Страница 42 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

1 На примере числа 2347059210 расскажите, как читают натуральные числа.

Для того чтобы прочитать натуральное число, его необходимо разбить на группы, называемые классами. Разбивку на классы производят справа налево, отделяя по три цифры в каждом классе.

Рассмотрим число $2347059210$. Разобьем его на классы: $2 \ 347 \ 059 \ 210$.

Каждый класс имеет свое название. Справа налево идут:
1. Класс единиц (первый класс). В нашем примере это $210$.
2. Класс тысяч (второй класс). В нашем примере это $059$.
3. Класс миллионов (третий класс). В нашем примере это $347$.
4. Класс миллиардов (четвертый класс). В нашем примере это $2$.

Чтение числа производят слева направо. Для этого по очереди читают число, стоящее в каждом классе, и добавляют название этого класса. Название класса единиц при чтении опускается. Важно также учитывать правильное склонение названия класса.

Прочитаем число $2 \ 347 \ 059 \ 210$ по частям:
• Сначала читаем число в классе миллиардов: $2$ — «два миллиарда».
• Затем в классе миллионов: $347$ — «триста сорок семь миллионов».
• Затем в классе тысяч: $059$ (читается как $59$) — «пятьдесят девять тысяч».
• И в классе единиц: $210$ — «двести десять» (название класса не произносим).

Соединив все части вместе, получаем полное название числа.

Ответ: Число $2347059210$ читается как «Два миллиарда триста сорок семь миллионов пятьдесят девять тысяч двести десять».

2 Запишите цифрами число:

а) двадцать девять тысяч семьсот пятнадцать;

б) восемьдесят тысяч двести;

в) 682 млн;

г) 5436 тыс.

а) Чтобы записать число "двадцать девять тысяч семьсот пятнадцать" цифрами, необходимо разложить его на составляющие. "Двадцать девять тысяч" соответствует числу 29 000. "Семьсот пятнадцать" соответствует числу 715. Теперь сложим эти два числа: $29000 + 715 = 29715$.
Ответ: 29 715

б) Чтобы записать число "восемьдесят тысяч двести" цифрами, разложим его на составляющие. "Восемьдесят тысяч" соответствует числу 80 000. "Двести" соответствует числу 200. Сложив эти части, получаем: $80000 + 200 = 80200$.
Ответ: 80 200

в) Сокращение "млн" означает миллион, то есть $1000000$ (единица с шестью нулями). Чтобы записать число "682 млн" цифрами, нужно умножить 682 на $1000000$. Это эквивалентно добавлению шести нулей к числу 682. $682 \times 1000000 = 682000000$.
Ответ: 682 000 000

г) Сокращение "тыс." означает тысяча, то есть $1000$ (единица с тремя нулями). Чтобы записать число "5436 тыс." цифрами, нужно умножить 5436 на $1000$. Это эквивалентно добавлению трех нулей к числу 5436. $5436 \times 1000 = 5436000$.
Ответ: 5 436 000

3 Представьте число в виде суммы разрядных слагаемых:

а) 49532;

б) 5017.

а) Чтобы представить число 49532 в виде суммы разрядных слагаемых, необходимо определить значение каждой цифры в зависимости от её позиции (разряда).
В числе 49532:
- цифра 4 находится в разряде десятков тысяч, её значение $4 \cdot 10000 = 40000$;
- цифра 9 находится в разряде тысяч, её значение $9 \cdot 1000 = 9000$;
- цифра 5 находится в разряде сотен, её значение $5 \cdot 100 = 500$;
- цифра 3 находится в разряде десятков, её значение $3 \cdot 10 = 30$;
- цифра 2 находится в разряде единиц, её значение $2 \cdot 1 = 2$.
Сложив значения всех разрядов, получим искомую сумму.
Ответ: $49532 = 40000 + 9000 + 500 + 30 + 2$.

б) Чтобы представить число 5017 в виде суммы разрядных слагаемых, поступим аналогичным образом.
В числе 5017:
- цифра 5 находится в разряде тысяч, её значение $5 \cdot 1000 = 5000$;
- цифра 0 находится в разряде сотен, её значение $0$. В сумме разрядных слагаемых это слагаемое обычно не записывают;
- цифра 1 находится в разряде десятков, её значение $1 \cdot 10 = 10$;
- цифра 7 находится в разряде единиц, её значение $7 \cdot 1 = 7$.
Сложив значения всех разрядов, получим искомую сумму.
Ответ: $5017 = 5000 + 10 + 7$.

