Страница 23 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

49 1) Начертите окружность радиусом 3 см и измерьте её длину с помощью нити.

2) Длину окружности приближённо можно найти, умножив её радиус на 6. Начертите окружность радиусом 2 см и найдите длину окружности двумя способами: измерением и вычислением. Сравните результаты.

3) Как можно приближённо вычислить длину окружности, если известен её диаметр?

1)

Чтобы начертить окружность радиусом 3 см, нужно воспользоваться циркулем. Установите расстояние между иглой и грифелем циркуля равным 3 см с помощью линейки. Затем поставьте иглу циркуля в выбранную точку (центр окружности) и, не меняя раствора циркуля, проведите замкнутую линию.

Для измерения длины полученной окружности возьмите нить, аккуратно приложите её по всей линии окружности так, чтобы начало нити совпало с её концом на окружности. После этого распрямите нить и измерьте её длину с помощью линейки. Это и будет приближенное значение длины окружности.

Теоретически, длина окружности $C$ вычисляется по формуле $C = 2\pi r$, где $r$ – радиус, а $\pi \approx 3,14159...$.

Для радиуса $r = 3$ см, длина окружности равна:

$C = 2 \cdot \pi \cdot 3 = 6\pi \approx 6 \cdot 3,14 = 18,84$ см.

При измерении нитью результат должен получиться близким к этому значению, например, 18,8 см или 18,9 см, в зависимости от точности измерения.

Ответ: Длина окружности, измеренная нитью, будет приблизительно равна 18,8 см.

2)

Начертим окружность радиусом $r = 2$ см, используя циркуль.

Найдем её длину двумя способами.

Способ 1: Измерение

Приложим нить к начерченной окружности, а затем измерим длину этой нити линейкой. Точное значение длины окружности с радиусом 2 см равно $C = 2\pi r = 2 \cdot \pi \cdot 2 = 4\pi \approx 12,57$ см. Измерение с помощью нити должно дать результат, близкий к этому значению, например, 12,5 см или 12,6 см.

Способ 2: Вычисление (по предложенной формуле)

В условии задачи предложен приближенный способ вычисления: умножить радиус на 6.

$C \approx 6r$

Подставим значение радиуса $r = 2$ см:

$C \approx 6 \cdot 2 = 12$ см.

Сравнение результатов

Результат измерения (около 12,6 см) больше, чем результат, полученный вычислением по приближенной формуле (12 см). Это связано с тем, что в приближенной формуле $C \approx 6r$ используется грубое округление числа $2\pi \approx 6$. Более точное значение $2\pi \approx 2 \cdot 3,14 = 6,28$. Поэтому вычисление по приближенной формуле даёт заниженный результат.

Ответ: Длина окружности, найденная измерением, составляет примерно 12,6 см. Длина, найденная вычислением по формуле $C \approx 6r$, равна 12 см. Результат измерения точнее, так как приближенная формула дает заниженное значение.

3)

Диаметр окружности $d$ в два раза больше её радиуса $r$, то есть $d = 2r$.

В предыдущем задании использовалась приближенная формула для вычисления длины окружности через радиус: $C \approx 6r$.

Чтобы выразить длину окружности через диаметр, можно преобразовать эту формулу. Заметим, что $6r$ можно записать как $3 \cdot (2r)$. Поскольку $2r = d$, получаем:

$C \approx 3 \cdot (2r) = 3d$

Таким образом, чтобы приближенно вычислить длину окружности, зная её диаметр, нужно умножить диаметр на 3. Этот метод основан на приближении числа $\pi \approx 3$ (точная формула: $C = \pi d$).

Ответ: Чтобы приближенно вычислить длину окружности, нужно её диаметр умножить на 3.

50 Отметьте в тетради точку $O$. Постройте две окружности с центром в этой точке: одну радиусом 2 см, другую радиусом 3 см. Закрасьте цветным карандашом область, расположенную между этими окружностями. Как бы вы назвали получившуюся фигуру?

Построение двух окружностей и закрашивание области между ними

Для выполнения данного задания необходимо использовать циркуль и линейку. Действия выполняются в следующей последовательности:

1. Отмечаем в тетради точку и обозначаем её буквой O. Эта точка будет являться общим центром для двух окружностей.

2. С помощью линейки устанавливаем на циркуле расстояние, равное 2 см. Это радиус первой, меньшей окружности ($r = 2$ см).

3. Устанавливаем острие циркуля в точку O и проводим первую окружность.

