Страница 36 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

88 а) В городе во время переписи населения было зарегистрировано 13882 жителя. Сообщая результаты переписи, одна газета указала, что в городе примерно 13 тыс. жителей, а другая — 14 тыс. жителей. Какое сообщение точнее? Запишите соответствующее приближённое равенство.

б) В вагоне метро находится 148 пассажиров. Какое приближение точнее: 150 пассажиров или 140 пассажиров; 100 пассажиров или 200 пассажиров? Запишите соответствующие приближённые равенства.

а)

Чтобы определить, какое из приближенных значений является более точным, необходимо сравнить абсолютную погрешность каждого приближения. Абсолютная погрешность — это модуль разности между точным значением и приближенным.

Точное значение количества жителей: 13882.

Первое приближение: 13 тыс. жителей = 13000.
Найдем абсолютную погрешность для этого значения:
$|13882 - 13000| = 882$.

Второе приближение: 14 тыс. жителей = 14000.
Найдем абсолютную погрешность для этого значения:
$|14000 - 13882| = 118$.

Сравним полученные погрешности: $118 < 882$.
Чем меньше абсолютная погрешность, тем точнее приближение. Следовательно, сообщение о 14 тыс. жителей является более точным.

Соответствующее приближенное равенство: $13882 \approx 14000$.

Ответ: Сообщение о 14 тыс. жителей точнее; $13882 \approx 14000$.

б)

Точное количество пассажиров в вагоне — 148. Сравним предложенные приближения, вычисляя для каждого абсолютную погрешность.

Сравнение: 150 пассажиров или 140 пассажиров.
Абсолютная погрешность для 150 пассажиров: $|148 - 150| = |-2| = 2$.
Абсолютная погрешность для 140 пассажиров: $|148 - 140| = 8$.
Поскольку $2 < 8$, приближение "150 пассажиров" является более точным.
Соответствующее приближенное равенство: $148 \approx 150$.

Сравнение: 100 пассажиров или 200 пассажиров.
Абсолютная погрешность для 100 пассажиров: $|148 - 100| = 48$.
Абсолютная погрешность для 200 пассажиров: $|148 - 200| = |-52| = 52$.
Поскольку $48 < 52$, приближение "100 пассажиров" является более точным.
Соответствующее приближенное равенство: $148 \approx 100$.

Ответ: В паре 150 и 140 точнее 150 ($148 \approx 150$); в паре 100 и 200 точнее 100 ($148 \approx 100$).

89 Укажите, какое из приближённых равенств точнее:

а) $28 \approx 30$ или $28 \approx 20$;

б) $54 \approx 60$ или $54 \approx 50$;

в) $746 \approx 750$ или $746 \approx 740$;

г) $1823 \approx 1900$ или $1823 \approx 1800$.

Чтобы определить, какое из приближённых равенств точнее, необходимо для каждого случая вычислить абсолютную погрешность. Абсолютная погрешность — это модуль разности между точным значением и его приближённым значением. Приближение считается тем точнее, чем меньше его абсолютная погрешность.

а) Сравним приближения $28 \approx 30$ и $28 \approx 20$.

1. Найдём абсолютную погрешность для приближения $28 \approx 30$:
$|30 - 28| = 2$.

2. Найдём абсолютную погрешность для приближения $28 \approx 20$:
$|20 - 28| = |-8| = 8$.

Так как $2 < 8$, то абсолютная погрешность в первом случае меньше. Следовательно, приближение $28 \approx 30$ является более точным.
Ответ: $28 \approx 30$.

б) Сравним приближения $54 \approx 60$ и $54 \approx 50$.

1. Найдём абсолютную погрешность для приближения $54 \approx 60$:
$|60 - 54| = 6$.

2. Найдём абсолютную погрешность для приближения $54 \approx 50$:
$|50 - 54| = |-4| = 4$.

Так как $4 < 6$, то абсолютная погрешность во втором случае меньше. Следовательно, приближение $54 \approx 50$ является более точным.
Ответ: $54 \approx 50$.

в) Сравним приближения $746 \approx 750$ и $746 \approx 740$.

1. Найдём абсолютную погрешность для приближения $746 \approx 750$:
$|750 - 746| = 4$.

2. Найдём абсолютную погрешность для приближения $746 \approx 740$:
$|740 - 746| = |-6| = 6$.

Так как $4 < 6$, то абсолютная погрешность в первом случае меньше. Следовательно, приближение $746 \approx 750$ является более точным.
Ответ: $746 \approx 750$.

г) Сравним приближения $1823 \approx 1900$ и $1823 \approx 1800$.

