Страница 40 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

104 Какие двузначные коды можно составить, используя только цифры 3 и 7?

Для решения этой задачи необходимо составить все возможные комбинации из двух цифр, используя только цифры 3 и 7. Двузначный код состоит из двух позиций: первая цифра (десятки) и вторая цифра (единицы).

На каждой из этих позиций может стоять либо цифра 3, либо цифра 7. Это означает, что у нас есть 2 варианта для первой цифры и 2 варианта для второй.

Чтобы найти общее количество кодов, нужно перемножить количество вариантов для каждой позиции. Общее число комбинаций будет равно $2 \times 2 = 4$.

Перечислим все эти комбинации systematically:
1. Если первая цифра 3, то вторая цифра может быть либо 3, либо 7. Получаем коды: 33 и 37.
2. Если первая цифра 7, то вторая цифра также может быть либо 3, либо 7. Получаем коды: 73 и 77.

Таким образом, мы можем составить четыре уникальных двузначных кода.

Ответ: 33, 37, 73, 77.

105 Составьте все двузначные числа, в записи которых используются только цифры 3, 5, 7, 9. Сколько двузначных чисел можно записать, если использовать при записи числа каждую из указанных цифр только один раз?

Составьте все двузначные числа, в записи которых используются только цифры 3, 5, 7, 9.

Для составления двузначного числа нам нужно выбрать цифру для разряда десятков и цифру для разряда единиц. В этой части задачи нет условия, что цифры не могут повторяться, значит, мы можем использовать одну и ту же цифру дважды.

В качестве первой цифры (десятки) можно выбрать любую из четырёх данных цифр: 3, 5, 7 или 9.
В качестве второй цифры (единицы) также можно выбрать любую из этих четырёх цифр.

Систематически перечислим все возможные комбинации:
- если первая цифра 3, то получаем числа: 33, 35, 37, 39.
- если первая цифра 5, то получаем числа: 53, 55, 57, 59.
- если первая цифра 7, то получаем числа: 73, 75, 77, 79.
- если первая цифра 9, то получаем числа: 93, 95, 97, 99.

Общее количество таких чисел можно найти, перемножив количество вариантов для каждого разряда: $4 \times 4 = 16$.

Ответ: 33, 35, 37, 39, 53, 55, 57, 59, 73, 75, 77, 79, 93, 95, 97, 99.

Сколько двузначных чисел можно записать, если использовать при записи числа каждую из указанных цифр только один раз?

В этом случае цифры в записи двузначного числа не должны повторяться.

На место первой цифры (в разряде десятков) мы можем поставить любую из четырёх предложенных цифр (3, 5, 7, 9). Таким образом, у нас есть 4 варианта.

После того как мы выбрали первую цифру, для второй цифры (в разряде единиц) остаётся на один вариант меньше, так как использованную цифру повторять нельзя. То есть, остаётся 3 варианта.

Чтобы найти общее количество возможных чисел, нужно применить правило умножения из комбинаторики: умножить число вариантов для первой цифры на число вариантов для второй.
$4 \times 3 = 12$.

Данная задача является примером нахождения числа размещений без повторений из 4 элементов по 2 ($A_4^2$).

Ответ: 12.

106 Запишите все двузначные числа, которые можно составить из цифр 0, 1, 2. Сколько получится чисел, если каждую цифру использовать только один раз?

Запишите все двузначные числа, которые можно составить из цифр 0, 1, 2.

Двузначное число состоит из двух цифр: цифры десятков и цифры единиц. Согласно правилам, цифра в разряде десятков не может быть нулем, иначе число не будет двузначным.

Следовательно, на первом месте (в разряде десятков) могут стоять цифры 1 или 2.
На втором месте (в разряде единиц) может стоять любая из предложенных цифр: 0, 1 или 2.

Составим все возможные комбинации:
- Если первая цифра 1, то получаем числа: 10, 11, 12.
- Если первая цифра 2, то получаем числа: 20, 21, 22.

Таким образом, все двузначные числа, которые можно составить из данных цифр, следующие: 10, 11, 12, 20, 21, 22.

Ответ: 10, 11, 12, 20, 21, 22.

Сколько получится чисел, если каждую цифру использовать только один раз?

Это условие означает, что цифры в двузначном числе не должны повторяться. Воспользуемся списком чисел, полученным в предыдущем пункте, и отберем те, которые удовлетворяют этому условию.

Из списка 10, 11, 12, 20, 21, 22 исключим числа с повторяющимися цифрами. Это числа 11 и 22.
Остаются следующие числа: 10, 12, 20, 21.

Теперь посчитаем их количество. Всего получилось 4 числа.

Также эту задачу можно решить с помощью правил комбинаторики.
- На место десятков есть 2 варианта выбора (цифры 1 или 2).
- После того как выбрана первая цифра, на место единиц остается 2 варианта (например, если первой выбрана 1, то для единиц остаются 0 и 2).
Общее количество таких чисел равно произведению числа вариантов для каждой позиции: $2 \times 2 = 4$.

