Страница 14 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

14 Отметьте в тетради точки $A$ и $C$. Проведите через них прямую. Отметьте на прямой $AC$ ещё три точки и обозначьте их. Отметьте четыре точки, не лежащие на прямой $AC$; обозначьте их.

Отметьте в тетради точки А и С. Проведите через них прямую.
Для выполнения этого задания сначала необходимо отметить на плоскости (в тетради) две произвольные точки. Подпишем их заглавными латинскими буквами $A$ и $C$. Затем, используя линейку, соединим эти две точки, проведя через них прямую линию, которая продолжается бесконечно в обе стороны. Согласно аксиоме геометрии, через любые две различные точки можно провести прямую, и притом только одну. Полученную прямую можно обозначить как $AC$.
Ответ: Построена прямая, проходящая через точки $A$ и $C$.

Отметьте на прямой AC ещё три точки и обозначьте их.
На уже построенной прямой $AC$ необходимо выбрать три любые другие точки. Их можно расположить в любом месте на этой прямой: между точками $A$ и $C$, или по одну сторону от них, или так, чтобы одна из новых точек лежала между $A$ и $C$, а другие — вне отрезка $AC$. Обозначим эти новые точки, например, буквами $B$, $D$ и $E$. Таким образом, точки $A, B, C, D, E$ все лежат на одной прямой (являются коллинеарными).
Ответ: На прямой $AC$ отмечены три новые точки, например, $B$, $D$ и $E$.

Отметьте четыре точки, не лежащие на прямой AC; обозначьте их.
Далее необходимо выбрать четыре точки, которые не принадлежат прямой $AC$. Эти точки могут быть расположены где угодно на плоскости (на листе тетради), за исключением самой прямой $AC$. Обозначим их, например, буквами $F, G, H$ и $K$. Для каждой из этих точек выполняется условие, что она не принадлежит прямой $AC$, что можно записать математически: $F \notin AC$, $G \notin AC$, $H \notin AC$, $K \notin AC$.
Ответ: Отмечены четыре точки, например, $F, G, H$ и $K$, не лежащие на прямой $AC$.

15 Начертите две пересекающиеся прямые $a$ и $b$ и обозначьте точку их пересечения буквой $D$. Проведите через точку $D$ ещё одну прямую, отличную от $a$ и $b$. Сколько получилось лучей с началом в точке $D$? Сколько можно построить прямых, проходящих через точку $D$?

Сколько получилось лучей с началом в точке D?

По условию, мы имеем две пересекающиеся прямые $a$ и $b$. Точка их пересечения — $D$. Затем через точку $D$ мы проводим еще одну, третью прямую (назовем ее $c$), которая не совпадает с первыми двумя.

Каждая прямая, проходящая через точку, делится этой точкой на два луча. Лучи, исходящие из одной точки и лежащие на одной прямой, называются дополнительными.

• Прямая $a$ проходит через точку $D$ и образует два луча с началом в этой точке.
• Прямая $b$ проходит через точку $D$ и также образует два луча с началом в этой точке.
• Третья прямая $c$ проходит через точку $D$ и добавляет еще два луча.

Так как все три прямые различны, то и все образованные ими лучи будут различными. Чтобы найти общее количество лучей, нужно умножить количество прямых на количество лучей, которые образует каждая прямая:

$3 \text{ прямые} \times 2 \text{ луча/прямая} = 6 \text{ лучей}$

Таким образом, получилось 6 лучей с началом в точке $D$.

Ответ: 6 лучей.

Сколько можно построить прямых, проходящих через точку D?

Через любую одну точку на плоскости можно провести бесконечное множество прямых. Это одна из аксиом геометрии.

Можно представить себе точку $D$ как центр, из которого исходят прямые во всех возможных направлениях. Вращая прямую вокруг точки $D$, мы каждый раз будем получать новую прямую, проходящую через эту же точку. Поскольку существует бесконечно много положений для такой вращающейся прямой, то и количество прямых, которые можно провести через точку $D$, бесконечно.

Ответ: Бесконечно много.

16 Проведите прямую $a$ и отметьте на ней точки $A$, $B$, $C$, $D$, $K$ так, чтобы:

а) точка $C$ принадлежала отрезку с концами в точках $A$ и $B$;

б) точка $D$ принадлежала лучу $AB$ и не принадлежала отрезку $AB$;

в) точка $K$ принадлежала лучу $BA$ и не принадлежала отрезку $AB$.

Для решения этой задачи начертим прямую а и последовательно выполним все условия, располагая на ней точки.

Сначала отметим на прямой точки A и B. Пусть точка А будет левее точки B.

а) точка С принадлежала отрезку с концами в точках А и В;

Отрезок AB включает в себя точки A и B, а также все точки прямой, расположенные между ними. Следовательно, точка C должна находиться между точками A и B. Взаимное расположение точек на данный момент: A, C, B.

Ответ: Точка C расположена между точками A и B.