4 Сравните числа:

а) 888 и 1001;

б) 75000000 и 7050000.

а) 888 и 1001;
Чтобы сравнить два натуральных числа, в первую очередь необходимо сравнить количество цифр (разрядов) в них. То число будет больше, в котором больше цифр.
В числе 888 три цифры.
В числе 1001 четыре цифры.
Поскольку количество цифр в числе 1001 больше, чем в числе 888 ($4 > 3$), то число 1001 больше числа 888.
Запишем это в виде неравенства: $888 < 1001$.
Ответ: $888 < 1001$.

б) 7500000 и 7050000.
Если в сравниваемых числах количество цифр одинаковое, то их сравнивают поразрядно, слева направо, до первого несовпадения. Большим будет то число, у которого цифра в этом разряде окажется больше.
Оба числа, 7500000 и 7050000, являются семизначными.
Начинаем сравнение со старшего разряда (миллионов):
- Цифра в разряде миллионов у обоих чисел равна 7.
- Переходим к следующему разряду — сотням тысяч. У первого числа в этом разряде стоит цифра 5, а у второго — 0.
Так как $5 > 0$, то первое число больше второго.
Запишем это в виде неравенства: $7500000 > 7050000$.
Ответ: $7500000 > 7050000$.

5 Сравните величины:

a) $50 \text{ м}$ $70 \text{ см}$ и $5000 \text{ см}$;

б) $2 \text{ т}$ $5 \text{ ц}$ и $3000 \text{ кг}$;

в) $3 \text{ ч}$ $20 \text{ мин}$ и $200 \text{ мин}$.

а) Чтобы сравнить величины, приведём их к одной единице измерения – сантиметрам. Мы знаем, что в одном метре содержится 100 сантиметров, то есть $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$.

Переведём $50 \text{ м } 70 \text{ см}$ в сантиметры:

$50 \text{ м } 70 \text{ см} = 50 \cdot 100 \text{ см} + 70 \text{ см} = 5000 \text{ см} + 70 \text{ см} = 5070 \text{ см}$.

Теперь сравним полученное значение с $5000 \text{ см}$:

$5070 \text{ см} > 5000 \text{ см}$.

Следовательно, $50 \text{ м } 70 \text{ см} > 5000 \text{ см}$.

Ответ: $50 \text{ м } 70 \text{ см} > 5000 \text{ см}$.

б) Чтобы сравнить величины, приведём их к одной единице измерения – килограммам. Мы знаем, что в одной тонне $1000$ килограммов ($1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}$), а в одном центнере $100$ килограммов ($1 \text{ ц} = 100 \text{ кг}$).

Переведём $2 \text{ т } 5 \text{ ц}$ в килограммы:

$2 \text{ т } 5 \text{ ц} = 2 \cdot 1000 \text{ кг} + 5 \cdot 100 \text{ кг} = 2000 \text{ кг} + 500 \text{ кг} = 2500 \text{ кг}$.

Теперь сравним полученное значение с $3000 \text{ кг}$:

$2500 \text{ кг} < 3000 \text{ кг}$.

Следовательно, $2 \text{ т } 5 \text{ ц} < 3000 \text{ кг}$.

Ответ: $2 \text{ т } 5 \text{ ц} < 3000 \text{ кг}$.

в) Чтобы сравнить величины, приведём их к одной единице измерения – минутам. Мы знаем, что в одном часе $60$ минут, то есть $1 \text{ ч} = 60 \text{ мин}$.

Переведём $3 \text{ ч } 20 \text{ мин}$ в минуты:

$3 \text{ ч } 20 \text{ мин} = 3 \cdot 60 \text{ мин} + 20 \text{ мин} = 180 \text{ мин} + 20 \text{ мин} = 200 \text{ мин}$.

Теперь сравним полученное значение с $200 \text{ мин}$:

$200 \text{ мин} = 200 \text{ мин}$.