Ответ: 4.

107 Девять школьников, сдавая экзамены по математике, русскому и английскому языкам, получили отметки «4» и «5». Можно ли утверждать, что по крайней мере двое из них получили по каждому предмету одинаковые отметки?

Для решения этой задачи воспользуемся принципом Дирихле. В данном случае школьники являются «голубями», а все возможные уникальные наборы отметок по трём предметам — «ящиками».

Сначала необходимо определить, сколько всего существует различных наборов отметок. Каждый школьник сдавал 3 экзамена (математика, русский, английский), и по каждому предмету мог получить одну из двух оценок: «4» или «5».

Общее количество возможных комбинаций оценок для одного школьника можно рассчитать как произведение числа вариантов оценок по каждому предмету:

$N_{\text{комбинаций}} = 2_{\text{математика}} \times 2_{\text{русский}} \times 2_{\text{английский}} = 2^3 = 8$

Таким образом, существует всего 8 уникальных наборов оценок, которые может получить один школьник. Например: (4, 4, 4), (4, 4, 5), (4, 5, 4), и так далее.

Теперь сравним количество школьников (9) с количеством возможных наборов оценок (8). Поскольку число школьников («голубей») больше, чем число уникальных наборов оценок («ящиков»), т.е. $9 > 8$, то согласно принципу Дирихле, по крайней мере в один «ящик» попадёт более одного «голубя».

Это означает, что как минимум двое из девяти школьников получили полностью идентичный набор отметок по всем трём предметам.

Ответ: Да, можно утверждать, что по крайней мере двое из них получили по каждому предмету одинаковые отметки.

108 Шифр для сейфа составляется из трёх разных цифр. Запишите все шифры, которые можно составить, используя цифры 1, 2 и 3.

По условию задачи, шифр для сейфа состоит из трёх разных цифр. Нам предоставлены цифры 1, 2 и 3. Это означает, что для составления шифра мы должны использовать каждую из этих цифр ровно один раз. Такая задача сводится к нахождению всех возможных перестановок из трёх элементов.

Чтобы найти все возможные шифры, будем систематически перебирать варианты, ставя на первое место поочерёдно каждую из цифр:

1. Пусть на первом месте стоит цифра 1. Тогда на втором и третьем местах могут стоять оставшиеся цифры 2 и 3. Возможны два варианта их расположения: 23 и 32. Таким образом, мы получаем два шифра: 123 и 132.

2. Пусть на первом месте стоит цифра 2. Тогда на втором и третьем местах могут стоять оставшиеся цифры 1 и 3. Возможны два варианта их расположения: 13 и 31. Таким образом, мы получаем ещё два шифра: 213 и 231.

3. Пусть на первом месте стоит цифра 3. Тогда на втором и третьем местах могут стоять оставшиеся цифры 1 и 2. Возможны два варианта их расположения: 12 и 21. Таким образом, мы получаем последние два шифра: 312 и 321.

Объединив все найденные варианты, мы получим полный список всех возможных шифров.

Число таких комбинаций также можно рассчитать по формуле числа перестановок из $n$ элементов: $P_n = n!$. В нашем случае $n=3$, поэтому количество шифров равно $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.

Ответ: 123, 132, 213, 231, 312, 321.

109 Сколько новых чисел можно получить из числа 546, переставляя цифры?

Чтобы определить, сколько новых чисел можно получить, переставляя цифры в числе 546, необходимо найти количество всех возможных перестановок этих цифр и вычесть из него исходное число.

Число 546 состоит из трех различных цифр: 5, 4, 6. Количество перестановок для $n$ различных элементов вычисляется по формуле $n!$ (n-факториал).

В данном случае у нас 3 цифры, поэтому $n=3$.

Общее количество возможных чисел, которые можно составить из этих цифр, равно:
$P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

Это означает, что всего можно составить 6 уникальных чисел. Давайте их перечислим: 456, 465, 546, 564, 645, 654.

Вопрос задачи — найти количество новых чисел. Исходное число — 546. Следовательно, его нужно исключить из общего количества найденных перестановок.

Количество новых чисел = (Общее количество чисел) - 1
$6 - 1 = 5$

Ответ: 5

110. В магазине продаются полотенца трёх видов: в полоску, в клетку и в горошек. Мама хочет подарить каждой из трёх дочерей по полотенцу, причём так, чтобы одинаковых у них не было. Сколькими способами она может раздать три разных полотенца девочкам?

Указание. Введите обозначения: П — полоска, К — клетка, Г — горошек.

По условию задачи, у мамы есть три дочери и три разных вида полотенец: в полоску (П), в клетку (К) и в горошек (Г). Каждая дочь должна получить по одному полотенцу, и все полотенца должны быть разными. Требуется найти количество способов, которыми можно раздать эти полотенца.