1. Найдём абсолютную погрешность для приближения $1823 \approx 1900$:
$|1900 - 1823| = 77$.

2. Найдём абсолютную погрешность для приближения $1823 \approx 1800$:
$|1800 - 1823| = |-23| = 23$.

Так как $23 < 77$, то абсолютная погрешность во втором случае меньше. Следовательно, приближение $1823 \approx 1800$ является более точным.
Ответ: $1823 \approx 1800$.

90 Задача-шутка

Экскурсанты, указывая на скелет, спросили сторожа музея: «Сколько лет этому динозавру?» — «Один миллион тридцать четыре года». — «Откуда вы так точно знаете его возраст?» — изумились посетители. «Это просто! — ответил сторож. — Когда 34 года назад я пришёл сюда работать, мне сказали, что этому динозавру миллион лет». Правильно ли рассуждал сторож?

С точки зрения формальной арифметики, рассуждения сторожа верны. Он взял возраст, который ему сообщили 34 года назад, и прибавил к нему прошедшие годы. Его расчет выглядит так: $1\ 000\ 000 + 34 = 1\ 000\ 034$ года.

Однако, с точки зрения логики и науки, сторож рассуждал неправильно. Проблема заключается в точности исходных данных. Когда ученые говорят, что возраст ископаемого составляет «миллион лет», они имеют в виду приблизительную, округленную оценку. Погрешность такого измерения может составлять десятки, а то и сотни тысяч лет. Это означает, что реальный возраст скелета 34 года назад мог быть, например, $980\ 000$ лет или $1\ 020\ 000$ лет, но для простоты его округлили до миллиона.

Прибавлять точное и незначительное число (34 года) к очень большому и неточному числу (миллион лет) бессмысленно. Добавленные 34 года находятся далеко в пределах погрешности первоначальной оценки и никак не влияют на общую точность. Таким образом, сторож создал ложное впечатление высокой точности своего ответа, что является логической ошибкой.

Ответ: Сторож рассуждал неправильно, так как применил точное арифметическое действие к заведомо неточным, округленным данным.

91 а) От Москвы до Петербурга по железной дороге 660 км. Укажите это расстояние округлённо в сотнях километров.

б) В англо-русском словаре 8532 слова. Укажите это количество слов округлённо в тысячах.

а) Чтобы округлить расстояние 660 км до сотен километров, необходимо посмотреть на цифру, стоящую в разряде десятков. В числе 660 это цифра 6.
Согласно правилу округления, если цифра в следующем (младшем) разряде равна 5, 6, 7, 8 или 9, то цифра в округляемом разряде увеличивается на единицу, а все последующие заменяются нулями.
Поскольку $6 \ge 5$, мы увеличиваем цифру в разряде сотен (6) на 1 и получаем 7. Цифры в разрядах десятков и единиц заменяем нулями.
$660 \approx 700$ км.
Ответ: 700 км.

б) Чтобы округлить количество слов 8532 до тысяч, необходимо посмотреть на цифру, стоящую в разряде сотен. В числе 8532 это цифра 5.
Согласно правилу округления, если цифра в следующем разряде равна 5 или больше, то цифра в округляемом разряде увеличивается на единицу.
Поскольку цифра в разряде сотен равна 5, мы увеличиваем цифру в разряде тысяч (8) на 1 и получаем 9. Все последующие разряды (сотни, десятки и единицы) заменяем нулями.
$8532 \approx 9000$ слов.
Ответ: 9000 слов.

92 a) В школьной библиотеке 27923 книги. Сколько примерно тысяч книг в школьной библиотеке?

б) В городской библиотеке 2387600 книг. Сколько примерно тысяч книг в городской библиотеке? Сколько примерно миллионов книг?

а) Чтобы определить, сколько примерно тысяч книг в школьной библиотеке, необходимо округлить число $27923$ до разряда тысяч. Правило округления гласит: если цифра, стоящая справа от округляемого разряда, равна 5 или больше, то округляемый разряд увеличивается на единицу, а все последующие заменяются нулями. Если эта цифра меньше 5, то округляемый разряд остается без изменений, а последующие заменяются нулями.

В числе $27923$ цифра в разряде тысяч – это $7$. Цифра справа от нее, в разряде сотен, – это $9$.

Поскольку $9 \ge 5$, мы увеличиваем цифру в разряде тысяч ($7$) на $1$ и получаем $8$. Все цифры справа от разряда тысяч заменяем нулями.

Таким образом, $27923 \approx 28000$.

Это означает, что в школьной библиотеке примерно 28 тысяч книг.

