Страница 15 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

21 Перечертите в тетрадь ломаную (рис. 1.20). Запишите её звенья.

$AB$, $BC$, $CD$.

1.20

Ломаная линия на рисунке 1.20 состоит из последовательно соединённых отрезков, которые называются звеньями. Вершинами этой ломаной являются точки A, B, C и D.

Чтобы записать звенья ломаной, нужно перечислить отрезки, из которых она состоит, в порядке их соединения:
- Первое звено соединяет вершины A и B, это отрезок $AB$.
- Второе звено соединяет вершины B и C, это отрезок $BC$.
- Третье звено соединяет вершины C и D, это отрезок $CD$.

Ответ: звеньями ломаной являются отрезки $AB$, $BC$, $CD$.

22 а) Постройте в тетради ломаную по следующему описанию:

• отметьте в одном из узлов квадратной сетки точку $A$;

• от точки $A$ отсчитайте 7 клеток влево и 1 клетку вниз, отметьте точку $B$;

• от точки $B$ отсчитайте 5 клеток вправо и 3 клетки вниз, отметьте точку $C$;

• от точки $C$ отсчитайте 3 клетки вправо и 6 клеток вверх, отметьте точку $O$.

Соедините точки по линейке в том порядке, в котором вы их строили. Назовите ломаную. Из скольких звеньев она состоит?

б) Начертите в тетради какую-нибудь ломаную с вершинами в узлах сетки и «продиктуйте» её соседу по парте.

а)

Для построения ломаной линии по заданному описанию необходимо выполнить следующие действия на листе бумаги в клетку:

1. Выбрать произвольный узел сетки и отметить его как точку A. Это первая вершина ломаной.
2. От точки A отсчитать 7 клеток влево и 1 клетку вниз. Полученную точку отметить как B.
3. От точки B отсчитать 5 клеток вправо и 3 клетки вниз. Эту точку отметить как C.
4. От точки C отсчитать 3 клетки вправо и 6 клеток вверх. Эту точку отметить как O.
5. Соединить полученные точки отрезками в том порядке, в котором они строились: сначала A с B, затем B с C, и затем C с O.

Ломаную называют, перечисляя её вершины по порядку. В данном случае ломаная будет называться ABCO.

Звенья ломаной — это отрезки, из которых она состоит. В нашей ломаной это отрезки AB, BC и CO. Посчитав их, получаем, что ломаная состоит из 3 звеньев.

Ответ: ломаная называется ABCO, она состоит из 3 звеньев.

б)

Ниже приведён пример другой ломаной, которую можно начертить в тетради, и «диктант» для её построения.

Пример ломаной XYZW и её описание:

1. Отметь в произвольном узле сетки точку X.
2. От точки X отсчитай 3 клетки вправо и 4 клетки вверх, отметь точку Y.
3. От точки Y отсчитай 5 клеток вправо и 2 клетки вниз, отметь точку Z.
4. От точки Z отсчитай 2 клетки влево и 5 клеток вниз, отметь точку W.
5. Соедини последовательно точки X, Y, Z, W.

В результате будет построена ломаная XYZW, состоящая из трёх звеньев (XY, YZ, ZW).

Ответ: пример описания («диктанта») для построения ломаной XYZW представлен выше.

23 Начертите в тетради:

а) замкнутую ломаную, состоящую из трёх звеньев;

б) незамкнутую ломаную, состоящую из четырёх звеньев.

а) замкнутую ломаную, состоящую из трёх звеньев;

Ломаная линия – это геометрическая фигура, которая состоит из отрезков, последовательно соединённых в вершинах. Замкнутая ломаная линия — это такая ломаная, у которой начальная и конечная точки совпадают. Замкнутая ломаная, состоящая из трёх звеньев (отрезков), является треугольником.
Чтобы начертить такую фигуру, необходимо выполнить следующие действия:
1. Поставить на плоскости три точки, которые не лежат на одной прямой. Обозначим их буквами $A$, $B$ и $C$.
2. Соединить точку $A$ с точкой $B$ отрезком. Это будет первое звено ломаной $AB$.
3. Соединить точку $B$ с точкой $C$ отрезком. Это будет второе звено $BC$.
4. Соединить точку $C$ с точкой $A$ отрезком. Это будет третье звено $CA$.
В результате получится геометрическая фигура – треугольник $ABC$. Это и есть замкнутая ломаная из трёх звеньев.
Пример начерченной ломаной:

Ответ: Замкнутая ломаная, состоящая из трёх звеньев, является треугольником.

б) незамкнутую ломаную, состоящую из четырёх звеньев.

Незамкнутая ломаная линия — это ломаная, у которой начальная и конечная точки не совпадают. Для построения незамкнутой ломаной из четырёх звеньев нам понадобится пять точек.
Чтобы начертить такую фигуру, необходимо выполнить следующие действия:
1. Поставить на плоскости первую точку — начало ломаной. Обозначим её $A_1$.
2. Поставить вторую точку $A_2$ и соединить её отрезком с точкой $A_1$. Получим первое звено $A_1A_2$.
3. Поставить третью точку $A_3$ и соединить её отрезком с точкой $A_2$. Получим второе звено $A_2A_3$.
4. Поставить четвёртую точку $A_4$ и соединить её отрезком с точкой $A_3$. Получим третье звено $A_3A_4$.
5. Поставить пятую точку $A_5$ — конец ломаной, и соединить её отрезком с точкой $A_4$. Получим четвёртое звено $A_4A_5$.
Получилась ломаная $A_1A_2A_3A_4A_5$, состоящая из четырёх звеньев. Её начало в точке $A_1$, а конец в точке $A_5$. Так как точки $A_1$ и $A_5$ не совпадают, ломаная является незамкнутой.
Пример начерченной ломаной:

Ответ: Незамкнутая ломаная из четырёх звеньев представляет собой четыре последовательно соединённых отрезка, где начало первого отрезка не совпадает с концом последнего.

