Страница 22 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

41 Отметьте точку O и начертите пять отрезков, равных 3 см, с общим концом в точке O. Другие концы этих отрезков лежат на окружности. Проведите её. Чему равен радиус этой окружности?

По определению, окружность — это геометрическое место точек на плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром. Расстояние от центра до любой точки на окружности называется радиусом.

В условии задачи сказано, что из точки О проведены пять отрезков одинаковой длины (3 см). Другие концы этих отрезков лежат на окружности. Это означает, что точка О является центром этой окружности, а сами отрезки являются ее радиусами, так как они соединяют центр окружности с точками, лежащими на ней.

Чему равен радиус этой окружности?
Длина каждого из этих отрезков (радиусов) по условию равна 3 см. Следовательно, радиус $R$ этой окружности также равен 3 см.
$R = 3$ см.
Ответ: 3 см.

42 Начертите окружности с радиусами, равными $2 \text{ см}$, $4 \text{ см } 5 \text{ мм}$. Чему равен диаметр каждой окружности?

Для нахождения диаметра окружности необходимо её радиус умножить на два. Математически это выражается формулой: $d = 2 \cdot r$, где $d$ — диаметр, а $r$ — радиус.

1. Для окружности с радиусом 2 см

Подставим значение радиуса $r_1 = 2$ см в формулу:
$d_1 = 2 \cdot 2 \text{ см} = 4 \text{ см}$.
Ответ: Диаметр первой окружности равен 4 см.

2. Для окружности с радиусом 4 см 5 мм

Сначала переведем радиус $r_2 = 4$ см 5 мм в одну единицу измерения.
Так как в 1 сантиметре 10 миллиметров, то 5 мм = 0,5 см.
Следовательно, радиус равен $r_2 = 4 \text{ см} + 0,5 \text{ см} = 4,5 \text{ см}$.
Теперь найдем диаметр $d_2$:
$d_2 = 2 \cdot 4,5 \text{ см} = 9 \text{ см}$.
Вычисления можно провести и в миллиметрах: $r_2 = 40 \text{ мм} + 5 \text{ мм} = 45 \text{ мм}$. Тогда $d_2 = 2 \cdot 45 \text{ мм} = 90 \text{ мм}$.
Ответ: Диаметр второй окружности равен 9 см (или 90 мм).

Часть задания "Начертите окружности" является практической. Для её выполнения нужно использовать циркуль и линейку, установив раствор циркуля на 2 см для первой окружности и на 4 см 5 мм для второй.

а) Найдите диаметр окружности, если её радиус равен: 12 см, 3 см 5 мм, 10 дм.

б) Найдите радиус окружности, если её диаметр равен: 6 см, 9 см, 12 м.

а)

Диаметр окружности $d$ в два раза больше ее радиуса $r$. Формула для нахождения диаметра: $d = 2 \cdot r$.

- Если радиус равен 12 см, то диаметр равен:
$d = 2 \cdot 12 \text{ см} = 24 \text{ см}$.

- Если радиус равен 3 см 5 мм, то сначала переведем радиус в одну единицу измерения. Так как 1 см = 10 мм, то 5 мм = 0,5 см. Значит, радиус равен $3 \text{ см} + 0,5 \text{ см} = 3,5 \text{ см}$.
Диаметр равен:
$d = 2 \cdot 3,5 \text{ см} = 7 \text{ см}$.

- Если радиус равен 10 дм, то диаметр равен:
$d = 2 \cdot 10 \text{ дм} = 20 \text{ дм}$.

Ответ: 24 см, 7 см, 20 дм.

б)

Радиус окружности $r$ в два раза меньше ее диаметра $d$. Формула для нахождения радиуса: $r = \frac{d}{2}$.

- Если диаметр равен 6 см, то радиус равен:
$r = \frac{6 \text{ см}}{2} = 3 \text{ см}$.

- Если диаметр равен 9 см, то радиус равен:
$r = \frac{9 \text{ см}}{2} = 4,5 \text{ см}$ (что равно 4 см 5 мм).

- Если диаметр равен 12 м, то радиус равен:
$r = \frac{12 \text{ м}}{2} = 6 \text{ м}$.

Ответ: 3 см, 4,5 см, 6 м.

44 Начертите окружность и проведите три прямые, её пересекающие. Как нужно провести прямую, чтобы расстояние между точками пересечения этой прямой с окружностью было наибольшим?

Для выполнения первой части задания нужно начертить окружность, например, с помощью циркуля, отметив ее центр $O$. Затем следует провести три различные прямые таким образом, чтобы каждая из них пересекала окружность в двух точках. Такие прямые, имеющие с окружностью две общие точки, называются секущими.

Чтобы ответить на вторую часть вопроса, необходимо определить, при каком условии отрезок, соединяющий точки пересечения прямой с окружностью, будет иметь максимальную длину. Этот отрезок является хордой окружности. Задача сводится к нахождению самой длинной хорды в окружности.

Самой длинной хордой в любой окружности является ее диаметр. Диаметр — это хорда, которая проходит через центр окружности.