Ответ: примерно 28 тысяч книг.

б) В городской библиотеке $2387600$ книг. Сначала определим примерное количество тысяч книг, округлив число до тысяч.

В числе $2387600$ цифра в разряде тысяч – это $7$. Цифра справа от нее, в разряде сотен, – это $6$.

Так как $6 \ge 5$, мы увеличиваем разряд тысяч ($7$) на $1$, получая $8$, и заменяем последующие цифры нулями.

$2387600 \approx 2388000$.

Следовательно, в городской библиотеке примерно 2388 тысяч книг.

Теперь определим примерное количество миллионов книг, округлив число $2387600$ до разряда миллионов.

В числе $2387600$ цифра в разряде миллионов – это $2$. Цифра справа от нее, в разряде сотен тысяч, – это $3$.

Поскольку $3 < 5$, мы оставляем цифру в разряде миллионов ($2$) без изменений, а все цифры справа от нее заменяем нулями.

$2387600 \approx 2000000$.

Следовательно, в городской библиотеке примерно 2 миллиона книг.

Ответ: примерно 2388 тысяч книг; примерно 2 миллиона книг.

93 Выразите приближённо:

а) 19 мм в сантиметрах;

б) 28 см в дециметрах;

в) 423 см в метрах;

г) 359 см в дециметрах;

д) 482 см в метрах;

е) 5621 м в километрах.

Образец. Выразим приближённо 6789 м в километрах. Так как $1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$, то число 6789 надо округлить до тысяч: $6789 \text{ м} \approx 7000 \text{ м} = 7 \text{ км}. $

а) Чтобы выразить 19 мм в сантиметрах, необходимо учесть, что $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$. Для получения приближённого значения в целых сантиметрах, необходимо округлить число 19 до ближайшего числа, кратного 10. Ближайшее к 19 число, кратное 10 — это 20.
$19 \text{ мм} \approx 20 \text{ мм}$
$20 \text{ мм} = 2 \text{ см}$
Следовательно, $19 \text{ мм} \approx 2 \text{ см}$.
Ответ: $19 \text{ мм} \approx 2 \text{ см}$.

б) Чтобы выразить 28 см в дециметрах, воспользуемся соотношением $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$. Округлим число 28 до ближайшего числа, кратного 10. Ближайшее к 28 число, кратное 10 — это 30.
$28 \text{ см} \approx 30 \text{ см}$
$30 \text{ см} = 3 \text{ дм}$
Следовательно, $28 \text{ см} \approx 3 \text{ дм}$.
Ответ: $28 \text{ см} \approx 3 \text{ дм}$.

в) Чтобы выразить 423 см в метрах, используем соотношение $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$. Округлим число 423 до ближайшего числа, кратного 100 (то есть до сотен). Ближайшее к 423 число, кратное 100 — это 400.
$423 \text{ см} \approx 400 \text{ см}$
$400 \text{ см} = 4 \text{ м}$
Следовательно, $423 \text{ см} \approx 4 \text{ м}$.
Ответ: $423 \text{ см} \approx 4 \text{ м}$.

г) Чтобы выразить 359 см в дециметрах, применим соотношение $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$. Округлим 359 до ближайшего числа, кратного 10. Ближайшее к 359 число, кратное 10 — это 360.
$359 \text{ см} \approx 360 \text{ см}$
$360 \text{ см} = 36 \text{ дм}$
Следовательно, $359 \text{ см} \approx 36 \text{ дм}$.
Ответ: $359 \text{ см} \approx 36 \text{ дм}$.

д) Чтобы выразить 482 см в метрах, используем соотношение $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$. Округлим число 482 до ближайшего числа, кратного 100. Ближайшее к 482 число, кратное 100 — это 500.
$482 \text{ см} \approx 500 \text{ см}$
$500 \text{ см} = 5 \text{ м}$
Следовательно, $482 \text{ см} \approx 5 \text{ м}$.
Ответ: $482 \text{ см} \approx 5 \text{ м}$.

е) Чтобы выразить 5621 м в километрах, воспользуемся соотношением $1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$. Следуя образцу, округлим число 5621 до ближайшего числа, кратного 1000 (то есть до тысяч). Ближайшее к 5621 число, кратное 1000 — это 6000.
$5621 \text{ м} \approx 6000 \text{ м}$
$6000 \text{ м} = 6 \text{ км}$
Следовательно, $5621 \text{ м} \approx 6 \text{ км}$.
Ответ: $5621 \text{ м} \approx 6 \text{ км}$.

