Страница 19 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

35 Значение какой величины могут выражать $138 \text{ см}$?

1) расстояние между городами

2) ширина тетради

3) рост школьника

4) длина карандаша

Проанализируем каждый из предложенных вариантов, чтобы определить, для какой величины значение 138 см является реалистичным.

1) расстояние между городами
Расстояния между городами обычно измеряются в километрах. Переведем 138 см в километры: $1 \text{ км} = 100\,000 \text{ см}$, следовательно, $138 \text{ см} = 0.00138 \text{ км}$. Это значение является ничтожно малым для расстояния между городами, поэтому данный вариант не подходит.

2) ширина тетради
Стандартная ширина школьной тетради — около 17 см. Даже большой альбом для рисования (формат А3) имеет ширину около 30 см. Величина 138 см ($1 \text{ метр } 38 \text{ см}$) не является реалистичной шириной для тетради. Данный вариант не подходит.

3) рост школьника
Рост человека — это величина, которую удобно измерять в сантиметрах. Рост 138 см ($1 \text{ м } 38 \text{ см}$) является средним показателем для ребенка в возрасте 9–10 лет. Таким образом, это вполне правдоподобное значение. Данный вариант является верным.

4) длина карандаша
Длина нового стандартного карандаша составляет примерно 17–19 см. Длина в 138 см является неправдоподобно большой для карандаша. Данный вариант не подходит.

Итак, из всех перечисленных вариантов только рост школьника может быть равен 138 см.

Ответ: 3) рост школьника.

36 Выразите:

а) в сантиметрах: 12 дм, 9 дм 6 см, 1 м 88 см, 130 мм;

б) в дециметрах: 8 м, 24 м, 1 м 6 дм, 70 см, 320 см;

в) в миллиметрах: 5 см, 19 см, 3 см 6 мм, 11 дм;

г) в метрах: 7000 мм, 100 см, 80 дм, 3 км, 6 км 350 м;

д) в километрах: 2000 м, 14 000 м.

Неверно! Исправьте ошибки:

$1020 \text{ м} = 1 \text{ км } 200 \text{ м}$

$530 \text{ см} = 5 \text{ м } 3 \text{ см}$

$10 \text{ км } 800 \text{ м} = 1800 \text{ м}$

а)

Чтобы выразить данные величины в сантиметрах, воспользуемся соотношениями: $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$, $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$, $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$.
$12 \text{ дм} = 12 \times 10 \text{ см} = 120 \text{ см}$;
$9 \text{ дм } 6 \text{ см} = 9 \times 10 \text{ см} + 6 \text{ см} = 90 \text{ см} + 6 \text{ см} = 96 \text{ см}$;
$1 \text{ м } 88 \text{ см} = 1 \times 100 \text{ см} + 88 \text{ см} = 100 \text{ см} + 88 \text{ см} = 188 \text{ см}$;
$130 \text{ мм} = 130 \div 10 \text{ см} = 13 \text{ см}$.

Ответ: 120 см, 96 см, 188 см, 13 см.

б)

Чтобы выразить данные величины в дециметрах, воспользуемся соотношениями: $1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$, $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$.
$8 \text{ м} = 8 \times 10 \text{ дм} = 80 \text{ дм}$;
$24 \text{ м} = 24 \times 10 \text{ дм} = 240 \text{ дм}$;
$1 \text{ м } 6 \text{ дм} = 1 \times 10 \text{ дм} + 6 \text{ дм} = 10 \text{ дм} + 6 \text{ дм} = 16 \text{ дм}$;
$70 \text{ см} = 70 \div 10 \text{ дм} = 7 \text{ дм}$;
$320 \text{ см} = 320 \div 10 \text{ дм} = 32 \text{ дм}$.

Ответ: 80 дм, 240 дм, 16 дм, 7 дм, 32 дм.

