать три значения, выраженных через исходную длину отрезка AB:

• $|AN| = 0$
• $|AN| = |AB|$
• $|AN| = 2|AB|$

В задачах на построение, как правило, ищется нетривиальное решение, которое требует создания новой геометрической конфигурации. Варианты $|AN|=0$ и $|AN|=|AB|$ в основном сводятся к переименованию уже существующих точек. Случай, когда $|AN| = 2|AB|$, соответствует классической задаче на удвоение отрезка и является наиболее содержательным результатом построения.

Таким образом, наиболее вероятное и полное решение задачи заключается в построении, при котором отрезок удваивается.

Ответ: Длина отрезка AN зависит от способа построения. Возможные значения длины: $0$, $|AB|$ и $2|AB|$. Наиболее вероятный ответ, подразумеваемый в такого рода задачах, — это $|AN| = 2|AB|$.

2 Отметьте точку $A$ и проведите через неё две различные прямые. Обозначьте и запишите получившиеся лучи.

Для решения этой задачи выполним следующие шаги:

1. Отметим на плоскости точку, которую назовем $A$.

2. Проведем через эту точку $A$ две прямые, которые не совпадают. Пусть это будут прямые $m$ и $n$. Точка $A$ является точкой их пересечения.

3. Чтобы назвать получившиеся лучи, отметим на каждой прямой по одной точке с каждой стороны от точки $A$.
- На прямой $m$ отметим точки $B$ и $C$ так, чтобы точка $A$ лежала между ними.
- На прямой $n$ отметим точки $D$ и $E$ так, чтобы точка $A$ лежала между ними.

В результате мы получим следующую геометрическую конструкцию:

4. Теперь запишем все лучи, которые образовались. Луч — это часть прямой, имеющая начало в некоторой точке и простирающаяся бесконечно в одном направлении. В нашем случае точка $A$ является началом для четырех лучей:

• Луч $AB$ — начинается в точке $A$ и проходит через точку $B$.
• Луч $AC$ — начинается в точке $A$ и проходит через точку $C$. Лучи $AB$ и $AC$ являются дополнительными друг другу.
• Луч $AD$ — начинается в точке $A$ и проходит через точку $D$.
• Луч $AE$ — начинается в точке $A$ и проходит через точку $E$. Лучи $AD$ и $AE$ также являются дополнительными.

Ответ: При пересечении двух прямых в точке $A$ образовались четыре луча: $AB$, $AC$, $AD$, $AE$.

3 Найдите длины ломаных?

$BA + BC + CD$

$AB + DE + DC$

Длина ломаной линии вычисляется как сумма длин всех её звеньев (отрезков). Поскольку в условии задачи не даны численные значения длин отрезков, решением будет формула для нахождения длины каждой ломаной.

Для ломаной ABCD (изображена слева):

Эта ломаная линия состоит из трёх звеньев: AB, BC и CD. Чтобы найти её общую длину, которую мы обозначим как $L_{ABCD}$, необходимо сложить длины этих трёх отрезков.

Формула для расчёта имеет вид:

$L_{ABCD} = |AB| + |BC| + |CD|$

Здесь $|AB|$, $|BC|$ и $|CD|$ — это длины соответствующих отрезков.

Ответ: Длина ломаной ABCD равна сумме длин её звеньев: $|AB| + |BC| + |CD|$.

Для ломаной ABCDE (изображена справа):

Эта ломаная линия состоит из четырёх звеньев: AB, BC, CD и DE. Её длина, обозначенная как $L_{ABCDE}$, также находится путём сложения длин всех составляющих её отрезков.

Формула для расчёта её длины:

$L_{ABCDE} = |AB| + |BC| + |CD| + |DE|$

Здесь $|AB|$, $|BC|$, $|CD|$ и $|DE|$ — это длины соответствующих отрезков.

Ответ: Длина ломаной ABCDE равна сумме длин её звеньев: $|AB| + |BC| + |CD| + |DE|$.

4 Каким свойством обладают точки окружности? Что называют радиусом окружности; диаметром окружности?

Каким свойством обладают точки окружности?