4. Далее, с помощью линейки устанавливаем на циркуле расстояние, равное 3 см. Это радиус второй, большей окружности ($R = 3$ см).

5. Не меняя положения острия циркуля (оно остаётся в точке O), проводим вторую окружность.

6. В результате на чертеже изображены две окружности с общим центром O. Такие окружности называются концентрическими.

7. Берём цветной карандаш и аккуратно закрашиваем область, заключенную между этими двумя окружностями.

Ответ: Построены две концентрические окружности с радиусами 2 см и 3 см, и область между ними закрашена.

Как бы вы назвали получившуюся фигуру?

Получившаяся закрашенная фигура, которая представляет собой часть плоскости, ограниченную двумя концентрическими окружностями, в геометрии называется кольцом или круговым кольцом.

Ответ: Кольцо (или круговое кольцо).

51 Скопируйте в тетрадь рисунки, составленные из окружностей (рис. 1.36, а–в).

а

б

в

1.36

Для выполнения этого задания потребуется тетрадь в клетку, циркуль и линейка.

а

Данный рисунок состоит из трех концентрических окружностей, то есть окружностей с общим центром.

1. Выберите на пересечении клеток точку, которая будет центром всех окружностей. Назовем ее O.
2. Установите раствор циркуля на 2 клетки. Поставьте острие циркуля в точку O и начертите первую (внутреннюю) окружность. Ее радиус $r_1 = 2$ клетки.
3. Увеличьте раствор циркуля до 3 клеток. Не меняя положения острия, начертите вторую (среднюю) окружность. Ее радиус $r_2 = 3$ клетки.
4. Увеличьте раствор циркуля до 4 клеток. Начертите третью (внешнюю) окружность из того же центра O. Ее радиус $r_3 = 4$ клетки.

Ответ: Построены три окружности с общим центром и радиусами 2, 3 и 4 клетки.

б

Рисунок состоит из трех окружностей, которые касаются друг друга внутренним образом в одной точке.

1. Выберите на горизонтальной линии сетки точку, которая будет общей точкой касания. Назовем ее T.
2. Все центры окружностей будут лежать на горизонтальной линии, проходящей через точку T.
3. Для построения наименьшей окружности отложите от точки T вправо 2 клетки и отметьте центр $O_1$. Установите острие циркуля в $O_1$ и начертите окружность радиусом $R_1 = 2$ клетки. Она пройдет через точку T.
4. Для построения средней окружности отложите от точки T вправо 3 клетки и отметьте центр $O_2$. Из этого центра начертите окружность радиусом $R_2 = 3$ клетки.
5. Для построения наибольшей окружности отложите от точки T вправо 4 клетки и отметьте центр $O_3$. Из центра $O_3$ начертите окружность радиусом $R_3 = 4$ клетки.

Ответ: Построены три окружности с радиусами 2, 3 и 4 клетки, касающиеся друг друга в одной точке.

в

Этот сложный узор состоит из нескольких дуг окружностей. Для его построения выполните следующие шаги:

1. Основа: Начертите горизонтальный отрезок AB длиной 8 клеток. Отметьте его середину — точку M.
2. Внешняя дуга: Поставьте острие циркуля в точку M и начертите над отрезком AB полуокружность радиусом $R = 4$ клетки (равным длине отрезка MA). Обозначьте вершину этой полуокружности как T.
3. Нижние дуги: Найдите середины отрезков AM и MB, обозначьте их $C_1$ и $C_2$ соответственно.
   • С центром в точке $C_1$ начертите над отрезком AM полуокружность радиусом $r = 2$ клетки. Обозначьте ее вершину $P_1$.
   • С центром в точке $C_2$ начертите над отрезком MB полуокружность радиусом $r = 2$ клетки. Обозначьте ее вершину $P_2$.
4. Внутренний узор:
   • Поставьте острие циркуля в точку $C_1$. Установите раствор циркуля так, чтобы грифель доставал до точки T. Проведите дугу, соединяющую точку T с точкой $P_2$.
   • Поставьте острие циркуля в точку $C_2$. Тем же раствором циркуля проведите дугу от точки T до точки $P_1$.
   • Поставьте острие циркуля в точку $C_1$. Проведите дугу радиусом 2 клетки, соединяющую точку M с точкой $P_1$.
   • Поставьте острие циркуля в точку $C_2$. Проведите дугу радиусом 2 клетки, соединяющую точку M с точкой $P_2$.

