Страница 37 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

96 Округлите числа:

а) 281, 69, 347, 23 до десятков;

б) 4567, 14032, 777, 3159 до сотен;

в) 3067, 8750, 26342, 24583 до тысяч;

г) 5487900, 31672350 до миллионов.

а) Чтобы округлить числа до десятков, нужно посмотреть на цифру в разряде единиц. Если эта цифра 0, 1, 2, 3 или 4, то цифру в разряде десятков оставляем без изменений, а вместо единиц пишем 0. Если в разряде единиц стоит цифра 5, 6, 7, 8 или 9, то цифру в разряде десятков увеличиваем на 1, а вместо единиц пишем 0.

281: цифра единиц 1, поэтому округляем до 280. $281 \approx 280$.
69: цифра единиц 9, поэтому округляем до 70. $69 \approx 70$.
347: цифра единиц 7, поэтому округляем до 350. $347 \approx 350$.
23: цифра единиц 3, поэтому округляем до 20. $23 \approx 20$.
Ответ: 280, 70, 350, 20.

б) Чтобы округлить числа до сотен, нужно посмотреть на цифру в разряде десятков. Правила те же: если цифра 0-4, то разряд сотен не меняется, а разряды десятков и единиц обнуляются. Если цифра 5-9, то разряд сотен увеличивается на 1, а последующие разряды обнуляются.

4567: цифра десятков 6, поэтому округляем до 4600. $4567 \approx 4600$.
14032: цифра десятков 3, поэтому округляем до 14000. $14032 \approx 14000$.
777: цифра десятков 7, поэтому округляем до 800. $777 \approx 800$.
3159: цифра десятков 5, поэтому округляем до 3200. $3159 \approx 3200$.
Ответ: 4600, 14000, 800, 3200.

в) Чтобы округлить числа до тысяч, нужно посмотреть на цифру в разряде сотен.

3067: цифра сотен 0, поэтому округляем до 3000. $3067 \approx 3000$.
8750: цифра сотен 7, поэтому округляем до 9000. $8750 \approx 9000$.
26342: цифра сотен 3, поэтому округляем до 26000. $26342 \approx 26000$.
24583: цифра сотен 5, поэтому округляем до 25000. $24583 \approx 25000$.
Ответ: 3000, 9000, 26000, 25000.

г) Чтобы округлить числа до миллионов, нужно посмотреть на цифру в разряде сотен тысяч.

5 487 900: цифра сотен тысяч 4, поэтому округляем до 5 000 000. $5487900 \approx 5000000$.
31 672 350: цифра сотен тысяч 6, поэтому округляем до 32 000 000. $31672350 \approx 32000000$.
Ответ: 5 000 000, 32 000 000.

97. В ящике 3720 гвоздей. Укажите примерное количество гвоздей, округлив данное число до сотен, до тысяч.

Чтобы найти примерное количество гвоздей, необходимо округлить исходное число 3720 до сотен и до тысяч.

Округление до сотен

Для округления числа до сотен необходимо посмотреть на цифру, стоящую в разряде десятков. В числе 3720 это цифра 2.
По правилу округления, если цифра справа от округляемого разряда меньше 5 (0, 1, 2, 3, 4), то цифра в округляемом разряде не меняется, а все цифры в последующих разрядах заменяются нулями.
Поскольку $2 < 5$, цифру в разряде сотен (7) оставляем без изменений.
$3720 \approx 3700$.
Ответ: при округлении до сотен примерное количество гвоздей равно 3700.

Округление до тысяч

Для округления числа до тысяч необходимо посмотреть на цифру, стоящую в разряде сотен. В числе 3720 это цифра 7.
По правилу округления, если цифра справа от округляемого разряда равна 5 или больше (5, 6, 7, 8, 9), то цифра в округляемом разряде увеличивается на 1, а все цифры в последующих разрядах заменяются нулями.
Поскольку $7 \ge 5$, цифру в разряде тысяч (3) увеличиваем на единицу: $3 + 1 = 4$.
$3720 \approx 4000$.
Ответ: при округлении до тысяч примерное количество гвоздей равно 4000.

98 Рассмотрите приближённое равенство и скажите, до какого разряда округлили число 486573:

1) $486573 \approx 486600$;

2) $486573 \approx 487000$;

3) $486573 \approx 500000$.

