Страница 27 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

Сколько знаков используется для записи чисел в десятичной системе? Как они называются?

Почему наша система записи чисел называется десятичной; позиционной?

Запишите какое-нибудь число в десятичной нумерации, назовите классы и разряды в его записи.

Является ли римская нумерация позиционной?

Сколько знаков используется для записи чисел в десятичной системе? Как они называются?
Для записи чисел в десятичной системе счисления используется десять знаков. Эти знаки — $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$. Они называются арабскими цифрами или просто цифрами.
Ответ: Для записи чисел в десятичной системе используется 10 знаков, которые называются цифрами.

Почему наша система записи чисел называется десятичной; позиционной?
Наша система записи чисел называется десятичной, потому что в ней для записи любого числа используется десять цифр (от $0$ до $9$). Основание системы счисления — десять. Каждая позиция (разряд) в числе представляет собой степень числа $10$.
Она называется позиционной, потому что значение каждой цифры в записи числа зависит от её позиции (места или разряда). Например, в числе $333$ первая справа цифра $3$ обозначает три единицы ($3 \cdot 10^0$), вторая — три десятка ($3 \cdot 10^1$), а третья — три сотни ($3 \cdot 10^2$). Таким образом, одна и та же цифра имеет разное значение в зависимости от своего положения в числе.
Ответ: Десятичной — потому что используется десять цифр; позиционной — потому что значение цифры зависит от её позиции в числе.

Запишите какое-нибудь число в десятичной нумерации, назовите классы и разряды в его записи.
Рассмотрим число $527 \, 194 \, 863$.
В этом числе можно выделить следующие классы (группы по три цифры, считая справа налево):
- Класс миллионов: $527$
- Класс тысяч: $194$
- Класс единиц: $863$

Каждый класс, в свою очередь, состоит из трёх разрядов. Перечислим все разряды числа $527 \, 194 \, 863$ справа налево:
- Цифра $3$ стоит в разряде единиц.
- Цифра $6$ стоит в разряде десятков.
- Цифра $8$ стоит в разряде сотен.
- Цифра $4$ стоит в разряде единиц тысяч.
- Цифра $9$ стоит в разряде десятков тысяч.
- Цифра $1$ стоит в разряде сотен тысяч.
- Цифра $7$ стоит в разряде единиц миллионов.
- Цифра $2$ стоит в разряде десятков миллионов.
- Цифра $5$ стоит в разряде сотен миллионов.

Ответ: Число $527 \, 194 \, 863$ состоит из класса миллионов ($527$), класса тысяч ($194$) и класса единиц ($863$). Разряды (справа налево): единицы, десятки, сотни, единицы тысяч, десятки тысяч, сотни тысяч, единицы миллионов, десятки миллионов, сотни миллионов.

Является ли римская нумерация позиционной?
Нет, римская система нумерации является преимущественно непозиционной. В непозиционной системе значение символа (цифры) не зависит от его положения в числе. Например, в римском числе $XXX$ (тридцать) каждый символ $X$ означает $10$.
Однако в римской нумерации есть элементы позиционности. Это проявляется в «правиле вычитания»: если меньшая цифра стоит перед большей, то она вычитается из большей (например, $IV = 5 - 1 = 4$, а $IX = 10 - 1 = 9$). Если же меньшая цифра стоит после большей, она прибавляется ($VI = 5 + 1 = 6$, $XI = 10 + 1 = 11$).
Несмотря на это, римская система не является в полной мере позиционной, так как в ней нет строгого соответствия позиции разряду (степени основания), как в десятичной системе.
Ответ: Нет, римская нумерация не является позиционной системой счисления.