Докажем это утверждение. Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Проведем произвольную хорду $AB$. Расстояние от центра окружности до хорды $AB$ обозначим как $d$. Это длина перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на прямую, содержащую хорду $AB$. Рассматривая прямоугольный треугольник, катетами которого являются половина хорды ($\frac{AB}{2}$) и расстояние $d$, а гипотенузой — радиус $R$, по теореме Пифагора имеем: $R^2 = d^2 + (\frac{AB}{2})^2$

Отсюда можно выразить длину хорды $AB$: $(\frac{AB}{2})^2 = R^2 - d^2$ $\frac{AB}{2} = \sqrt{R^2 - d^2}$ $AB = 2\sqrt{R^2 - d^2}$

Из полученной формулы видно, что длина хорды $AB$ достигает своего максимального значения, когда вычитаемое $d^2$ является минимальным. Наименьшее возможное значение для $d^2$ (и для $d$, так как расстояние не может быть отрицательным) равно нулю. Это соответствует случаю, когда прямая проходит через центр окружности $O$.

При $d=0$ длина хорды становится равной: $AB = 2\sqrt{R^2 - 0^2} = 2R$

Длина $2R$ — это длина диаметра окружности. Любая другая хорда, не проходящая через центр, будет иметь расстояние от центра $d > 0$, и, следовательно, ее длина $2\sqrt{R^2 - d^2}$ будет строго меньше, чем $2R$.

Таким образом, для получения наибольшего расстояния между точками пересечения, прямую следует провести через центр окружности.

Ответ: Чтобы расстояние между точками пересечения прямой с окружностью было наибольшим, прямая должна проходить через центр этой окружности. Такое расстояние равно диаметру окружности.

45 Перечертите рисунок $1.34$ в тетрадь. Проведите и обозначьте ещё два отрезка с концами на окружности, равные отрезку $AB$. Как называются все эти отрезки?

$1.34$

На рисунке 1.34 изображена окружность с центром в точке O и отрезком AB, проходящим через центр. Отрезок, соединяющий две точки на окружности и проходящий через её центр, называется диаметром. Длина диаметра $d$ равна удвоенному радиусу $r$: $d=2r$.

Чтобы провести ещё два отрезка, равные отрезку AB, необходимо провести ещё два диаметра, так как все диаметры одной окружности равны между собой. Для этого можно выбрать на окружности две произвольные точки, например, C и E. Затем провести прямые через эти точки и центр O до пересечения с окружностью в точках D и F соответственно. Полученные отрезки CD и EF будут диаметрами и, следовательно, будут равны отрезку AB.

Таким образом, все три отрезка — AB, а также построенные CD и EF — являются отрезками, соединяющими две точки на окружности и проходящими через её центр.

Ответ: Все эти отрезки называются диаметрами.

46 На рисунке 1.35 изображено несколько отрезков и круг. Установите на глаз, какие из отрезков можно закрыть этим кругом. Проверьте себя с помощью циркуля.

Чтобы определить, какой из отрезков можно закрыть данным кругом, нужно сравнить длину каждого отрезка с диаметром круга. Отрезок можно полностью поместить внутрь круга (или "закрыть" им) только в том случае, если его длина $L$ меньше или равна диаметру круга $D$. Математически это условие записывается как $L \le D$.

Установите на глаз

При визуальной оценке можно сравнить длину каждого отрезка с самой широкой частью круга (его диаметром). На глаз кажется, что:

• Отрезки 1, 2 и 5 длиннее, чем диаметр круга.

• Отрезки 3 и 4 короче, чем диаметр круга.

Исходя из этого, можно предположить, что кругом можно закрыть отрезки 3 и 4.

Проверьте себя с помощью циркуля

Для точной проверки используем циркуль. Сначала измерим диаметр круга, установив иглу циркуля на одну точку окружности, а грифель — на диаметрально противоположную. Зафиксировав это расстояние (диаметр $D$), сравним его с длиной каждого из отрезков:

• Отрезок 1: Длина отрезка больше, чем раствор циркуля. Значит, $L_1 > D$.

• Отрезок 2: Длина отрезка больше, чем раствор циркуля. Значит, $L_2 > D$.

• Отрезок 3: Длина отрезка меньше, чем раствор циркуля. Значит, $L_3 < D$.

• Отрезок 4: Длина отрезка меньше, чем раствор циркуля. Значит, $L_4 < D$.

• Отрезок 5: Длина отрезка больше, чем раствор циркуля. Значит, $L_5 > D$.

Проверка подтверждает, что только отрезки 3 и 4 короче диаметра круга. Следовательно, только их можно закрыть этим кругом.

Ответ: отрезки 3 и 4.

47 Отметьте в тетради точки $A$ и $B$. Измерьте расстояние между ними. Начертите окружность с центром в точке $A$, проходящую через точку $B$. Начертите окружность с центром в точке $B$, проходящую через точку $A$. Чему равен радиус каждой из окружностей? Каково расстояние от каждой точки пересечения окружностей до их центров?