24 Отметьте и обозначьте три точки, не лежащие на одной прямой. Сколько можно построить незамкнутых ломаных с вершинами в этих точках? Указание. Для каждого случая сделайте рисунок.

Для решения задачи отметим три точки, не лежащие на одной прямой, и обозначим их A, B и C. Эти три точки образуют вершины воображаемого треугольника.

Незамкнутая ломаная линия с вершинами в этих трёх точках представляет собой фигуру, состоящую из двух отрезков, которые соединяются в одной из этих точек. Эта общая точка является центральной вершиной ломаной, а две другие точки — её концами. Чтобы найти общее количество таких ломаных, необходимо рассмотреть все возможные варианты выбора центральной вершины.

Ломаная с центральной вершиной в точке A

Если центральной вершиной является точка A, то отрезки, образующие ломаную, — это BA и AC. Концами ломаной будут точки B и C. Мы получаем ломаную BAC (или CAB).

Ломаная с центральной вершиной в точке B

Если центральной вершиной является точка B, то ломаная состоит из отрезков AB и BC. Концами ломаной будут точки A и C. Мы получаем ломаную ABC (или CBA).

Ломаная с центральной вершиной в точке C

Если центральной вершиной является точка C, то ломаная состоит из отрезков AC и CB. Концами ломаной будут точки A и B. Мы получаем ломаную ACB (или BCA).

Мы рассмотрели все три возможных варианта, поскольку центральной вершиной ломаной может быть только одна из трех заданных точек. Каждому выбору центральной вершины соответствует одна уникальная по форме ломаная. Таким образом, всего можно построить 3 различные незамкнутые ломаные.

Ответ: 3

Указание. Для каждого случая сделайте рисунок.

25

На рисунке $1.21$ изображён каркас куба. Назовите:

а) отрезки, одним из концов которых является точка $M$;

б) какую-нибудь ломаную, состоящую из трёх звеньев;

в) несколько ломаных, по которым можно пройти из точки $A$ в точку $K$.

Какой путь короче: $ABKM$ или $ABCDNM$? Назовите ещё какой-нибудь путь такой же длины, что и $ABKM$, и путь такой же длины, что и $ABCDNM$.

$1.21$

а) отрезки, одним из концов которых является точка М;

По рисунку видно, что из вершины М выходят три ребра (отрезка) каркаса. Эти рёбра соединяют точку М с тремя другими вершинами: K, C и N.

Ответ: MK, MC, MN.

б) какую-нибудь ломаную, состоящую из трёх звеньев;

Ломаная, состоящая из трёх звеньев, представляет собой последовательность из четырёх вершин, соединённых тремя рёбрами. В качестве примера можно взять путь, начинающийся в точке A и проходящий через точки B и K к точке M. Эта ломаная будет состоять из трёх звеньев (отрезков): AB, BK и KM.

Ответ: ABKM.

в) несколько ломаных, по которым можно пройти из точки А в точку К.

Пройти из точки А в точку К можно по рёбрам каркаса различными путями. Вот несколько примеров таких ломаных (путей):

• Путь через вершину L: ломаная ALK. Она состоит из двух звеньев: AL и LK.
• Путь через вершину B: ломаная ABK. Она состоит из двух звеньев: AB и BK.
• Путь через вершину D: ломаная ADK. Она состоит из двух звеньев: AD и DK.

Ответ: ALK, ABK, ADK.

г) Какой путь короче: ABKM или ABCDNM? Назовите ещё какой-нибудь путь такой же длины, что и ABKM, и путь такой же длины, что и ABCDNM.

Для сравнения длин путей предположим, что все рёбра каркаса куба имеют одинаковую длину, равную $a$. Длина пути — это сумма длин составляющих его рёбер.

Путь ABKM состоит из трёх рёбер (звеньев): AB, BK, KM. Его общая длина составляет $3a$.

В названии пути ABCDNM, по-видимому, допущена опечатка, так как в изображённом каркасе нет ребра, соединяющего вершины D и N. Если предположить, что имелся в виду путь ABCNM (A → B → C → N → M), который существует, то его длина будет другой. Путь ABCNM состоит из четырёх рёбер: AB, BC, CN, NM. Его общая длина составляет $4a$.

Сравнивая длины двух путей: $3a < 4a$. Таким образом, путь ABKM короче, чем путь ABCNM.

Пример пути такой же длины, что и ABKM (длина 3$a$): путь ALKM (A → L → K → M).

Пример пути такой же длины, что и ABCNM (длина 4$a$): путь ADCNM (A → D → C → N → M).

Ответ: Путь ABKM короче. Путь такой же длины, что и ABKM, — это ALKM. Путь такой же длины, что и ABCNM (исправленный), — это ADCNM.