Эта задача решается с помощью комбинаторного правила умножения. Рассмотрим процесс выбора полотенец для каждой дочери последовательно.

1. Для первой дочери можно выбрать любое из трёх имеющихся полотенец. Таким образом, есть 3 варианта выбора.

2. После того как первая дочь получила свой подарок, осталось два вида полотенец. Следовательно, для второй дочери есть 2 варианта выбора.

3. Когда первые две дочери получили свои полотенца, для третьей дочери остаётся только одно, последнее полотенце. То есть, для неё существует только 1 вариант.

Чтобы найти общее количество способов, необходимо перемножить количество вариантов на каждом шаге:

$3 \times 2 \times 1 = 6$

Это число является количеством перестановок из трёх элементов и вычисляется как факториал числа 3:

$P_3 = 3! = 6$

Следовательно, мама может раздать три разных полотенца трём дочерям шестью различными способами.

Ответ: 6

111 Хоккейная комбинация

На поле пять игроков (рис. 2.6). Начал комбинацию игрок № 1, продолжили игроки с другими номерами, а забил гол игрок № 5. Каждый хоккеист ударил по шайбе один раз. На рисунке с помощью стрелок изображён один из возможных вариантов комбинации. Сколько всего вариантов этой комбинации существует?

Согласно условию задачи, в хоккейной комбинации участвуют пять игроков. Комбинация всегда начинается игроком № 1 и всегда заканчивается голом от игрока № 5. Каждый из пяти хоккеистов ударяет по шайбе ровно один раз.

Это означает, что первый и последний участники комбинации фиксированы. Нам необходимо определить, сколькими способами можно расположить трех оставшихся игроков (№ 2, № 3 и № 4) между игроком № 1 и игроком № 5.

Задача сводится к нахождению числа перестановок из трех элементов. Количество перестановок из $n$ элементов вычисляется по формуле $P_n = n!$ (n-факториал).

В нашем случае $n=3$, так как есть три игрока (№ 2, № 3, № 4), которые могут передавать шайбу друг другу в любом порядке.

Рассчитаем количество возможных вариантов:
$P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

Таким образом, существует 6 различных вариантов этой комбинации. Вот они:

• 1 → 2 → 3 → 4 → 5
• 1 → 2 → 4 → 3 → 5
• 1 → 3 → 2 → 4 → 5
• 1 → 3 → 4 → 2 → 5
• 1 → 4 → 2 → 3 → 5
• 1 → 4 → 3 → 2 → 5

Ответ: 6

112 Дано число 3241. Запишите все числа, большие данного, которые можно получить с помощью перестановки цифр этого числа.

Для решения задачи необходимо найти все возможные перестановки цифр числа 3241, которые образуют число, большее исходного. Исходное число состоит из цифр {1, 2, 3, 4}.

Чтобы новое число, составленное из этих цифр, было больше 3241, его первая цифра (в разряде тысяч) должна быть либо больше 3, либо равна 3. Рассмотрим эти варианты по порядку.

1. Первая цифра больше 3.

Из имеющегося набора цифр {1, 2, 3, 4} только цифра 4 больше 3. Следовательно, любое число, начинающееся с 4, будет гарантированно больше 3241. Нам нужно составить все возможные числа, начинающиеся с 4, используя оставшиеся цифры {1, 2, 3}.

Количество перестановок из трех оставшихся цифр равно $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.

Эти числа:

4123, 4132, 4213, 4231, 4312, 4321.

Все 6 чисел удовлетворяют условию.

2. Первая цифра равна 3.

Если первая цифра равна 3, то для того чтобы число было больше 3241, мы должны смотреть на следующую цифру (в разряде сотен). Оставшиеся для перестановок цифры — {1, 2, 4}.

а) Вторая цифра больше 2.

Из оставшихся цифр {1, 2, 4} только 4 больше 2. Значит, вторая цифра должна быть 4. Число будет начинаться с 34. Любое такое число (вида 34xx) будет больше 3241. Оставшиеся цифры для двух последних позиций — {1, 2}. Их можно расставить двумя способами.

Получаем числа:

3412, 3421.

Оба этих числа больше 3241.

б) Вторая цифра равна 2.

Число начинается с 32. Оставшиеся цифры — {1, 4}. Чтобы число вида 32xx было больше 3241, третья цифра должна быть больше 4. Среди оставшихся цифр {1, 4} такой нет. Если третья цифра равна 4, получаем число 3241, которое не больше самого себя. Если третья цифра равна 1, получаем число 3214, которое меньше 3241. Таким образом, в этом случае подходящих чисел нет.

3. Первая цифра меньше 3.

Если первая цифра 1 или 2, то любое полученное число будет меньше 3000 и, следовательно, меньше 3241. Эти варианты не рассматриваем.

Итог

Объединяем все найденные числа из рассмотренных случаев. Это 6 чисел из первого случая и 2 числа из второго.

Ответ: 3412, 3421, 4123, 4132, 4213, 4231, 4312, 4321.