Следовательно, $3 \text{ ч } 20 \text{ мин} = 200 \text{ мин}$.

Ответ: $3 \text{ ч } 20 \text{ мин} = 200 \text{ мин}$.

6 Расскажите, как изображают числа точками на координатной прямой. Начертите координатную прямую и отметьте на ней числа 3, 7, 10.

Расскажите, как изображают числа точками на координатной прямой.

Чтобы изобразить числа точками на координатной прямой, сначала нужно эту прямую построить. Для этого чертят прямую линию и задают на ней три элемента: начало отсчета (точку, соответствующую числу $0$), единичный отрезок (который задает масштаб) и положительное направление (указывается стрелкой, обычно вправо).

После этого любое число можно изобразить на прямой в виде точки. Это число называется координатой точки. Чтобы найти точку, соответствующую определенному числу, нужно отложить от начала отсчета ($0$) расстояние, равное этому числу (в выбранных единичных отрезках).

Если число положительное, расстояние откладывают в положительном направлении (вправо). Если число отрицательное — в противоположном направлении (влево). Например, точка с координатой $3$ будет находиться на расстоянии трех единичных отрезков справа от нуля. Таким образом, каждому числу соответствует единственная точка на координатной прямой.

Ответ: Выше приведено подробное объяснение.

Начертите координатную прямую и отметьте на ней числа 3, 7, 10.

Сначала построим координатную прямую: начертим горизонтальную линию, выберем на ней начало отсчета $O$ (соответствует числу $0$), зададим единичный отрезок и укажем стрелкой положительное направление.

Затем отметим на этой прямой точки, соответствующие числам $3, 7$ и $10$. Точка с координатой $3$ будет находиться на расстоянии трех единичных отрезков вправо от $0$. Точка с координатой $7$ — на расстоянии семи единичных отрезков вправо от $0$. Точка с координатой $10$ — на расстоянии десяти единичных отрезков вправо от $0$.

Результат показан на рисунке ниже.

Ответ: Координатная прямая с отмеченными числами $3, 7, 10$ изображена выше.

7 На координатной прямой число $a$ расположено левее числа 12, а число $b$ — правее его. Сравните числа $a$ и $b$.

На координатной прямой значения чисел увеличиваются при движении слева направо. Это означает, что если точка, соответствующая числу, находится левее, то это число меньше. Если точка находится правее — то число больше.

Согласно условию, число $a$ расположено левее числа 12. Это означает, что число $a$ меньше числа 12. Математически это записывается в виде неравенства: $a < 12$.

Также по условию, число $b$ расположено правее числа 12. Это означает, что число $b$ больше числа 12. Запишем это в виде неравенства: $b > 12$.

Теперь у нас есть два неравенства: $a < 12$ и $b > 12$. Второе неравенство можно записать как $12 < b$. Объединим оба неравенства в одну цепочку: $a < 12 < b$.

Из этого двойного неравенства видно, что число $a$ расположено левее числа $b$, а значит, $a$ меньше $b$.

Ответ: $a < b$

8 Известно, что $a < c$, $b > c$, $d < a$. Перечислите числа $a, b, c, d$ в порядке возрастания.

Для того чтобы расположить числа $a$, $b$, $c$ и $d$ в порядке возрастания, проанализируем данные нам неравенства:

1. $a < c$ — это означает, что $a$ меньше, чем $c$.

2. $b > c$ — это означает, что $b$ больше, чем $c$. Это неравенство можно также записать как $c < b$.

3. $d < a$ — это означает, что $d$ меньше, чем $a$.

Теперь объединим эти неравенства в одну общую цепь.

Из неравенства $d < a$ мы знаем, что $d$ — самое маленькое из этих двух чисел.

Из неравенства $a < c$ мы знаем, что $a$ меньше $c$.

Объединяя $d < a$ и $a < c$, получаем $d < a < c$. Это значит, что $d$ — самое маленькое число из тройки $d, a, c$, а $c$ — самое большое.

Теперь рассмотрим число $b$. Из неравенства $c < b$ следует, что $b$ больше, чем $c$.

Так как мы уже установили, что $d < a < c$, а $b$ в свою очередь больше $c$, мы можем составить окончательное упорядоченное неравенство: $d < a < c < b$.

