Страница 33 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

81 Запишите в виде двойного неравенства:

а) число 7 больше 6 и меньше 10; $6 < 7 < 10$

б) число 83 больше 80 и меньше 90; $80 < 83 < 90$

в) число d больше 20 и меньше 30; $20 < d < 30$

г) число 14 больше числа a и меньше числа b; $a < 14 < b$

д) число x больше числа y и меньше числа z. $y < x < z$

а) Условие "число 7 больше 6" можно записать в виде неравенства $7 > 6$, что равносильно $6 < 7$. Условие "число 7 меньше 10" записывается как $7 < 10$. Объединив эти два неравенства, получим двойное неравенство, где число 7 находится между 6 и 10.
$6 < 7$ и $7 < 10$ => $6 < 7 < 10$.
Ответ: $6 < 7 < 10$.

б) Условие "число 83 больше 80" записывается как $83 > 80$ или $80 < 83$. Условие "число 83 меньше 90" записывается как $83 < 90$. Соединим эти два условия в одно двойное неравенство.
$80 < 83$ и $83 < 90$ => $80 < 83 < 90$.
Ответ: $80 < 83 < 90$.

в) Условие "число d больше 20" записывается в виде неравенства $d > 20$ или $20 < d$. Условие "число d меньше 30" записывается как $d < 30$. Объединяем эти два неравенства.
$20 < d$ и $d < 30$ => $20 < d < 30$.
Ответ: $20 < d < 30$.

г) Условие "число 14 больше числа a" означает, что $14 > a$ или $a < 14$. Условие "число 14 меньше числа b" означает, что $14 < b$. Составим из этих двух условий двойное неравенство.
$a < 14$ и $14 < b$ => $a < 14 < b$.
Ответ: $a < 14 < b$.

д) Условие "число x больше числа y" записывается как $x > y$ или $y < x$. Условие "число x меньше числа z" записывается как $x < z$. Объединим эти два неравенства в одно двойное неравенство.
$y < x$ и $x < z$ => $y < x < z$.
Ответ: $y < x < z$.

82 Назовите два ближайших числа, между которыми находится данное число:

а) 28;

б) 84;

в) 145;

г) 219.

Ответ запишите в виде двойного неравенства.

а) Чтобы найти два ближайших числа, между которыми находится число 28, нужно определить его предшествующее и последующее целые числа. Предшествующее число – это число, которое на единицу меньше данного, то есть $28 - 1 = 27$. Последующее число – это число, которое на единицу больше данного, то есть $28 + 1 = 29$. Таким образом, число 28 находится между числами 27 и 29. Запишем это в виде двойного неравенства. Ответ: $27 < 28 < 29$.

б) Для числа 84 ближайшими числами являются предыдущее и последующее. Находим число, которое на единицу меньше 84: $84 - 1 = 83$. Находим число, которое на единицу больше 84: $84 + 1 = 85$. Следовательно, число 84 заключено между 83 и 85. Двойное неравенство будет выглядеть следующим образом. Ответ: $83 < 84 < 85$.

в) Найдем два ближайших числа для 145. Это числа, отличающиеся от 145 на единицу в меньшую и большую сторону. Число слева (меньшее): $145 - 1 = 144$. Число справа (большее): $145 + 1 = 146$. Таким образом, мы можем составить двойное неравенство, показывающее, что 145 находится между 144 и 146. Ответ: $144 < 145 < 146$.

г) Для числа 219 определим ближайшие к нему целые числа на числовой прямой. Число, предшествующее 219, это $219 - 1 = 218$. Число, следующее за 219, это $219 + 1 = 220$. Число 219 находится строго между этими двумя числами. Запишем это в виде требуемого двойного неравенства. Ответ: $218 < 219 < 220$.

83. Запишите координаты точек, отмеченных на координатной прямой (рис. 2.4).

$M = 0.75$

$N = 1.75$

$P = 2.5$

$K = 3$

Для того чтобы определить координаты точек, сначала найдем цену одного деления на координатной прямой. Расстояние между отметками 0 и 1 разделено на 2 равных отрезка. Значит, цена одного деления равна:

$(1 - 0) \div 2 = \frac{1}{2} = 0,5$.

Теперь, зная цену деления, мы можем найти координату каждой точки, посчитав количество делений от начала координат (точки 0) до нужной точки.

M

Точка M находится на 3-м делении от нуля. Чтобы найти ее координату, умножим количество делений на цену одного деления:

$3 \times 0,5 = 1,5$ или $3 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

Ответ: $M(1,5)$

N

Точка N находится на 5-м делении от нуля. Ее координата равна:

$5 \times 0,5 = 2,5$ или $5 \times \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$.