Чтобы определить, до какого разряда округлили число, нужно посмотреть на последнюю значащую (не равную нулю) цифру в получившемся приближенном значении. Разряд этой цифры и будет разрядом, до которого производилось округление. Далее мы проверим каждый случай по правилам округления.

1) $486573 \approx 486600$

В числе 486600 последняя значащая цифра — 6, она находится в разряде сотен. Это означает, что округление было выполнено до сотен. Проверим: чтобы округлить число 486573 до сотен, мы смотрим на цифру, стоящую в разряде десятков. Это цифра 7. Так как $7 \ge 5$, мы увеличиваем разряд сотен на 1 (было 5, стало 6), а все последующие разряды (десятки и единицы) заменяем нулями. Получаем 486600. Равенство верное.

Ответ: число округлили до разряда сотен.

2) $486573 \approx 487000$

В числе 487000 последняя значащая цифра — 7, она находится в разряде тысяч. Это означает, что округление было выполнено до тысяч. Проверим: чтобы округлить число 486573 до тысяч, мы смотрим на цифру, стоящую в разряде сотен. Это цифра 5. Так как $5 \ge 5$, мы увеличиваем разряд тысяч на 1 (было 6, стало 7), а все последующие разряды (сотни, десятки и единицы) заменяем нулями. Получаем 487000. Равенство верное.

Ответ: число округлили до разряда тысяч.

3) $486573 \approx 500000$

В числе 500000 последняя значащая цифра — 5, она находится в разряде сотен тысяч. Это означает, что округление было выполнено до сотен тысяч. Проверим: чтобы округлить число 486573 до сотен тысяч, мы смотрим на цифру, стоящую в разряде десятков тысяч. Это цифра 8. Так как $8 \ge 5$, мы увеличиваем разряд сотен тысяч на 1 (было 4, стало 5), а все последующие разряды заменяем нулями. Получаем 500000. Равенство верное.

Ответ: число округлили до разряда сотен тысяч.

99 Выполните округление указанного числа и запишите результат, используя сокращённые наименования:

а) 340911 до тысяч;

б) 109507 до тысяч;

в) 2096514 до миллионов;

г) 3547000115 до миллиардов.

Чтобы округлить число 340911 до тысяч, необходимо определить цифру в разряде тысяч и посмотреть на следующую за ней цифру (в разряде сотен). В числе 340 911 цифра в разряде тысяч — это 0, а цифра в разряде сотен — это 9.

По правилам округления, если цифра, следующая за округляемым разрядом, равна 5 или больше, то цифра в округляемом разряде увеличивается на единицу. Так как $9 \ge 5$, мы увеличиваем цифру в разряде тысяч (0) на 1, получая 1. Все цифры, стоящие правее разряда тысяч, заменяются нулями.

Таким образом, $340911 \approx 341000$.

Записываем результат с сокращенным наименованием: 341 тыс.

Ответ: 341 тыс.

Чтобы округлить число 109507 до тысяч, смотрим на цифру в разряде сотен. В числе 109 507 цифра в разряде тысяч — 9, а в разряде сотен — 5.

Так как цифра в разряде сотен равна 5 ($5 \ge 5$), мы должны увеличить цифру в разряде тысяч на единицу. При увеличении 9 на 1 получаем 10, поэтому мы записываем 0 в разряд тысяч и переносим 1 в следующий, более старший разряд (десятки тысяч). Цифра в разряде десятков тысяч (0) увеличивается на 1 и становится равной 1. Все цифры правее разряда тысяч заменяются нулями.

Таким образом, $109507 \approx 110000$.

Записываем результат с сокращенным наименованием: 110 тыс.

Ответ: 110 тыс.

Чтобы округлить число 2096514 до миллионов, необходимо посмотреть на цифру в разряде сотен тысяч. В числе 2 096 514 цифра в разряде миллионов — 2, а в разряде сотен тысяч — 0.

По правилам округления, если цифра, следующая за округляемым разрядом, меньше 5, то цифра в округляемом разряде остается без изменений. Так как $0 < 5$, цифру 2 в разряде миллионов мы не меняем. Все цифры, стоящие правее разряда миллионов, заменяются нулями.

Таким образом, $2096514 \approx 2000000$.

Записываем результат с сокращенным наименованием: 2 млн.

Ответ: 2 млн.

Чтобы округлить число 3547000115 до миллиардов, нужно посмотреть на цифру в разряде сотен миллионов. В числе 3 547 000 115 цифра в разряде миллиардов — 3, а в разряде сотен миллионов — 5.