в)

Чтобы выразить данные величины в миллиметрах, воспользуемся соотношениями: $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$, $1 \text{ дм} = 100 \text{ мм}$.
$5 \text{ см} = 5 \times 10 \text{ мм} = 50 \text{ мм}$;
$19 \text{ см} = 19 \times 10 \text{ мм} = 190 \text{ мм}$;
$3 \text{ см } 6 \text{ мм} = 3 \times 10 \text{ мм} + 6 \text{ мм} = 30 \text{ мм} + 6 \text{ мм} = 36 \text{ мм}$;
$11 \text{ дм} = 11 \times 100 \text{ мм} = 1100 \text{ мм}$.

Ответ: 50 мм, 190 мм, 36 мм, 1100 мм.

г)

Чтобы выразить данные величины в метрах, воспользуемся соотношениями: $1 \text{ м} = 1000 \text{ мм}$, $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$, $1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$, $1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$.
$7000 \text{ мм} = 7000 \div 1000 \text{ м} = 7 \text{ м}$;
$100 \text{ см} = 100 \div 100 \text{ м} = 1 \text{ м}$;
$80 \text{ дм} = 80 \div 10 \text{ м} = 8 \text{ м}$;
$3 \text{ км} = 3 \times 1000 \text{ м} = 3000 \text{ м}$;
$6 \text{ км } 350 \text{ м} = 6 \times 1000 \text{ м} + 350 \text{ м} = 6000 \text{ м} + 350 \text{ м} = 6350 \text{ м}$.

Ответ: 7 м, 1 м, 8 м, 3000 м, 6350 м.

д)

Чтобы выразить данные величины в километрах, воспользуемся соотношением: $1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$.
$2000 \text{ м} = 2000 \div 1000 \text{ км} = 2 \text{ км}$;
$14\ 000 \text{ м} = 14\ 000 \div 1000 \text{ км} = 14 \text{ км}$.

Ответ: 2 км, 14 км.

Неверно! Исправьте ошибки:

1. В равенстве $1020 \text{ м} = 1 \text{ км } 200 \text{ м}$ допущена ошибка. Так как $1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$, то $1020 \text{ м}$ - это $1 \text{ км}$ и $20 \text{ м}$.

Ответ: $1020 \text{ м} = 1 \text{ км } 20 \text{ м}$.

2. В равенстве $530 \text{ см} = 5 \text{ м } 3 \text{ см}$ допущена ошибка. Так как $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$, то $530 \text{ см}$ - это $5 \text{ м}$ ($500 \text{ см}$) и $30 \text{ см}$.

Ответ: $530 \text{ см} = 5 \text{ м } 30 \text{ см}$.

3. В равенстве $10 \text{ км } 800 \text{ м} = 1800 \text{ м}$ допущена ошибка. Так как $1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$, то $10 \text{ км } 800 \text{ м} = 10 \times 1000 \text{ м} + 800 \text{ м} = 10800 \text{ м}$.

Ответ: $10 \text{ км } 800 \text{ м} = 10800 \text{ м}$.

$37$

Перечертите в тетрадь ломаные, изображённые на рисунках $1.27$ и $1.28$, измерьте их звенья и найдите длину каждой ломаной.

$1.27$

$1.28$

Ломаная линия ABC состоит из двух звеньев (отрезков): AB и BC. Для нахождения их длин воспользуемся координатной сеткой, приняв сторону одной клетки за 1 единицу длины. Длину каждого звена, которое является наклонным отрезком, можно найти по теореме Пифагора как гипотенузу в прямоугольном треугольнике, построенном на клетках.

Найдем длину звена AB. Достроим прямоугольный треугольник, где AB является гипотенузой. Катеты этого треугольника равны 1 единице (горизонтальный катет) и 5 единицам (вертикальный катет). Тогда длина AB равна:

$AB = \sqrt{1^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26}$ единиц.

Найдем длину звена BC. Катеты соответствующего прямоугольного треугольника равны 1 единице (горизонтальный) и 2 единицам (вертикальный).