Примечание: Из-за особенностей геометрического построения получившийся рисунок в точке M может немного отличаться от изображения в учебнике, где кривые образуют острый угол. Описанный метод позволяет создать геометрически корректную фигуру с помощью циркуля.

Ответ: Построен узор, состоящий из одной большой и двух малых полуокружностей, а также четырех внутренних декоративных дуг.

52 Проведите в тетради горизонтальную прямую по линии клетчатой бумаги. Через каждые три клеточки отметьте на ней точки. Проведите окружности радиусом 4 клеточки с центрами в этих точках. Раскрасьте получившийся узор таким образом, как будто бы вы накладывали каждый следующий круг на предыдущий.

Для выполнения этого задания необходимо последовательно выполнить несколько шагов по построению и раскрашиванию геометрического узора на клетчатой бумаге.

1. На листе бумаги в клетку проведите горизонтальную прямую линию, совмещая ее с одной из линий сетки.
2. На этой прямой отметьте точки, которые будут служить центрами окружностей. Начните с произвольной точки $O_1$ на прямой. Затем отложите от нее вправо расстояние, равное трем клеточкам, и отметьте точку $O_2$. Повторите это действие, чтобы получить последовательность точек $O_1, O_2, O_3, \dots$, расстояние между которыми составляет 3 клеточки.
3. Возьмите циркуль и установите его раствор равным 4 клеточкам. Это будет радиус окружностей ($R=4$ клеточки).
4. Помещая иглу циркуля последовательно в каждую из отмеченных точек ($O_1, O_2, O_3, \dots$), начертите окружности. Так как расстояние между центрами ($d=3$ клеточки) меньше радиуса ($R=4$ клеточки), каждая следующая окружность будет пересекать предыдущую.
5. Последний шаг — раскрашивание. Условие "накладывали каждый следующий круг на предыдущий" означает, что нужно имитировать процесс наложения непрозрачных кругов друг на друга. Раскрашивание следует производить в том же порядке, в котором чертились окружности (например, слева направо):
   • Сначала полностью раскрашивается первый круг (например, красным цветом).
   • Затем полностью раскрашивается второй круг (например, зеленым), при этом он закроет собой ту часть первого круга, с которой он пересекается.
   • Далее третий круг (например, синим) закроет собой часть второго, и так далее.
   В итоге полностью видимым останется только последний, самый правый круг. От всех предыдущих кругов будут видны только их левые части в форме полумесяцев.

Результат должен выглядеть примерно так, как показано на иллюстрации ниже, где для наглядности использованы разные цвета и показана сетка из клеточек (одна клеточка на рисунке соответствует одной клеточке в тетради).

Ответ: Необходимо начертить на клетчатой бумаге горизонтальную прямую, отметить на ней точки через каждые 3 клеточки, а затем из этих точек как из центров провести окружности радиусом 4 клеточки. Полученный узор из пересекающихся окружностей следует раскрасить так, чтобы каждый следующий круг (например, идущий справа) перекрывал предыдущий, в результате чего от всех кругов, кроме последнего, останутся видимыми только части в виде полумесяцев.

53 Начертите окружность и отметьте на ней три точки. Обведите получившиеся дуги карандашами. Используйте для разных дуг карандаши разных цветов. Сколько всего дуг получилось?

Для решения этой задачи представим себе окружность. Когда мы ставим на ней точки, они делят окружность на части, которые называются дугами.

1. Поставим на окружности первую точку. Она еще не делит окружность.

2. Поставим вторую точку. Теперь у нас есть две точки, и они делят окружность на две дуги.

3. Поставим третью точку. Эта точка появится на одной из двух существующих дуг и разделит ее на две меньшие дуги.

Давайте назовем точки $A$, $B$ и $C$. Они разделят окружность на три дуги:

• Дуга между точками $A$ и $B$.
• Дуга между точками $B$ и $C$.
• Дуга между точками $C$ и $A$.

Каждую из этих трех дуг можно обвести карандашом отдельного цвета. Таким образом, три точки делят окружность на три дуги.

Ответ: 3 дуги.

Примечание: Иногда задачу можно понять иначе. Любая пара точек на окружности задает две дуги (меньшую и большую). У нас 3 точки ($A$, $B$, $C$), из которых можно составить 3 пары: ($A, B$), ($B, C$), ($A, C$). Каждая пара определяет 2 дуги, что в сумме дает $3 \times 2 = 6$ дуг. Однако формулировка вопроса «обведите получившиеся дуги» подразумевает именно те дуги, на которые точки разделили окружность, поэтому ответ 3 является наиболее корректным.