Следовательно, числа в порядке возрастания располагаются так: $d, a, c, b$.

Ответ: $d, a, c, b$.

9 Выразите приближённо:

а) 16381 г в килограммах;

б) 5743 м в километрах.

а) Чтобы выразить граммы (г) в килограммах (кг), нужно разделить количество граммов на 1000, так как в одном килограмме 1000 граммов ($1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$).
$16381 \text{ г} = \frac{16381}{1000} \text{ кг} = 16,381 \text{ кг}$
Для получения приближённого значения округлим результат до ближайшего целого числа. Так как первая цифра после запятой (3) меньше 5, округляем в меньшую сторону.
$16,381 \text{ кг} \approx 16 \text{ кг}$
Ответ: приближённо 16 кг.

б) Чтобы выразить метры (м) в километрах (км), нужно разделить количество метров на 1000, так как в одном километре 1000 метров ($1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$).
$5743 \text{ м} = \frac{5743}{1000} \text{ км} = 5,743 \text{ км}$
Для получения приближённого значения округлим результат до ближайшего целого числа. Так как первая цифра после запятой (7) больше 5, округляем в большую сторону.
$5,743 \text{ км} \approx 6 \text{ км}$
Ответ: приближённо 6 км.

10 Округлите число 89615:

а) до десятков;

б) до сотен;

в) до тысяч.

а) до десятков

Чтобы округлить число 89615 до десятков, необходимо рассмотреть цифру, стоящую в разряде единиц. В данном числе это цифра 5.

Согласно правилам округления, если цифра, следующая за округляемым разрядом, равна 5 или больше (5, 6, 7, 8, 9), то цифра в округляемом разряде увеличивается на единицу. В нашем случае цифра в разряде десятков — 1.

Так как в разряде единиц стоит 5, мы увеличиваем цифру в разряде десятков на 1: $1 + 1 = 2$. Все последующие разряды (в данном случае, единицы) заменяются нулями.

Таким образом, число 89615, округленное до десятков, становится 89620.

Ответ: 89620

б) до сотен

Для округления числа 89615 до сотен, мы смотрим на цифру в разряде десятков. В этом числе это цифра 1.

Согласно правилам округления, если цифра, следующая за округляемым разрядом, меньше 5 (0, 1, 2, 3, 4), то цифра в округляемом разряде не изменяется. В нашем случае цифра в разряде сотен — 6.

Так как в разряде десятков стоит 1, мы оставляем цифру в разряде сотен без изменений. Все последующие разряды (десятки и единицы) заменяются нулями.

Таким образом, число 89615, округленное до сотен, становится 89600.

Ответ: 89600

в) до тысяч

Чтобы округлить число 89615 до тысяч, нужно посмотреть на цифру в разряде сотен. В данном числе это цифра 6.

Так как цифра 6 больше 5, мы должны увеличить цифру в округляемом разряде (тысяч) на единицу. В разряде тысяч стоит цифра 9.

Увеличиваем 9 на 1: $9 + 1 = 10$. Это означает, что в разряд тысяч мы записываем 0, а 1 переносим в следующий, более старший разряд — десятки тысяч. В разряде десятков тысяч стоит 8. Прибавляем перенесенную единицу: $8 + 1 = 9$. Все последующие разряды (сотни, десятки и единицы) заменяются нулями.

Таким образом, число 89615, округленное до тысяч, становится 90000.

Ответ: 90000

11 Запишите все возможные трёхзначные числа, которые можно составить из цифр 4, 5 и 6, используя каждую из них только один раз.

Чтобы найти все возможные трёхзначные числа, которые можно составить из цифр 4, 5 и 6, используя каждую из них только один раз, нам нужно найти все перестановки (способы расположения) этих трёх цифр.

Общее количество таких чисел можно вычислить заранее. Оно равно числу перестановок из 3 элементов: $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$. Следовательно, мы должны найти 6 уникальных чисел.

Перечислим все эти числа, систематически меняя первую цифру (цифру в разряде сотен).