б) точка D принадлежала лучу AB и не принадлежала отрезку AB;

Луч AB начинается в точке A и проходит через точку B, продолжаясь до бесконечности. Условие, что точка D не принадлежит отрезку AB, означает, что она лежит на луче AB, но не между A и B и не совпадает с ними. Значит, точка D должна лежать на прямой "правее" точки B (если A "левее" B), то есть точка B должна находиться между A и D. Взаимное расположение точек на данный момент: A, C, B, D.

Ответ: Точка D расположена на прямой таким образом, что точка B находится между точками A и D.

в) точка K принадлежала лучу BA и не принадлежала отрезку AB.

Луч BA начинается в точке B и проходит через точку A, продолжаясь до бесконечности. Условие, что точка K не принадлежит отрезку AB, означает, что она лежит на луче BA, но не между A и B и не совпадает с ними. Значит, точка K должна лежать на прямой "левее" точки A (если B "правее" A), то есть точка A должна находиться между K и B. Взаимное расположение точек на данный момент: K, A, C, B, D.

Ответ: Точка K расположена на прямой таким образом, что точка A находится между точками K и B.

Объединив все три условия, мы получаем окончательное расположение точек на прямой a. Ниже представлена графическая иллюстрация. Точки расположены в следующем порядке (слева направо): K, A, C, B, D.

 a<⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯> K A C B D

Ответ: Итоговое расположение точек на прямой a в порядке слева направо: K, A, C, B, D (или в обратном порядке: D, B, C, A, K).

17 Рассмотрите рисунок 1.19. Верно ли утверждение:

а) точка $A$ лежит на отрезке $CB$;

б) точка $A$ лежит на луче $CB$;

в) точка $A$ лежит на луче $BD$;

г) точка $D$ лежит между точками $A$ и $C$;

д) точка $B$ лежит на луче $AC$ и луче $CA$;

е) точки $D$ и $C$ лежат на одном и том же луче с началом в точке $B$?

1.19

ОТРЕЗОК

а) точка А лежит на отрезке СВ;
Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками, которые называются его концами. Отрезок CB включает в себя точки B и C, а также все точки прямой, лежащие между ними. На рисунке точки расположены в порядке D, A, B, C. Точка A не находится между точками B и C, поэтому она не принадлежит отрезку CB. Утверждение неверно.
Ответ: неверно.

б) точка А лежит на луче СВ;
Луч — это часть прямой, состоящая из данной точки (начала луча) и всех точек, лежащих по одну сторону от неё. Луч CB начинается в точке C и проходит через точку B. Он включает в себя все точки прямой слева от C. Поскольку точка A находится на прямой левее точки C и на той же стороне от C, что и точка B, она принадлежит лучу CB. Утверждение верно.
Ответ: верно.

в) точка А лежит на луче BD;
Луч BD начинается в точке B и проходит через точку D. Это означает, что он включает точку B и все точки прямой, лежащие в направлении D от точки B (то есть, слева от B). Точка A находится между B и D, следовательно, она лежит на луче BD. Утверждение верно.
Ответ: верно.

г) точка D лежит между точками А и С;
Чтобы точка лежала между двумя другими, все три точки должны находиться на одной прямой, и одна из них должна быть расположена между двумя другими. На рисунке точки расположены в порядке: D, A, B, C. Между точками A и C лежит точка B. Точка D не лежит между A и C. Утверждение неверно.
Ответ: неверно.

д) точка В лежит на луче АС и луче СА;
Рассмотрим это утверждение по частям.
1. Луч AC начинается в точке A и проходит через точку C. Он включает в себя все точки прямой справа от A. Точка B находится справа от A (порядок D, A, B, C), следовательно, точка B лежит на луче AC.
2. Луч CA начинается в точке C и проходит через точку A. Он включает в себя все точки прямой слева от C. Точка B находится слева от C, следовательно, точка B лежит на луче CA.
Поскольку оба условия выполняются, утверждение верно.
Ответ: верно.

е) точки D и С лежат на одном и том же луче с началом в точке B?
Из точки B на прямой выходят два луча в противоположных направлениях.
1. Один луч направлен вправо, проходит через точку C (луч BC).
2. Другой луч направлен влево, проходит через точки A и D (луч BD).
Точки D и C лежат на разных (противоположных) лучах с началом в точке B. Следовательно, утверждение неверно.
Ответ: неверно.

18 В узле квадратной сетки тетради отметьте точку $O$. Постройте:

1) точку $A$, расположенную на 5 клеток правее и на 4 клетки выше точки $O$;

2) точку $B$, расположенную на 3 клетки правее и на 2 клетки ниже точки $O$;

3) точку $C$, расположенную на 4 клетки левее и на 1 клетку ниже точки $O$.

4) Соедините каждую из точек $A$, $B$, $C$ с точкой $O$. Назовите получившиеся отрезки.

Для выполнения построений представим, что тетрадный лист — это координатная плоскость. Точку $O$ примем за начало координат, то есть ее координаты будут $O(0, 0)$. Длину стороны одной клетки примем за единицу.