Длина BC равна:

$BC = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$ единиц.

Длина всей ломаной линии ABC равна сумме длин её звеньев:

$L_{ABC} = AB + BC = \sqrt{26} + \sqrt{5}$ единиц.

Приблизительное значение длины: $L_{ABC} \approx 5,10 + 2,24 = 7,34$ единиц.

Ответ: длины звеньев: $AB = \sqrt{26}$ единиц, $BC = \sqrt{5}$ единиц. Длина ломаной: $L_{ABC} = \sqrt{26} + \sqrt{5}$ единиц.

Ломаная линия KLMNPO состоит из пяти звеньев: KL, LM, MN, NP и PO. Аналогично предыдущему пункту, найдем длину каждого звена, приняв сторону клетки за 1 единицу.

1. Звено KL: катеты прямоугольного треугольника равны 1 и 2 единицы. Длина $KL = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$ единиц.

2. Звено LM: катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 2 единицы. Длина $LM = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$ единиц.

3. Звено MN: это горизонтальный отрезок. Его длину можно посчитать по клеткам, она равна 3 единицам.

4. Звено NP: катеты прямоугольного треугольника равны 1 и 4 единицы. Длина $NP = \sqrt{1^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}$ единиц.

5. Звено PO: катеты прямоугольного треугольника равны 1 и 1 единица. Длина $PO = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$ единиц.

Длина всей ломаной равна сумме длин её звеньев:

$L_{KLMNPO} = KL + LM + MN + NP + PO = \sqrt{5} + \sqrt{13} + 3 + \sqrt{17} + \sqrt{2}$ единиц.

Приблизительное значение длины: $L_{KLMNPO} \approx 2,24 + 3,61 + 3 + 4,12 + 1,41 = 14,38$ единиц.

Ответ: длины звеньев: $KL = \sqrt{5}$, $LM = \sqrt{13}$, $MN = 3$, $NP = \sqrt{17}$, $PO = \sqrt{2}$ единиц. Длина ломаной: $L_{KLMNPO} = \sqrt{5} + \sqrt{13} + 3 + \sqrt{17} + \sqrt{2}$ единиц.

38 Начертите ломаную ABC такую, что $AB = 3$ см, $BC = 5$ см. Чему равна длина этой ломаной?

Для решения задачи необходимо найти длину ломаной линии ABC. Длина ломаной линии равна сумме длин всех ее звеньев (отрезков).

Ломаная ABC состоит из двух звеньев: AB и BC.

Из условия задачи известны длины этих звеньев:

• Длина звена AB = 3 см.
• Длина звена BC = 5 см.

Чтобы вычислить общую длину ломаной, сложим длины ее звеньев. Обозначим длину ломаной буквой L.

Формула для расчета длины:

$L = AB + BC$

Подставляем числовые значения в формулу:

$L = 3 \text{ см} + 5 \text{ см} = 8 \text{ см}$

Таким образом, общая длина ломаной ABC составляет 8 сантиметров. Что касается первой части задания ("Начертите ломаную"), то для этого нужно начертить два соединенных отрезка: первый длиной 3 см (AB), и из его конца B — второй отрезок длиной 5 см (BC). Угол между отрезками может быть любым.

Ответ: 8 см.

39 Из точки А в точку С (рис. 1.29) можно «пройти» по отрезку $AC$, по ломаной $ADC$ или по ломаной $ABC$. Какой путь самый короткий; самый длинный?

Для решения этой задачи мы сравним длины трех путей от точки А до точки С: по отрезку AC, по ломаной ADC и по ломаной ABC. Длины этих путей равны $AC$, $AD+DC$ и $AB+BC$ соответственно. Мы будем использовать неравенство треугольника, которое гласит, что сумма длин двух любых сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны.

Какой путь самый короткий

Сравним длину отрезка $AC$ с длинами двух других путей.