1. Если на первом месте стоит цифра 4, то на оставшихся двух местах (десятки и единицы) могут стоять цифры 5 и 6. Возможны два варианта:

• 456
• 465

2. Если на первом месте стоит цифра 5, то на оставшихся двух местах могут стоять цифры 4 и 6. Возможны два варианта:

• 546
• 564

3. Если на первом месте стоит цифра 6, то на оставшихся двух местах могут стоять цифры 4 и 5. Возможны два варианта:

• 645
• 654

Таким образом, мы нашли все 6 возможных трёхзначных чисел.

Ответ: 456, 465, 546, 564, 645, 654.

12 На прямой отметили пять точек: A, B, C, D и E. Сколько всего получилось отрезков?

Чтобы найти общее количество отрезков, необходимо посчитать, сколько уникальных пар точек можно составить из пяти данных точек (A, B, C, D, E). Каждый отрезок определяется двумя точками, которые являются его концами.

Способ 1: Прямой подсчет
Можно последовательно пересчитать все отрезки. Возьмем первую точку A и соединим ее со всеми остальными:
AB, AC, AD, AE — получилось 4 отрезка.
Теперь возьмем вторую точку B и соединим ее с оставшимися, исключая точку A, так как отрезок AB уже посчитан:
BC, BD, BE — получилось 3 новых отрезка.
Проделаем то же самое для точки C (отрезки CA и CB уже учтены):
CD, CE — получилось 2 новых отрезка.
И для точки D (отрезки DA, DB, DC уже учтены):
DE — получился 1 новый отрезок.
Для точки E все возможные отрезки уже посчитаны.
Теперь сложим количество всех отрезков: $4 + 3 + 2 + 1 = 10$.

Способ 2: Использование формулы комбинаторики
Задача сводится к нахождению числа сочетаний из 5 элементов (точек) по 2, так как порядок точек в отрезке не важен (отрезок AB — это то же самое, что и BA). Формула для числа сочетаний из $n$ элементов по $k$:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
В нашем случае $n=5$ (всего точек) и $k=2$ (точек в одном отрезке).
$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(3 \times 2 \times 1)} = \frac{120}{12} = 10$.
Для частного случая выбора двух элементов ($k=2$) можно использовать упрощенную формулу:
$C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$
$C_5^2 = \frac{5 \times (5-1)}{2} = \frac{5 \times 4}{2} = \frac{20}{2} = 10$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 10

13 Сколько существует двузначных чисел, у которых первая цифра больше второй?

Обозначим двузначное число как $\overline{ab}$, где $a$ — это первая цифра (количество десятков), а $b$ — вторая цифра (количество единиц).

Для двузначного числа первая цифра $a$ может принимать значения от 1 до 9 (так как $a \neq 0$), а вторая цифра $b$ — от 0 до 9.

Согласно условию задачи, первая цифра должна быть больше второй, то есть должно выполняться неравенство $a > b$.

Чтобы найти все такие числа, можно systematically перебрать все возможные значения для первой цифры $a$ и посчитать, сколько подходящих значений для второй цифры $b$ существует в каждом случае.

• Если $a = 1$, то $b$ должно быть меньше 1. Единственный вариант – $b=0$. Это число 10 (1 число).
• Если $a = 2$, то $b$ может быть 0 или 1. Это числа 20, 21 (2 числа).
• Если $a = 3$, то $b$ может быть 0, 1 или 2. Это числа 30, 31, 32 (3 числа).
• Если $a = 4$, то $b$ может быть 0, 1, 2 или 3 (4 числа).
• Если $a = 5$, то $b$ может быть 0, 1, 2, 3 или 4 (5 чисел).
• Если $a = 6$, то $b$ может быть 0, 1, 2, 3, 4 или 5 (6 чисел).
• Если $a = 7$, то $b$ может быть 0, 1, 2, 3, 4, 5 или 6 (7 чисел).
• Если $a = 8$, то $b$ может быть 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 или 7 (8 чисел).
• Если $a = 9$, то $b$ может быть 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 или 8 (9 чисел).

Общее количество таких чисел равно сумме количеств, найденных для каждого значения $a$:

$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9$

Эта сумма является суммой первых девяти членов арифметической прогрессии. Её можно вычислить по формуле $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$:

$S = \frac{9(1 + 9)}{2} = \frac{9 \times 10}{2} = 45$

Следовательно, существует 45 двузначных чисел, у которых первая цифра больше второй.

Ответ: 45