1) Чтобы построить точку $A$, расположенную на 5 клеток правее и на 4 клетки выше точки $O$, нужно от точки $O$ отсчитать 5 единиц вправо по горизонтальной оси (оси абсцисс) и 4 единицы вверх по вертикальной оси (оси ординат). Координаты точки $A$ будут $(0+5, 0+4)$, то есть $A(5, 4)$.
Ответ: Построена точка $A$ с координатами $(5, 4)$.

2) Чтобы построить точку $B$, расположенную на 3 клетки правее и на 2 клетки ниже точки $O$, нужно от точки $O$ отсчитать 3 единицы вправо по горизонтальной оси и 2 единицы вниз по вертикальной оси. Координаты точки $B$ будут $(0+3, 0-2)$, то есть $B(3, -2)$.
Ответ: Построена точка $B$ с координатами $(3, -2)$.

3) Чтобы построить точку $C$, расположенную на 4 клетки левее и на 1 клетку ниже точки $O$, нужно от точки $O$ отсчитать 4 единицы влево по горизонтальной оси и 1 единицу вниз по вертикальной оси. Координаты точки $C$ будут $(0-4, 0-1)$, то есть $C(-4, -1)$.
Ответ: Построена точка $C$ с координатами $(-4, -1)$.

4) Теперь соединим каждую из точек $A$, $B$ и $C$ с точкой $O$. Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками, которые называются его концами. Названия отрезков образуются из имен точек, являющихся их концами. Таким образом, мы получаем три отрезка.
Ответ: Получившиеся отрезки: $OA$, $OB$, $OC$.

19 Начертите отрезок $AB$. Отметьте точку $K$ так, чтобы точки $A$, $B$ и $K$ не принадлежали одной прямой. Проведите через точку $K$:

a) прямую $b$, пересекающую отрезок $AB$;

б) прямую $d$, не пересекающую отрезок $AB$.

Сначала выполним первую часть задания: начертим отрезок $AB$ и отметим точку $K$ так, чтобы точки $A$, $B$ и $K$ не принадлежали одной прямой. Это означает, что точка $K$ не должна лежать на прямой, проходящей через точки $A$ и $B$.

Чтобы провести прямую $b$, которая проходит через точку $K$ и пересекает отрезок $AB$, нужно соединить точку $K$ с любой точкой, лежащей на отрезке $AB$ между точками $A$ и $B$. Пусть эта точка на отрезке $AB$ будет $M$. Тогда прямая, проходящая через точки $K$ и $M$, будет пересекать отрезок $AB$. На рисунке выше прямая $b$ (синего цвета) проходит через точку $K$ и пересекает отрезок $AB$ в его середине.

Ответ: Прямая, проходящая через точку $K$ и любую внутреннюю точку отрезка $AB$, пересекает этот отрезок.

Чтобы провести прямую $d$, которая проходит через точку $K$ и не пересекает отрезок $AB$, нужно, чтобы все точки этой прямой (кроме $K$) находились по ту же сторону от прямой $AB$, что и точка $K$. Существует бесконечно много таких прямых. Самый простой способ построить такую прямую — это провести через точку $K$ прямую, параллельную отрезку $AB$. На рисунке выше прямая $d$ (красного цвета) проходит через точку $K$ и параллельна отрезку $AB$, поэтому она его не пересекает.

Ответ: Любая прямая, проходящая через точку $K$ и не имеющая других общих точек с отрезком $AB$, является решением. Например, прямая, проходящая через точку $K$ параллельно $AB$.

20 Отметьте три точки, не лежащие на одной прямой. Обозначьте их. Проведите все отрезки, концами которых являются пары этих точек. Сколько получилось отрезков?

Для решения этой задачи выполним следующие действия по шагам:

1. Отметим на плоскости три точки, которые не лежат на одной прямой. Обозначим их, например, буквами А, В и С. Поскольку точки не лежат на одной прямой, они образуют вершины некоторого треугольника.

2. Проведем отрезки, концами которых являются все возможные пары этих точек. Для этого последовательно соединим каждую точку с остальными:

• Соединяем точку А с точкой В. Получаем отрезок АВ.
• Соединяем точку В с точкой С. Получаем отрезок ВС.
• Соединяем точку А с точкой С. Получаем отрезок АС.

3. Теперь посчитаем количество полученных отрезков. Мы построили три отрезка: АВ, ВС и АС. Больше никаких уникальных пар точек для соединения не осталось (например, отрезок ВА — это тот же самый отрезок, что и АВ).

Таким образом, у нас получилось 3 отрезка.

Эту задачу также можно решить с помощью комбинаторики. Нам нужно найти количество сочетаний из 3 точек по 2, так как каждый отрезок определяется парой точек. Формула для числа сочетаний из $n$ по $k$:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае общее количество точек $n=3$, а для построения одного отрезка нужно выбрать $k=2$ точки:

$C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2! \cdot 1!} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot 1} = 3$

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 3 отрезка.