1. Рассмотрим треугольник $ADC$. По неравенству треугольника, сумма сторон $AD$ и $DC$ больше стороны $AC$:
$AD + DC > AC$

2. Рассмотрим треугольник $ABC$. По неравенству треугольника, сумма сторон $AB$ и $BC$ больше стороны $AC$:
$AB + BC > AC$

Оба пути по ломаным линиям длиннее, чем путь по прямой. Прямая линия — это кратчайшее расстояние между двумя точками. Следовательно, путь по отрезку $AC$ является самым коротким.

Ответ: Самый короткий путь — по отрезку AC.

Какой путь самый длинный

Теперь нам нужно сравнить длины двух ломаных: $ADC$ и $ABC$. Для этого сравним величины $AD+DC$ и $AB+BC$.

Продлим отрезок $AD$ до пересечения с отрезком $BC$ в точке E. Теперь у нас есть два треугольника: $ABE$ и $DEC$.

1. Применим неравенство треугольника к треугольнику $ABE$:
$AB + BE > AE$
Поскольку $AE = AD + DE$, мы можем переписать неравенство как:
$AB + BE > AD + DE$

2. Применим неравенство треугольника к треугольнику $DEC$:
$DE + EC > DC$

3. Сложим полученные неравенства:
$(AB + BE) + (DE + EC) > (AD + DE) + DC$
$AB + BE + DE + EC > AD + DE + DC$
Вычтем $DE$ из обеих частей неравенства:
$AB + BE + EC > AD + DC$
Поскольку точка E лежит на отрезке $BC$, то $BE + EC = BC$. Подставим это в неравенство:
$AB + BC > AD + DC$

Таким образом, мы доказали, что путь по ломаной $ABC$ длиннее, чем путь по ломаной $ADC$. Следовательно, путь по ломаной $ABC$ является самым длинным.

Ответ: Самый длинный путь — по ломаной ABC.

40 Постройте ломаную, длина которой равна 20 см, состоящую из четырёх звеньев различной длины.

Чтобы построить ломаную, соответствующую условиям задачи, необходимо найти четыре различных положительных числа, сумма которых равна 20. Эти числа будут являться длинами звеньев ломаной в сантиметрах.

Пусть длины четырёх звеньев ломаной равны $l_1$, $l_2$, $l_3$ и $l_4$. Согласно условию, должны выполняться два требования:
1. Сумма длин всех звеньев равна 20 см: $l_1 + l_2 + l_3 + l_4 = 20$.
2. Длины всех звеньев различны: $l_1 \neq l_2$, $l_1 \neq l_3$, $l_1 \neq l_4$, $l_2 \neq l_3$, $l_2 \neq l_4$, $l_3 \neq l_4$.

Эта задача имеет множество решений. Для простоты построения выберем один из возможных наборов целых чисел.

Например, можно взять следующие длины звеньев:
- Первое звено ($l_1$): 3 см
- Второе звено ($l_2$): 4 см
- Третье звено ($l_3$): 6 см
- Четвёртое звено ($l_4$): 7 см

Проверим, выполняются ли условия для выбранного набора длин:
1. Все длины различны: 3, 4, 6 и 7 – все числа разные. Условие выполнено.
2. Сумма длин равна 20 см: $3 + 4 + 6 + 7 = 20$ см. Условие выполнено.

Построение
1. С помощью линейки начертите первый отрезок (первое звено) длиной 3 см.
2. От конца первого отрезка начертите второй отрезок (второе звено) длиной 4 см под произвольным углом к первому.
3. От конца второго отрезка начертите третий отрезок (третье звено) длиной 6 см под произвольным углом к предыдущему.
4. От конца третьего отрезка начертите четвёртый отрезок (четвёртое звено) длиной 7 см под произвольным углом.
Полученная в результате ломаная линия будет состоять из четырёх звеньев различной длины, а её общая длина будет равна 20 см.

Ответ: один из возможных вариантов — построить ломаную из четырёх звеньев с длинами 3 см, 4 см, 6 см и 7 см.