Для решения задачи выполним последовательность действий и логических рассуждений.

1. Отметим на плоскости две произвольные точки и назовем их A и B.
2. С помощью линейки измерим расстояние между этими точками. Обозначим это расстояние переменной $d$. Таким образом, длина отрезка $AB$ равна $d$.
3. Начертим окружность с центром в точке A, проходящую через точку B. По определению радиуса, радиус этой окружности ($R_A$) равен расстоянию от ее центра (A) до любой точки на окружности (в данном случае, B). Следовательно, $R_A = AB = d$.
4. Начертим вторую окружность с центром в точке B, проходящую через точку A. Аналогично, ее радиус ($R_B$) равен расстоянию от центра B до точки A. Следовательно, $R_B = BA = d$.

Чему равен радиус каждой из окружностей?

Радиус первой окружности (с центром в A) равен расстоянию между точками A и B. Радиус второй окружности (с центром в B) равен расстоянию между точками B и A. Так как расстояние от A до B такое же, как от B до A, то радиусы обеих окружностей равны между собой. Они равны длине отрезка, соединяющего их центры.

Ответ: радиус каждой из окружностей равен расстоянию между точками A и B.

Каково расстояние от каждой точки пересечения окружностей до их центров?

Две построенные окружности будут пересекаться в двух точках (если $A \neq B$). Обозначим эти точки пересечения как C и D.

Рассмотрим точку пересечения C.

• Поскольку точка C лежит на окружности с центром в A, то расстояние от C до A по определению равно радиусу этой окружности. То есть, $AC = R_A = d$.
• Поскольку точка C также лежит и на второй окружности с центром в B, то расстояние от C до B равно радиусу второй окружности. То есть, $BC = R_B = d$.

То же самое справедливо и для второй точки пересечения D: расстояние $AD = R_A = d$ и $BD = R_B = d$.

Таким образом, расстояние от каждой точки пересечения (C и D) до каждого из центров (A и B) равно радиусу этих окружностей, то есть первоначальному расстоянию $d$ между точками A и B. Можно заметить, что треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle ABD$ являются равносторонними, так как все их стороны равны $d$.

Ответ: расстояние от каждой точки пересечения окружностей до их центров (A и B) равно расстоянию между самими центрами A и B.

48 1) Начертите в тетради отрезок $AB$ длиной 3 см. Проведите окружность с центром в точке $A$ радиусом 2 см. Проведите окружность с центром в точке $B$ радиусом 2 см 5 мм. Одну из точек пересечения окружностей обозначьте буквой $C$. Чему равно расстояние:

а) от точки $C$ до точки $A$;

б) от точки $C$ до точки $B$?

2) Начертите отрезок $AB$, равный 6 см. Найдите точки, которые находятся от точки $A$ на расстоянии, равном 4 см, и от точки $B$ на расстоянии, равном 5 см.

1) Чтобы решить задачу, сначала проанализируем условия. Нам даны две окружности и точка $C$, которая является точкой их пересечения. По определению окружности, все ее точки находятся на одинаковом расстоянии (равном радиусу) от ее центра.

а) от точки C до точки A;

Точка $C$ лежит на окружности с центром в точке $A$ и радиусом 2 см. Следовательно, расстояние от точки $C$ до центра этой окружности, точки $A$, равно ее радиусу.

Расстояние $AC = 2$ см.

Ответ: 2 см.

б) от точки C до точки B?

Аналогично, точка $C$ лежит на окружности с центром в точке $B$ и радиусом 2 см 5 мм. Следовательно, расстояние от точки $C$ до центра этой окружности, точки $B$, равно ее радиусу.

Расстояние $BC = 2$ см 5 мм.

Ответ: 2 см 5 мм.

2) Для нахождения точек, удовлетворяющих заданным условиям, используется метод геометрических мест точек.

• Множество всех точек, которые находятся от точки $A$ на расстоянии 4 см, — это окружность с центром в точке $A$ и радиусом $R_A = 4$ см.
• Множество всех точек, которые находятся от точки $B$ на расстоянии 5 см, — это окружность с центром в точке $B$ и радиусом $R_B = 5$ см.

Искомые точки должны принадлежать обоим множествам одновременно, то есть они являются точками пересечения этих двух окружностей.

Для их нахождения необходимо выполнить построение:

1. Начертить отрезок $AB$ длиной 6 см.
2. С помощью циркуля построить окружность (или её дугу) с центром в точке $A$ и радиусом 4 см.
3. С помощью циркуля построить окружность (или её дугу) с центром в точке $B$ и радиусом 5 см.

Так как расстояние между центрами окружностей ($AB = 6$ см) больше разности их радиусов ($5 - 4 = 1$ см) и меньше суммы их радиусов ($4 + 5 = 9$ см), то окружности будут пересекаться в двух точках. Эти две точки и являются решением задачи.

Ответ: Искомые точки — это две точки пересечения окружности с центром в A и радиусом 4 см и окружности с центром в B и радиусом 5 см.