Ответ: $N(2,5)$

P

Точка P находится на 7-м делении от нуля. Ее координата равна:

$7 \times 0,5 = 3,5$ или $7 \times \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$.

Ответ: $P(3,5)$

K

Точка K находится на 9-м делении от нуля. Ее координата равна:

$9 \times 0,5 = 4,5$ или $9 \times \frac{1}{2} = \frac{9}{2}$.

Ответ: $K(4,5)$

84 а) Начертите координатную прямую, приняв за единичный отрезок одну клеточку. Отметьте на ней точки $B (7)$, $C (10)$, $D (14)$, $E (19)$.

б) Начертите координатную прямую, приняв за единичный отрезок две клеточки. Отметьте на этой прямой числа $3$, $5$, $7$, $9$.

а)

Чтобы начертить координатную прямую, проведем горизонтальную линию, выберем на ней начальную точку (начало отсчета) $O$ с координатой 0 и зададим положительное направление (обычно вправо), обозначив его стрелкой.

По условию, единичный отрезок равен одной клеточке. Это значит, что число 1 будет находиться на расстоянии одной клеточки от начала отсчета, число 2 — на расстоянии двух клеточек и так далее.

Теперь отметим на этой прямой заданные точки:

• Точка $B(7)$ находится на расстоянии 7 клеточек (7 единичных отрезков) вправо от начала отсчета.
• Точка $C(10)$ находится на расстоянии 10 клеточек вправо от начала отсчета.
• Точка $D(14)$ находится на расстоянии 14 клеточек вправо от начала отсчета.
• Точка $E(19)$ находится на расстоянии 19 клеточек вправо от начала отсчета.

Изобразим это на координатной прямой (масштаб: 1 клеточка = 20 пикселей):

Ответ: На координатной прямой с началом отсчета в точке 0 и единичным отрезком в одну клеточку, точка $B$ будет отстоять от 0 на 7 клеточек, точка $C$ — на 10 клеточек, точка $D$ — на 14 клеточек, и точка $E$ — на 19 клеточек вправо.

б)

Начертим новую координатную прямую с началом отсчета в точке $O(0)$ и положительным направлением вправо.

По условию, единичный отрезок равен двум клеточкам. Это означает, что число 1 будет находиться на расстоянии двух клеточек от начала отсчета, число 2 — на расстоянии четырех клеточек ($2 \times 2 = 4$), число 3 — на расстоянии шести клеточек ($3 \times 2 = 6$) и так далее.

Отметим на этой прямой заданные числа:

• Число 3 будет находиться на расстоянии $3 \times 2 = 6$ клеточек вправо от начала отсчета.
• Число 5 будет находиться на расстоянии $5 \times 2 = 10$ клеточек вправо от начала отсчета.
• Число 7 будет находиться на расстоянии $7 \times 2 = 14$ клеточек вправо от начала отсчета.
• Число 9 будет находиться на расстоянии $9 \times 2 = 18$ клеточек вправо от начала отсчета.

Изобразим это на координатной прямой (масштаб: 1 единичный отрезок = 2 клеточки = 40 пикселей):

Ответ: На координатной прямой с единичным отрезком в две клеточки, число 3 будет отстоять от 0 на 6 клеточек, число 5 — на 10 клеточек, число 7 — на 14 клеточек, и число 9 — на 18 клеточек вправо.

85. a) Начертите координатную прямую и отметьте на ней точку $O$. Отступив от точки $O$ вправо на четыре клетки, поставьте метку и подпишите под ней число $2$. Отметьте на этой координатной прямой числа $1$, $4$, $8$.

б) Начертите прямую и отметьте на ней точку $O$. Отступив от точки $O$ вправо на три клетки, поставьте метку и подпишите под ней число $6$. Отметьте на этой координатной прямой числа $12$, $2$, $8$.

а)

1. Начертим координатную прямую и отметим на ней точку O — начало отсчета, которой соответствует число 0.

2. По условию задачи, числу 2 соответствует точка, которая находится на 4 клетки правее точки O. Это задает масштаб нашей координатной прямой.

3. Найдем длину единичного отрезка, то есть расстояние, соответствующее числу 1. Если числу 2 соответствует 4 клетки, то единичный отрезок будет равен:
$4 \text{ клетки} \div 2 = 2 \text{ клетки}$

4. Теперь мы можем отметить на прямой заданные числа, зная, что каждая единица на прямой равна 2 клеткам:
- Чтобы отметить число 1, нужно отступить от точки O вправо на $1 \times 2 = 2$ клетки.
- Чтобы отметить число 4, нужно отступить от точки O вправо на $4 \times 2 = 8$ клеток.
- Чтобы отметить число 8, нужно отступить от точки O вправо на $8 \times 2 = 16$ клеток.