Так как цифра в разряде сотен миллионов равна 5 ($5 \ge 5$), мы должны увеличить цифру в разряде миллиардов на единицу. Увеличиваем 3 на 1, получаем 4. Все цифры, стоящие правее разряда миллиардов, заменяются нулями.

Таким образом, $3547000115 \approx 4000000000$.

Записываем результат с сокращенным наименованием: 4 млрд.

Ответ: 4 млрд.

100 Запишите ряд чисел, который получится, если последовательно округлять данное число до десятков, сотен и т. д., вплоть до старшего разряда:

a) 62538;

б) 28701568.

а) 62538;

Чтобы получить требуемый ряд чисел, необходимо последовательно округлить исходное число $62538$ до каждого разряда, начиная с десятков. Правило округления: если цифра, следующая за округляемым разрядом, равна $5$ или больше, то цифра в округляемом разряде увеличивается на единицу. Если следующая цифра меньше $5$, то цифра в округляемом разряде остается без изменений. Все цифры справа от округляемого разряда заменяются нулями.

Округление до десятков: В исходном числе $62538$ цифра в разряде единиц равна $8$. Так как $8 \ge 5$, цифру в разряде десятков ($3$) увеличиваем на 1. Получаем: $62540$.

Округление до сотен: В исходном числе $62538$ цифра в разряде десятков равна $3$. Так как $3 < 5$, цифру в разряде сотен ($5$) оставляем без изменений. Получаем: $62500$.

Округление до тысяч: В исходном числе $62538$ цифра в разряде сотен равна $5$. Так как $5 \ge 5$, цифру в разряде тысяч ($2$) увеличиваем на 1. Получаем: $63000$.

Округление до десятков тысяч (старший разряд): В исходном числе $62538$ цифра в разряде тысяч равна $2$. Так как $2 < 5$, цифру в разряде десятков тысяч ($6$) оставляем без изменений. Получаем: $60000$.

Итоговый ряд чисел: $62540, 62500, 63000, 60000$.

Ответ: $62540, 62500, 63000, 60000$.

б) 28701568.

Аналогично, последовательно округляем исходное число $28701568$ до всех разрядов, начиная с десятков и до старшего разряда.

Округление до десятков: В числе $28701568$ цифра единиц равна $8$. Так как $8 \ge 5$, результат $28701570$.
Округление до сотен: В числе $28701568$ цифра десятков равна $6$. Так как $6 \ge 5$, результат $28701600$.
Округление до тысяч: В числе $28701568$ цифра сотен равна $5$. Так как $5 \ge 5$, результат $28702000$.
Округление до десятков тысяч: В числе $28701568$ цифра тысяч равна $1$. Так как $1 < 5$, результат $28700000$.
Округление до сотен тысяч: В числе $28701568$ цифра десятков тысяч равна $0$. Так как $0 < 5$, результат $28700000$.
Округление до миллионов: В числе $28701568$ цифра сотен тысяч равна $7$. Так как $7 \ge 5$, результат $29000000$.
Округление до десятков миллионов (старший разряд): В числе $28701568$ цифра миллионов равна $8$. Так как $8 \ge 5$, результат $30000000$.

Итоговый ряд чисел: $28701570, 28701600, 28702000, 28700000, 28700000, 29000000, 30000000$.

Ответ: $28701570, 28701600, 28702000, 28700000, 28700000, 29000000, 30000000$.

101 Тимур задумал число и, округлив его до десятков, записал: 280. Какое число мог задумать Тимур?

Правила округления до десятков требуют посмотреть на цифру в разряде единиц. Если она меньше 5 (0, 1, 2, 3, 4), то число округляется в меньшую сторону. Если она равна 5 или больше (5, 6, 7, 8, 9), то в большую.

Число 280 могло быть получено двумя способами:

1. Округление в меньшую сторону. Это происходит с числами, у которых в разряде десятков стоит 8, а в разряде единиц — цифра от 0 до 4. Это числа: 280, 281, 282, 283, 284.
2. Округление в большую сторону. В этом случае разряд десятков увеличился на 1. Значит, до округления в разряде десятков была цифра 7. Чтобы при округлении получилось 280, в разряде единиц должна была стоять цифра от 5 до 9. Это числа: 275, 276, 277, 278, 279.