94 a) Масса слона 5835 кг. Сколько примерно тонн весит слон?

б) Масса серого кита 19750 кг. Сколько примерно тонн весит серый кит?

а) Для того чтобы узнать, сколько примерно тонн весит слон, необходимо перевести его массу из килограммов в тонны. Мы знаем, что в одной тонне содержится 1000 килограммов. Следовательно, чтобы перевести килограммы в тонны, нужно разделить массу в килограммах на 1000.

$5835 \text{ кг} \div 1000 = 5,835 \text{ т}$

Теперь округлим полученное значение. Число 5,835 находится между 5 и 6, но ближе к 6. Таким образом, масса слона составляет примерно 6 тонн.

Ответ: примерно 6 тонн.

б) Аналогично первому пункту, переведем массу серого кита из килограммов в тонны, разделив ее на 1000, и затем округлим результат.

$19750 \text{ кг} \div 1000 = 19,75 \text{ т}$

Округлим полученное значение. Число 19,75 находится между 19 и 20, но ближе к 20. Таким образом, масса серого кита составляет примерно 20 тонн.

Ответ: примерно 20 тонн.

95 Выразите приближённо:

а) 7169 г в килограммах;

б) 290 кг в центнерах;

в) 47300 кг в тоннах;

г) 13875 г в килограммах;

д) 517 кг в центнерах;

е) 980 кг в тоннах.

а) 7169 г в килограммах

Чтобы выразить граммы (г) в килограммах (кг), необходимо разделить количество граммов на 1000, так как в одном килограмме содержится 1000 граммов ($1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$).

$7169 \text{ г} = \frac{7169}{1000} \text{ кг} = 7.169 \text{ кг}$

Для получения приближённого значения округлим результат до ближайшего целого числа. Поскольку первая цифра после запятой (1) меньше 5, округляем в меньшую сторону.

$7.169 \text{ кг} \approx 7 \text{ кг}$

Ответ: приблизительно 7 кг.

б) 290 кг в центнерах

Чтобы выразить килограммы (кг) в центнерах (ц), необходимо разделить количество килограммов на 100, так как в одном центнере содержится 100 килограммов ($1 \text{ ц} = 100 \text{ кг}$).

$290 \text{ кг} = \frac{290}{100} \text{ ц} = 2.9 \text{ ц}$

Округлим результат до ближайшего целого числа. Поскольку первая цифра после запятой (9) больше или равна 5, округляем в большую сторону.

$2.9 \text{ ц} \approx 3 \text{ ц}$

Ответ: приблизительно 3 ц.

в) 47300 кг в тоннах

Чтобы выразить килограммы (кг) в тоннах (т), необходимо разделить количество килограммов на 1000, так как в одной тонне содержится 1000 килограммов ($1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}$).

$47300 \text{ кг} = \frac{47300}{1000} \text{ т} = 47.3 \text{ т}$

Округлим результат до ближайшего целого числа. Поскольку первая цифра после запятой (3) меньше 5, округляем в меньшую сторону.

$47.3 \text{ т} \approx 47 \text{ т}$

Ответ: приблизительно 47 т.

г) 13875 г в килограммах

Для перевода граммов (г) в килограммы (кг), разделим данное значение на 1000 ($1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$).

$13875 \text{ г} = \frac{13875}{1000} \text{ кг} = 13.875 \text{ кг}$

Округлим результат до ближайшего целого числа. Первая цифра после запятой (8) больше или равна 5, поэтому округляем в большую сторону.

$13.875 \text{ кг} \approx 14 \text{ кг}$

Ответ: приблизительно 14 кг.

д) 517 кг в центнерах

Для перевода килограммов (кг) в центнеры (ц), разделим данное значение на 100 ($1 \text{ ц} = 100 \text{ кг}$).

$517 \text{ кг} = \frac{517}{100} \text{ ц} = 5.17 \text{ ц}$

Округлим результат до ближайшего целого числа. Первая цифра после запятой (1) меньше 5, поэтому округляем в меньшую сторону.

$5.17 \text{ ц} \approx 5 \text{ ц}$

Ответ: приблизительно 5 ц.

е) 980 кг в тоннах

Для перевода килограммов (кг) в тонны (т), разделим данное значение на 1000 ($1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}$).

$980 \text{ кг} = \frac{980}{1000} \text{ т} = 0.98 \text{ т}$

Округлим результат до ближайшего целого числа. Первая цифра после запятой (9) больше или равна 5, поэтому округляем в большую сторону.

$0.98 \text{ т} \approx 1 \text{ т}$

Ответ: приблизительно 1 т.