Ответ: На координатной прямой, где 4 клетки соответствуют числу 2, единичный отрезок равен 2 клеткам. Число 1 находится на расстоянии 2 клеток от точки O, число 4 — на расстоянии 8 клеток, а число 8 — на расстоянии 16 клеток.

б)

1. Начертим новую координатную прямую и отметим на ней начало отсчета — точку O (координата 0).

2. Согласно условию, отступив от точки O на 3 клетки вправо, мы ставим метку с числом 6. Это задает новый масштаб.

3. Определим "цену" одной клетки. Если 3 клетки соответствуют числовому значению 6, то одна клетка соответствует значению:
$6 \div 3 = 2$
Таким образом, каждая клетка вправо от O увеличивает значение на 2.

4. Теперь найдем положение заданных чисел на прямой, разделив их значение на "цену" одной клетки:
- Чтобы отметить число 12, нужно отступить от точки O вправо на $12 \div 2 = 6$ клеток.
- Чтобы отметить число 2, нужно отступить от точки O вправо на $2 \div 2 = 1$ клетку.
- Чтобы отметить число 8, нужно отступить от точки O вправо на $8 \div 2 = 4$ клетки.

Ответ: На координатной прямой, где 3 клетки соответствуют числу 6, одна клетка соответствует числу 2. Число 2 находится на расстоянии 1 клетки от точки O, число 8 — на расстоянии 4 клеток, а число 12 — на расстоянии 6 клеток.

86. а) Найдите координаты точек на координатной прямой, которые удалены от точки $A(13)$ на 4 единицы.

б) Найдите координаты каких-нибудь двух точек на координатной прямой, равноудалённых от точки $A(9)$.

В каждом случае сделайте рисунок.

а)

Чтобы найти точки на координатной прямой, которые удалены от точки $A(13)$ на 4 единицы, необходимо найти числа, которые на 4 больше и на 4 меньше, чем 13.

1. Находим координату точки, которая находится правее точки A. Для этого к координате точки A прибавляем заданное расстояние:
$13 + 4 = 17$

2. Находим координату точки, которая находится левее точки A. Для этого из координаты точки A вычитаем заданное расстояние:
$13 - 4 = 9$

Следовательно, искомые точки имеют координаты 9 и 17.

Рисунок:

Ответ: 9 и 17.

б)

Чтобы найти две точки, равноудалённые от точки $A(9)$, нужно выбрать любое расстояние и отложить его от точки A в обе стороны (влево и вправо) по координатной прямой.

Например, выберем расстояние, равное 3 единицам.

1. Находим координату точки справа от A:
$9 + 3 = 12$

2. Находим координату точки слева от A:
$9 - 3 = 6$

Таким образом, точки с координатами 6 и 12 являются равноудалёнными от точки A(9). Можно выбрать и любое другое расстояние.

Рисунок:

Ответ: например, 6 и 12.

87 На координатной прямой (рис. 2.5) отмечены натуральные числа $a$, $b$, $c$ и $d$. Сравните указанные числа и запишите соответствующее неравенство:

2.5

а) $a$ и $c$;

б) $a$ и $d$;

в) $a$ и $b$;

г) $b$ и $d$;

д) $b$ и $c$;

е) $d$ и $c$.

Для сравнения чисел, отмеченных на координатной прямой, используется правило: из двух чисел на координатной прямой больше то, которое расположено правее, и меньше то, которое расположено левее.

На рисунке 2.5 точки расположены в следующем порядке (слева направо): d, a, c, b. Это означает, что выполняется следующее соотношение: $d < a < c < b$.

а) а и с
Точка a находится левее точки c, следовательно, число a меньше числа c.
Ответ: $a < c$.

б) а и d
Точка a находится правее точки d, следовательно, число a больше числа d.
Ответ: $a > d$.

в) а и b
Точка a находится левее точки b, следовательно, число a меньше числа b.
Ответ: $a < b$.

г) b и d
Точка b находится правее точки d, следовательно, число b больше числа d.
Ответ: $b > d$.

д) b и с
Точка b находится правее точки c, следовательно, число b больше числа c.
Ответ: $b > c$.

е) d и с
Точка d находится левее точки c, следовательно, число d меньше числа c.
Ответ: $d < c$.