Основное свойство, которым обладают все точки окружности, заключается в том, что они равноудалены (находятся на одинаковом расстоянии) от одной точки, которая называется центром окружности. Эта точка не принадлежит самой окружности, а находится внутри области, ограниченной ею.

Если взять любую точку на окружности и измерить расстояние до ее центра, это расстояние будет одинаковым для всех точек данной окружности.

Ответ: Все точки окружности находятся на одинаковом расстоянии от ее центра.

Что называют радиусом окружности?

Радиусом окружности называют отрезок, который соединяет центр окружности с любой точкой, лежащей на этой окружности. Также термином "радиус" обозначают и длину этого отрезка. Обычно радиус обозначается латинскими буквами $r$ или $R$. Все радиусы одной окружности равны между собой.

Ответ: Радиусом окружности называют отрезок, соединяющий ее центр с любой точкой на окружности, а также длину этого отрезка.

Что называют диаметром окружности?

Диаметром окружности называют отрезок, который соединяет две любые точки на окружности и при этом проходит через ее центр. Диаметр является хордой (отрезком, соединяющим две точки окружности), проходящей через центр. Это самая длинная хорда в окружности. Также термином "диаметр" обозначают и длину этого отрезка. Обычно диаметр обозначается латинскими буквами $d$ или $D$. Длина диаметра всегда в два раза больше длины радиуса: $d = 2r$.

Ответ: Диаметром окружности называют отрезок, соединяющий две точки на окружности и проходящий через ее центр, а также длину этого отрезка.

5 Отметьте точку О. Проведите окружность с центром в точке О и радиусом 4 см. Чему равен диаметр этой окружности?

Чтобы найти диаметр окружности, необходимо знать её радиус. По условию задачи, радиус ($r$) окружности с центром в точке О равен 4 см.

Диаметр ($d$) — это отрезок, который соединяет две точки на окружности и проходит через её центр. Длина диаметра всегда в два раза больше длины радиуса.
Связь между диаметром и радиусом выражается формулой:
$d = 2 \times r$

Подставим известное значение радиуса в формулу, чтобы вычислить диаметр:
$d = 2 \times 4 \text{ см} = 8 \text{ см}$
Ответ: 8 см.

6 Отметьте точки А и В. Проведите окружность с центром в точке А, проходящую через точку В. Проведите радиус окружности и найдите его длину.

Отметьте точки А и В.

На плоскости, например, на листе бумаги, произвольно выберем и обозначим две различные точки. Назовем их А и В.

Проведите окружность с центром в точке А, проходящую через точку В.

По условию, центром окружности является точка А. Так как окружность должна проходить через точку В, то расстояние от центра А до точки В будет являться радиусом этой окружности. Для построения такой окружности необходимо использовать циркуль. Иглу циркуля следует установить в точку А (центр), а грифель — в точку В. Не меняя раствора циркуля, нужно провести замкнутую кривую. Эта кривая и будет окружностью, каждая точка которой, включая В, равноудалена от центра А.

Проведите радиус окружности и найдите его длину.

Радиус окружности — это отрезок, соединяющий её центр с любой точкой на окружности. В нашем случае центром является точка А, а точка В, по построению, лежит на окружности. Следовательно, отрезок, соединяющий точки А и В, является радиусом данной окружности. Проведём этот отрезок АВ.

Длина радиуса, которую мы можем обозначить как $R$, равна длине отрезка АВ. Чтобы найти эту длину, необходимо измерить расстояние между точками А и В с помощью линейки. Таким образом, длина радиуса вычисляется как $R = |AB|$. Поскольку начальное расположение точек не было задано, дать конкретный численный ответ невозможно. Длина радиуса будет зависеть от расстояния между выбранными точками А и В.

Ответ: Радиусом является отрезок АВ. Его длина равна расстоянию между точками А и В.

7. Начертите окружность с центром в точке $O$ и радиусом 3 см. Проведите прямую, пересекающую окружность. Обозначьте точки пересечения прямой и окружности буквами $A$ и $B$. Измерьте длину отрезка $AB$.