Объединив оба случая, получаем, что задуманное число $x$ может быть любым целым числом, удовлетворяющим неравенству $275 \le x \le 284$.

Ответ: Тимур мог задумать любое целое число от 275 до 284.

102 Некоторое число округлили до сотен и получили 53400.

а) Назовите несколько чисел, при округлении которых до сотен получится это число.

б) Назовите наименьшее число, при округлении которого до сотен получится это число.

в) Назовите наибольшее число, при округлении которого до сотен получится это число.

а) Назовите несколько чисел, при округлении которых до сотен получится это число.
При округлении числа до сотен смотрят на цифру в разряде десятков. Если она меньше 5 (0, 1, 2, 3, 4), то разряд сотен оставляют без изменений, а разряды десятков и единиц заменяют нулями. Если цифра в разряде десятков равна 5 или больше (5, 6, 7, 8, 9), то разряд сотен увеличивают на единицу, а разряды десятков и единиц заменяют нулями. Таким образом, любое целое число $x$, которое удовлетворяет двойному неравенству $53350 \le x \le 53449$, при округлении до сотен даст 53400. Например, это могут быть числа: 53350, 53400, 53449.
Ответ: 53350, 53400, 53449.

б) Назовите наименьшее число, при округлении которого до сотен получится это число.
Чтобы найти наименьшее число, которое при округлении до сотен дает 53400, необходимо найти нижнюю границу диапазона округления. Это число, которое округляется до 53400 в большую сторону. Для этого разряд сотен исходного числа должен быть 3, а разряд десятков должен быть минимально возможным для округления вверх, то есть 5. Разряд единиц для наименьшего числа должен быть 0. Следовательно, наименьшее такое число — это 53350. Если взять число на единицу меньше (53349), оно будет округлено до 53300.
Ответ: 53350.

в) Назовите наибольшее число, при округлении которого до сотен получится это число.
Чтобы найти наибольшее число, которое при округлении до сотен дает 53400, необходимо найти верхнюю границу диапазона округления. Это число, которое округляется до 53400 в меньшую сторону. Для этого разряд сотен исходного числа должен быть 4, а разряд десятков — максимальным из тех, что не приводят к увеличению разряда сотен, то есть 4. Разряд единиц также должен быть максимальным, то есть 9. Следовательно, наибольшее такое число — это 53449. Если взять число на единицу больше (53450), оно будет округлено до 53500.
Ответ: 53449.

103 В школе 20 классов, в каждом из которых от 30 до 40 учеников. Оцените число учащихся школы. Какое из двух полученных чисел точнее указывает примерное число учащихся в школе, если в школе 758 учеников; 626 учеников?

Минимальное число учащихся: $20 \times 30 = 600$

Максимальное число учащихся: $20 \times 40 = 800$

Оценка числа учащихся школы

По условию, в школе 20 классов, и в каждом классе учится от 30 до 40 учеников. Чтобы оценить общее число учащихся, найдем его минимальное и максимальное возможные значения.
Минимальное возможное число учащихся (нижняя граница оценки) рассчитывается как произведение числа классов на минимальное число учеников в классе:
$20 \times 30 = 600$ учеников.
Максимальное возможное число учащихся (верхняя граница оценки) рассчитывается как произведение числа классов на максимальное число учеников в классе:
$20 \times 40 = 800$ учеников.
Таким образом, мы получили два оценочных числа, 600 и 800, которые являются границами возможного количества учеников.
Ответ: число учащихся школы находится в пределах от 600 до 800.

Определение более точной оценки

Чтобы определить, какое из двух полученных чисел (600 или 800) является более точной оценкой, необходимо сравнить, насколько каждое из них близко к фактическому числу учеников. Для этого найдем абсолютное значение разности (модуль разности) между фактическим и оценочным числом. Чем меньше разность, тем точнее оценка.

Если в школе 758 учеников
Найдем разницу между фактическим числом 758 и каждой из оценок:
Разница с оценкой 600: $|758 - 600| = 158$.
Разница с оценкой 800: $|800 - 758| = 42$.
Поскольку $42 < 158$, число 800 является более точной оценкой.
Ответ: 800.

Если в школе 626 учеников
Найдем разницу между фактическим числом 626 и каждой из оценок:
Разница с оценкой 600: $|626 - 600| = 26$.
Разница с оценкой 800: $|800 - 626| = 174$.
Поскольку $26 < 174$, число 600 является более точной оценкой.
Ответ: 600.