Для решения данной задачи необходимо выполнить построение и измерение. Результат измерения будет зависеть от того, как именно будет проведена прямая.

С помощью циркуля и линейки выполним это действие. Сначала отметим точку О, которая будет центром. Затем, используя линейку, установим расстояние между ножками циркуля равным 3 см. Поставив иглу циркуля в точку О, начертим окружность.

С помощью линейки проведём произвольную прямую так, чтобы она пересекла окружность в двух точках. Эти точки обозначим буквами А и В. Отрезок АВ, соединяющий две точки на окружности, называется хордой.

Длина отрезка АВ измеряется с помощью линейки. Эта длина не является постоянной и зависит от положения прямой относительно центра окружности О.

• Наибольшая возможная длина отрезка АВ достигается, когда прямая проходит через центр окружности О. В этом случае хорда АВ является диаметром. Длина диаметра равна двум радиусам: $d = 2R$. Для нашей окружности $d = 2 \cdot 3 = 6$ см.
• Если прямая не проходит через центр, то длина хорды АВ будет меньше длины диаметра, то есть меньше 6 см.

Таким образом, длина отрезка АВ может быть любым числом, большим нуля (так как прямая должна пересечь окружность в двух точках) и не превышающим длину диаметра.

Ответ: Длина отрезка АВ зависит от положения секущей прямой. Её значение находится в промежутке $0 < |AB| \le 6$ см. Максимальная длина отрезка АВ равна 6 см и достигается, когда прямая проходит через центр окружности.

8 Заполните пропуски:

$3 \text{ см } 2 \text{ мм } = \text{....... мм};$

$325 \text{ см } = \text{.... м .... см};$

$5 \text{ м } 20 \text{ см } = \text{....... см};$

$672 \text{ мм } = \text{.... см .... мм}.$

3 см 2 мм = ........ мм

Для того чтобы перевести сантиметры и миллиметры в миллиметры, необходимо знать соотношение между этими единицами измерения: $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$.
1. Сначала переведем сантиметры в миллиметры: $3 \text{ см} = 3 \times 10 \text{ мм} = 30 \text{ мм}$.
2. Затем к полученному значению прибавим оставшиеся миллиметры: $30 \text{ мм} + 2 \text{ мм} = 32 \text{ мм}$.
Таким образом, $3 \text{ см} \; 2 \text{ мм} = 32 \text{ мм}$.
Ответ: 32.

325 см = .... м .... см

Для того чтобы перевести сантиметры в метры и сантиметры, нужно помнить, что в одном метре 100 сантиметров: $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$.
1. Разделим общее количество сантиметров на 100. Целая часть от деления покажет количество полных метров, а остаток — количество сантиметров.
$325 \div 100 = 3$ (остаток $25$).
2. Это означает, что в 325 сантиметрах содержится 3 полных метра и 25 сантиметров.
Следовательно, $325 \text{ см} = 3 \text{ м} \; 25 \text{ см}$.
Ответ: 3 м 25 см.

5 м 20 см = ........ см

Чтобы перевести метры и сантиметры в сантиметры, используем соотношение $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$.
1. Сначала переведем метры в сантиметры: $5 \text{ м} = 5 \times 100 \text{ см} = 500 \text{ см}$.
2. Затем прибавим к результату оставшиеся сантиметры: $500 \text{ см} + 20 \text{ см} = 520 \text{ см}$.
Таким образом, $5 \text{ м} \; 20 \text{ см} = 520 \text{ см}$.
Ответ: 520.

672 мм = .... см .... мм

Чтобы перевести миллиметры в сантиметры и миллиметры, воспользуемся соотношением $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$.
1. Разделим общее количество миллиметров на 10. Целая часть от деления будет соответствовать количеству сантиметров, а остаток — количеству миллиметров.
$672 \div 10 = 67$ (остаток $2$).
2. Это означает, что в 672 миллиметрах содержится 67 полных сантиметров и 2 миллиметра.
Следовательно, $672 \text{ мм} = 67 \text{ см} \; 2 \text{ мм}$.
Ответ: 67 см 2 мм.